姜峰+蔡伯峰+郝建春+劉振興

摘 要 針對(duì)帶有參數(shù)不確定性的非線性倒立擺的跟蹤控制問(wèn)題，提出一種RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D控制方法。該方法采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)不確定非線性函數(shù)，結(jié)合常規(guī)的PD控制方法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)倒立擺的跟蹤控制。仿真結(jié)果表明，該方法能有效實(shí)現(xiàn)倒立擺的快速跟蹤，并保證了對(duì)不確定參數(shù)的不敏感性。

關(guān)鍵詞 不確定性；跟蹤控制；RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-7597（2014）01-0040-02

倒立擺本身是一種復(fù)雜非線性系統(tǒng)，具有多變量、耦合性強(qiáng)、穩(wěn)定性差且極不穩(wěn)定的特點(diǎn)，很多典型的實(shí)驗(yàn)研究都基于此展開，跟蹤控制就是其中之一。目前已有很多文獻(xiàn)使用不同的控制方法針對(duì)倒立擺進(jìn)行跟蹤控制的研究，比如使用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法、魯棒控制等。文中使用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)帶有參數(shù)不確定性的非線性部分進(jìn)行逼近，結(jié)合常規(guī)的PD控制方法設(shè)計(jì)控制器，對(duì)非線性的倒立擺進(jìn)行跟蹤控制研究。

1 問(wèn)題描述

考慮如下一類二階非線性系統(tǒng)：

（1）

式（1）中，為未知函數(shù)部分，為已知函數(shù)部分，和分別為系統(tǒng)的輸入和輸出。式（1）還可以寫為：

設(shè)位置指令為，令

，

選擇，使多項(xiàng)式的所有根部都在復(fù)平面左半平面上。

取控制律為

（2）

將（2）代入式（1），得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的方程：

由于的選取，可得時(shí)，，即系統(tǒng)的輸出及其導(dǎo)數(shù)漸進(jìn)地收斂于理想輸出及其導(dǎo)數(shù)。

文中提到的一類非線性系統(tǒng)中，如果是確定的，則可以選擇來(lái)消除其非線性的屬性，再由線性控制理論設(shè)計(jì)控制器；假如不能確定且系統(tǒng)含有其他不確定性因素，控制律（2）則很難實(shí)現(xiàn)；而RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有萬(wàn)能逼近的特性，若采用RBF網(wǎng)絡(luò)對(duì)不確定項(xiàng)進(jìn)行自適應(yīng)逼近，即采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)代替，可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償，同時(shí)可以測(cè)試控制器對(duì)不確定性因素的不敏感性。

2 控制器設(shè)計(jì)

20世紀(jì)80年代末J.Moody和C.Darken提出了徑向基函數(shù)（RBF-Radial Basis Function）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它是具有單隱層的三層前饋網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)可以模擬人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接收域的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，因此該網(wǎng)絡(luò)也是一種局部逼近網(wǎng)絡(luò)，目前已經(jīng)證明它能以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)。具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如下圖所示。

圖1 RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)算法取，，其中，為輸入部分，為輸入個(gè)數(shù)，為網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，為高斯基函數(shù)的輸出，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差值，；采用徑向基函數(shù)網(wǎng)絡(luò)逼近，已知的表達(dá)式，取輸入，RBF網(wǎng)絡(luò)的輸出為。式（2）可變?yōu)椋?/p>

（3）

（4）

式中，為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)高斯基函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值根據(jù)自適應(yīng)律而變化。

設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

（5）

3 穩(wěn)定性分析

參考文獻(xiàn)[5]所提出的間接自適應(yīng)模糊控制方法，對(duì)本閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析如下：

由式（3）代入式（1），可得如下系統(tǒng)的閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程：

（6）

令，，則動(dòng)態(tài)方程（6）可寫為向量形式：

（7）

設(shè)最優(yōu)參數(shù)為，式中為的集合。

定義最小逼近誤差為

式（7）可以寫為

（8）

將（4）式代入（7）式，可得閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程：

（9）

以上方程中給出了跟蹤誤差和權(quán)值之間的關(guān)系。同時(shí)，自適應(yīng)的目標(biāo)主要是為確定一個(gè)調(diào)節(jié)機(jī)制，使跟蹤誤差和參數(shù)誤差達(dá)到最小。

下面定義Lyapunov函數(shù)為

（10）

式中，是正數(shù)，為一個(gè)正定矩陣且滿足Lyapunov方程

（11）

式中，是一個(gè)任意的2×2正定矩陣，同前面。

取，，

令，則式（9）變?yōu)?，則

將代入上式，

并考慮，得

的導(dǎo)數(shù)為

將自適應(yīng)律式（5）代入上式，得

由于≤0，通過(guò)選取最小逼近誤差非常小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可實(shí)現(xiàn)≤0。

4 仿真研究

被控對(duì)象取單級(jí)倒立擺，其動(dòng)態(tài)方程如下

，

式中，

，

，和分別為擺角和擺速，=9.8m/s2，為小車質(zhì)量，=1kg，為擺桿質(zhì)量，=0.1kg，為擺桿長(zhǎng)度的一半，=0.5m，為控制輸入，為擺桿的不確定性因素，取，其取值范圍區(qū)間。取位置指令，倒立擺的初始狀態(tài)為，=0.1，=0.5，=2，=5，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值初始值取0。

采用控制律式（3），自適應(yīng)律取式（5），取，=50，=30，自適應(yīng)參數(shù)取=30。仿真結(jié)果如下。

圖2 擺角的位置跟蹤

圖3 擺速的跟蹤狀況

1）取上限值時(shí)：

圖4 RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)補(bǔ)償仿真結(jié)果

2）取下限值時(shí)：

圖5 RBF網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)補(bǔ)償仿真結(jié)果

圖2至圖5給出了倒立擺在存在不確定性因素情況下，擺角、擺速及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤補(bǔ)償?shù)姆抡娼Y(jié)果，由圖2、3可以看出，倒立擺的擺角及擺速能快速實(shí)現(xiàn)位置指令的跟蹤，跟蹤效果好；根據(jù)的上下限值分別進(jìn)行仿真，由圖4和圖5可以看出大約1秒中左右時(shí)間，RBF能自適應(yīng)逼近非線性函數(shù)，實(shí)現(xiàn)非線性部分的有效補(bǔ)償，且對(duì)不確定性因素具有一定的不敏感性，仿真結(jié)果也說(shuō)明了這一點(diǎn)，同時(shí)也可以得到，在給定的不確定性干擾值區(qū)間之內(nèi)，所設(shè)計(jì)的控制器能有效的實(shí)現(xiàn)位置指令的跟蹤，控制效果良好。

5 結(jié)論

針對(duì)一類帶有不確定性因素的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題，文中以倒立擺為實(shí)例進(jìn)行仿真，結(jié)果表明基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)腜D控制方法能實(shí)現(xiàn)擺桿的有效跟蹤控制，且對(duì)不確定性干擾因子具有一定的不敏感性。

參考文獻(xiàn)

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[3]高興華，耿德旭，高玉峰，馬惜平.基于反演滑模變結(jié)構(gòu)控制的倒立擺系統(tǒng)跟蹤控制設(shè)計(jì)[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，9（6）：559-562.

[4]劉金琨.先進(jìn)PID控制MATLAB仿真（第3版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2013.

[5]王立新，王迎軍譯.模糊系統(tǒng)與模糊控制教程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[6]J.Park，I.W.Sandberg. Universal approximation using radial basis function networks， Neural Computation.1990，3：246-257.

作者簡(jiǎn)介

姜峰（1983-），男，山東聊城人，講師，碩士，研究方向：智能控制、非線性系統(tǒng)控制。endprint