曹宏瑞， 李亞敏， 成 瑋，

（西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安，710049）

引 言

滾動(dòng)軸承具有較高的旋轉(zhuǎn)精度、承載能力及轉(zhuǎn)速范圍，廣泛應(yīng)用于機(jī)床、航空發(fā)動(dòng)機(jī)、高速列車等機(jī)械設(shè)備中。軸承通常是影響機(jī)器可靠運(yùn)行和安全保障的薄弱環(huán)節(jié)。由于非線性Hertz接觸變形關(guān)系、時(shí)變剛度以及潤滑效果等因素，在運(yùn)行過程中滾動(dòng)軸承表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特征和時(shí)變特征。Sopanen等［1］建立了深溝球軸承的6自由度動(dòng)力學(xué)非線性模型，分別考慮了局部損傷和分布式損傷。Sawalhi等［2-3］基于Hertzian接觸理論建立滾動(dòng)軸承模型，分別仿真了軸承內(nèi)圈、外圈和滾球局部剝落及粗糙表面的影響。Rafsanjani等［4］建立了解析模型，研究不同表面損傷下滾動(dòng)軸承的非線性動(dòng)力學(xué)行為。文獻(xiàn)［5］仿真了滾珠進(jìn)入、離開剝落區(qū)域時(shí)的加速度響應(yīng)信號，可以定量仿真損傷尺寸。關(guān)貞珍等［6］建立了滾動(dòng)軸承局部損傷動(dòng)力學(xué)模型，仿真分析了軸承存在內(nèi)外圈損傷以及滾子損傷時(shí)的動(dòng)力學(xué)特征。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的滾動(dòng)軸承與其他機(jī)械結(jié)構(gòu)（如轉(zhuǎn)子、軸承座）緊密耦合，然而，由故障而產(chǎn)生的瞬態(tài)信號常被干擾信號和環(huán)境噪聲所淹沒。當(dāng)軸承損傷（如點(diǎn)蝕、剝落）發(fā)生時(shí)，產(chǎn)生的沖擊可能會(huì)引起不同結(jié)構(gòu)發(fā)生很多不同頻率的振動(dòng)響應(yīng)。然而，多數(shù)現(xiàn)有軸承故障模型沒有考慮軸承以外其他部件的影響。

基于Jones軸承理論，建立滾動(dòng)軸承擬靜力學(xué)模型。將滾動(dòng)軸承模型與轉(zhuǎn)子有限元模型進(jìn)行集成，建立轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。利用該模型對軸承外圈局部損傷的振動(dòng)信號進(jìn)行數(shù)值仿真，并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。

1 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 非線性軸承模型

當(dāng)軸承在徑向載荷和軸向載荷的作用下高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，內(nèi)、外圈和滾球的相對位置發(fā)生改變?；贘ones軸承模型，可用圖1來表示軸承內(nèi)部幾何關(guān)系的變化。

圖1 軸承內(nèi)、外圈與滾動(dòng)體的幾何關(guān)系Fig.1 Geometrical relationship between ball and raceway

根據(jù)勾股定理可得

其中：Xik＝Lsinθ＋ΔXik；Yik＝Lcosθ＋ΔYik；δik和δok分別為滾球和內(nèi)圈、外圈之間的彈性變形量；fi和fo分別為內(nèi)圈、外圈的曲率半徑常數(shù)；D為滾球直徑；下標(biāo)k為第k個(gè)滾球。

在軸承軸線與滾球中心構(gòu)成的平面上對第k個(gè)滾球進(jìn)行受力分析，如圖2所示。第k個(gè)滾球在水平方向和垂直方向上的受力平衡方程為

聯(lián)立式（1）和式（2），利用 Newton－Raphson法對未知變量Xbk，Ybk，δik及δok進(jìn)行求解，進(jìn)而可利用圖2的幾何關(guān)系計(jì)算出接觸角θ。滾球和內(nèi)、外圈間的Hertz接觸力Qik和Qok按式（3）計(jì)算

其中：Ki和Ko分別為內(nèi)圈、外圈的接觸力常數(shù)。

將所有滾球與內(nèi)圈、外圈之間的接觸力進(jìn)行疊加，可得到軸承內(nèi)圈、外圈所承受的合力Fi和Fo。

將力對位移求導(dǎo)即可得到軸承的剛度矩陣

圖2 滾球受力分析Fig.2 Force analysis of ball

1.2 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的有限元模型

轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的有限元模型如圖3所示。圓點(diǎn)代表節(jié)點(diǎn)，用Timoshenko梁單元建立轉(zhuǎn)子和軸承座有限元模型。與轉(zhuǎn)子／軸承座模型類似，用軸承單元來表示軸承，每一個(gè)軸承單元包含1個(gè)內(nèi)圈節(jié)點(diǎn)和1個(gè)外圈節(jié)點(diǎn)。

圖3 轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)有限元模型Fig.3 Finite element model of rotor－bearing system

分別將轉(zhuǎn)子和軸承方程集成，得到整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中：M，C，K分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；xt＋Δt，˙xt＋Δt，¨xt＋Δt分別為t＋Δt時(shí)刻的位移、速度和加速度向量；Ft＋Δt為外力。

剛度矩陣可以表示為

其中：KR為轉(zhuǎn)子剛度矩陣；KB為軸承剛度矩陣。

矩陣（M，C，K）的詳細(xì)描述可參考文獻(xiàn)［7］。假設(shè)t（t≥0）時(shí)刻的位移、速度和加速度向量已知，利用Newmark－β時(shí)域積分法計(jì)算轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

2 軸承局部損傷建模與仿真

2.1 軸承局部損傷建模

當(dāng)軸承組件含有局部損傷（如裂紋、點(diǎn)蝕、剝落），運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)沖擊力。與錘擊產(chǎn)生的沖擊力類似，用三角波模擬軸承損傷產(chǎn)生的沖擊力，如圖4所示。當(dāng)然，實(shí)際中的沖擊力形式要復(fù)雜得多。

當(dāng)含損傷的軸承在運(yùn)行時(shí)，產(chǎn)生一系列近似等距的沖擊力脈沖。力脈沖的重復(fù)率等于軸承的特征頻率。對于外圈損傷、內(nèi)圈損傷和滾動(dòng)體損傷，分別對應(yīng)滾珠通過外圈頻率、滾珠通過內(nèi)圈頻率和滾珠自轉(zhuǎn)頻率的2倍。

以某軸承（GMN HYKH61914）外圈單點(diǎn)損傷為例解釋軸承局部損傷的建模過程。利用文獻(xiàn)［6］中的公式，計(jì)算得到滾珠通過外圈的頻率為298Hz。將載荷施加在徑向，承載區(qū)有一點(diǎn)蝕，如圖5所示。假設(shè)點(diǎn)蝕區(qū)域的面積非常小，并且每次只有1個(gè)滾珠通過損傷區(qū)域。當(dāng)滾珠通過點(diǎn)蝕區(qū)時(shí)，產(chǎn)生一系列的振動(dòng)沖擊響應(yīng)。

圖4 沖擊脈沖序列Fig.4 Impulse train

圖5 滾動(dòng)軸承局部損傷Fig.5 Rolling bearing with locolized defect

在工程實(shí)際中，測量信號包含有大量的噪聲。為了讓仿真更加逼近實(shí)際數(shù)據(jù)，在仿真的沖擊響應(yīng)信號中添加了正態(tài)分布白噪聲N（0，1）。當(dāng)外圈發(fā)生損傷，利用Newmark－β積分法仿真的加速度振動(dòng)響應(yīng)信號如圖6所示。

圖6 仿真的加速度振動(dòng)響應(yīng)信號Fig.6 Acceleration vibration response of simulation

利用Hilbert變換，得到仿真信號的包絡(luò)譜，如圖7所示。從圖中可以看出，軸承外圈損傷特征頻率（fo＝298Hz）和其倍頻可以清晰地提取出來。

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

圖7 加速度振動(dòng)響應(yīng)信號包絡(luò)譜Fig.7 Envelope sepctrum of acceleration vibration response

利用美國 Case Western Reserve University［8］的軸承故障數(shù)據(jù)來驗(yàn)證局部損傷軸承模型，其試驗(yàn)臺(tái)如圖8所示。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為1 750r／min，軸承外圈損傷的特征頻率是104Hz。

圖8 軸承損傷模擬試驗(yàn)臺(tái)Fig.8 Bearing defect simulation experimental rig

測量的振動(dòng)信號數(shù)據(jù)和包絡(luò)譜如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)，仿真的振動(dòng)信號與試驗(yàn)數(shù)據(jù)有類似的時(shí)域波形，每兩個(gè)脈沖之間的間隔都等于滾珠通過外圈的周期。圖6（b）中，可以清晰地發(fā)現(xiàn)外圈損傷頻率成分和其倍頻。在時(shí)域和頻域，仿真與試驗(yàn)均能夠匹配良好，從而驗(yàn)證了理論模型的正確性。

圖9 振動(dòng)信號試驗(yàn)數(shù)據(jù)Fig.9 Experimental data of vibration response

3 結(jié)束語

針對轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)，建立了一個(gè)動(dòng)力學(xué)模型仿真軸承表面發(fā)生損傷時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)，并利用試驗(yàn)對該模型進(jìn)行驗(yàn)證。通過將損傷產(chǎn)生的激勵(lì)輸入軸承模型，對故障軸承的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，提取出了軸承內(nèi)部發(fā)生局部損傷時(shí)的特征頻率，可以為轉(zhuǎn)子－軸承系統(tǒng)的故障機(jī)理分析和診斷提供依據(jù)。

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Guan Zhenzhen，Zheng Haiqi，Wang Yangang，et al.Fault dynamic modeling and simulating of rolling bearing with localized defect［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2012，32（6）：950－955.（in Chinese）

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