楊凱 高東東 周國(guó)棟

摘 要：棋盤格現(xiàn)象是結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的普遍現(xiàn)象。本文介紹了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中的棋盤格式現(xiàn)象及其產(chǎn)生的原因，通過(guò)對(duì)棋盤格式現(xiàn)象認(rèn)識(shí)的深入人們對(duì)解決這一問(wèn)題的提出了各種方法，本文對(duì)其中一些代表性方法進(jìn)行了分析比較。

關(guān)鍵詞：棋盤格，拓?fù)鋬?yōu)化，連續(xù)體

中圖分類號(hào)： N945.15文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

引言

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化主要指在特定設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)，滿足給定約束條件，尋求目標(biāo)函數(shù)最?。ɑ蜃畲螅┑淖顑?yōu)的材料分布形式，以此確定結(jié)構(gòu)中空洞的位置、數(shù)量及連接形式[1]。根據(jù)處理對(duì)象不同主要分為兩類，一類是離散體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，另一類是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。

棋盤格式是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中常見的一種現(xiàn)象。本文對(duì)棋盤格式出現(xiàn)的原因進(jìn)行了分析，并對(duì)目前解決這一問(wèn)題的幾種常用方法進(jìn)行了分析比較，通過(guò)對(duì)方法理論的對(duì)比篩選出更方便實(shí)用的棋盤格抑制方法。

一、棋盤格式現(xiàn)象簡(jiǎn)介

在對(duì)連續(xù)體進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)，我們總希望能獲得一個(gè)邊界清晰、光滑的優(yōu)化結(jié)果，但在實(shí)際的優(yōu)化過(guò)程中總會(huì)出現(xiàn)棋盤格式現(xiàn)象。所謂棋盤格式，是指結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中單元材質(zhì)密度周期性高低分布的一種現(xiàn)象。

二、對(duì)棋盤格現(xiàn)象認(rèn)知的發(fā)展

在拓?fù)鋬?yōu)化過(guò)程中，無(wú)論采用何種參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，也無(wú)論采用何種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，都會(huì)出現(xiàn)棋盤格式。在早期結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化研究中，有些學(xué)者誤認(rèn)為這是一種較為理想的結(jié)果。但從制造角度來(lái)說(shuō)，不但加工困難，成本太高，同時(shí)不適合應(yīng)用的實(shí)際，也不符合材料的最優(yōu)分布原則。不是設(shè)計(jì)者希望得到的結(jié)果。歸根結(jié)底，棋盤格式是拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值計(jì)算中的一種不穩(wěn)定現(xiàn)象。流體力學(xué)中的Strokes 流問(wèn)題與其類似，表現(xiàn)為流體壓力正負(fù)相間分布，而非光滑連續(xù)分布。利用有限元方法求解混合變分問(wèn)題時(shí)也有類似的現(xiàn)象[2]，在這類問(wèn)題中棋盤格式的形成是由于違背了所謂的Babuska-Brezzi 條件。

Jog[3]從理論上詳細(xì)闡述了結(jié)構(gòu)剛性拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)棋盤格式出現(xiàn)的原因，他認(rèn)為拓?fù)鋬?yōu)化是密度變量r 和位移變量u 的混合變分問(wèn)題，并證明當(dāng)r 和u 采用特定組合時(shí)可避免棋盤格式的出現(xiàn)。Diaz 和Sigmund[4]指出，拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)一般采用有限元方法對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行離散化，正是由于有限元方法引入的數(shù)值逼近，從而使棋盤格式排列的材料比其他的排列形式具有更高的“虛擬”剛度，是應(yīng)變能的穩(wěn)態(tài)極值，并通過(guò)對(duì)棋盤格的剛度和均勻分布材料的剛度進(jìn)行對(duì)比，給出了數(shù)值上的證明。

Sigmund 和Petersson[5]對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化中出現(xiàn)的各種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，包括棋盤格式、網(wǎng)格依賴型和局部極值，進(jìn)行了較為詳細(xì)的闡述，并對(duì)各種解決方法進(jìn)行了對(duì)比。

三、解決棋盤格式現(xiàn)象的方法及比較

近年來(lái)，很多學(xué)者都致力于棋盤格式問(wèn)題的解決，提出了一些切實(shí)有效的避免棋盤格式的求解策略，大致可分為三類：第一類是后處理方法，采用后處理技術(shù)將棋盤格式過(guò)濾掉。第二類方法是采用較為穩(wěn)定的有限元模型。第三類方法是改變優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的泛函以使優(yōu)化過(guò)程趨于穩(wěn)定。

解決棋盤格式最簡(jiǎn)單的方法是采用高階有限單元代替低階有限單元，增加單元自由度，如采用8 節(jié)點(diǎn)或9 節(jié)點(diǎn)單元代替4 節(jié)點(diǎn)單元，Diaz和Jog[3,4]的研究表明，對(duì)于均勻化方法，這種方法可在很大程度上避免棋盤格式的出現(xiàn)，而對(duì)于SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)方法，只有當(dāng)懲罰因子足夠小時(shí)，采用高階單元才可以避免棋盤格式，但同時(shí)也使計(jì)算量急劇增加。

為節(jié)約計(jì)算時(shí)間，Kikuchi 等提出用4 個(gè)相鄰的單元組成一個(gè)“超參元”，并且規(guī)定這4 個(gè)單元可采取的組合方式，通過(guò)排除可能出現(xiàn)棋盤格式的組合來(lái)避免棋盤格式的出現(xiàn)，但這種方法并不能徹底消除棋盤格式。

Haber[6]提出的周長(zhǎng)約束法通過(guò)限制結(jié)構(gòu)的周長(zhǎng)來(lái)抑制棋盤格式的出現(xiàn)，其周長(zhǎng)為結(jié)構(gòu)內(nèi)外邊界的長(zhǎng)度和，但周長(zhǎng)的約束值事先難以確定，只能通過(guò)試驗(yàn)方法得到，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)困難。

Petersson[7]等提出局部梯度約束方法，通過(guò)引入局部密度變分的梯度約束，使相鄰單元的密度變化相對(duì)平緩，從而抑制棋盤格式的出現(xiàn)。

Sigmund[8]提出了基于圖像處理技術(shù)的“濾波”法，通過(guò)調(diào)整算法每次循環(huán)迭代中的設(shè)計(jì)敏度可以有效地避免棋盤格式的出現(xiàn)，這種方法還可以同時(shí)解決網(wǎng)格依賴性問(wèn)題。

四、結(jié)語(yǔ)

棋盤格式是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中常見的一種現(xiàn)象。對(duì)于棋盤格產(chǎn)生的原因，目前尚沒(méi)有本質(zhì)上的定論。在拓?fù)鋬?yōu)化中，棋盤格式的出現(xiàn)與所采用的材質(zhì)設(shè)計(jì)變量無(wú)關(guān)，即不論是采用均勻化設(shè)計(jì)方法還是采用密度法，均會(huì)出現(xiàn)棋盤格式。

上述這些方法都能不同程度的解決棋盤格現(xiàn)象，但是不能完全解決，而是在某些程度上減弱了棋盤格現(xiàn)象。拓?fù)鋬?yōu)化方法中漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法相對(duì)其它方法，應(yīng)用概念更簡(jiǎn)單，可以直接以重量為優(yōu)化目標(biāo)，算法通用性好，優(yōu)化效率高。但棋盤格現(xiàn)象確實(shí)該方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的一個(gè)重點(diǎn)難點(diǎn)，對(duì)于解決棋盤格現(xiàn)象的方法研究是今后拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域的研究重點(diǎn)。

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