訥河市第三中學

如何注重類比方法體現(xiàn)教學難點突破策略
——以“平方差公式”課堂教學實錄（一）為例

訥河市第三中學陸楊

為進一步推進數(shù)學課堂從有效課堂向高效課堂邁進，全面提升數(shù)學教師的教學水平和素養(yǎng)，訥河市教研院組織了一次同課異構(gòu)活動，最大程度地展現(xiàn)了教師的智慧和力量.以下為3個教師對“平方差公式”的不同講解，現(xiàn)將具體案例呈現(xiàn)給廣大教師，以供參考和借鑒.

同課異構(gòu)

本節(jié)課的教學內(nèi)容是人教版數(shù)學八年級上冊14.2.1平方差公式，主要探究平方差公式的過程及簡單應用.重、難點是理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應用平方差公式進行簡單的計算.采用“問題情景—探究交流—得出結(jié)論—強化訓練”的模式展開教學.利用多媒體教學手段，增加教學過程的趣味性，強調(diào)學生的動手操作和主動參與，通過集體討論、小組活動，以合作學習促進自主探究.課堂教學實錄如下：

活動一：創(chuàng)設(shè)情境，凸顯問題

師：同學們，我們剛剛學習了整式的乘法，知道了兩個多項式相乘的算法，下面同學們應用你所學的知識，探究下面的問題：

問題1：用簡便算法計算下面各題.

21伊19=?103伊97=?

問題2：同學們，你們想知道是如何計算的嗎？

生：想.

師：今天我們就一起來探究簡便計算這類問題的方法.（避開問題不去直接解答，意在喚起學生的好奇心，吸引其有意注意.）

活動二：類比發(fā)現(xiàn)，體驗新知

問題1：下面請同學們觀察下面的算式有什么特點?

（大屏幕打出.）

（1）（m+2）（m-2）

（2）（2x+1）（2x-1）

（3）（x+5y）（x-5y）

生甲：每個因式都是兩項.

生乙：都是兩個數(shù)的和與差的積……

師：大家都非常善于觀察，表現(xiàn)得很好，學習就需要這種仔細，認真的態(tài)度.（及時對學生的積極表現(xiàn)作出表揚，使學生保持良好的學習狀態(tài).）

問題2：同學們，試著計算一下，你還會有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？（以小組為單位，進行計算，并且給一定的時間讓學生一起討論.）

一小組匯報：我們組通過計算發(fā)現(xiàn)（1）（2）結(jié)果是兩個數(shù)平方的差.

二小組補充：（3）的結(jié)果變形后也是兩個數(shù)的平方的差.

師：概括得很好！觀察得很仔細，它們運算結(jié)果就是這兩個數(shù)的平方的差.根據(jù)你們找出的規(guī)律，快速計算（a+b）（a-b）.

生：異口同聲的說：a2-b2.

師：正確，我們來證明一下.（板書驗證過程.）

問題3：能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：（a+b）（a-b）= a2-b2起一個名字呢？最后的結(jié)果是這兩個數(shù)的平方差，就叫它“平方差公式”怎么樣？

生齊答：好.

師：這個內(nèi)容就是我們今天要研究的內(nèi)容.（板書課題：平方差公式，使學生體驗獲取知識后的成功與喜悅，進而激發(fā)學生的學習興趣.）

活動三：追根溯源，鞏固認知

師：你能計算出圖1與圖2的面積和嗎？有哪幾種方法？

生：（通過觀察）我是這樣計算的，圖2和圖3的面積相等，所以，圖1與圖2的面積和就是圖形1與圖3的面積和，而圖1與圖3是一個長方形，一邊是（a+b），另一邊是（a-b），所以面積是（a+b）（a-b）.

師：很好！還有沒有其他方法？

生：圖1與圖2的面積和其實就是大的正方形面積減去小的正方形的面積，而大的正方形的邊長為a，小的正方形的邊長為b，所以面積為a2-b2.

師：很好！還有沒有其他方法？

生：我先計算圖1的面積，圖1是一個長方形，長為a，寬為（a-b），面積為a（a-b），而圖2的面積是b（a-b），所以，圖1與圖2的面積和為（a+b）（a-b）.

師：非常好！大家想出了很多種計算方法，無論哪種方法其結(jié)果都是（a+b）（a-b）和a2-b2.所以，（a+b）（a-b）= a2-b2.

這樣我們又從幾何角度驗證了平方差公式.

活動四：規(guī)律應用，提升認知

師：學習公式為了運算簡便，現(xiàn)在看這樣兩道題.

例：運用平方差公式計算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）(2a+5b2)(2a-5b2)

師：這兩個題目條件是否符合平方差公式特征，你能說出本題中a，b分別表示什么嗎？（學生回答后，教師板書解題過程.）

生：（異口同聲）能.

活動五：突破難點，升華認知

問題：觀察下面各式能否運用平方差公式計算;如果能運用平方差公式,兩個因式中的哪個數(shù)看做公式中的a,哪個數(shù)看做公式中的b;計算結(jié)果是什么？

（1）（4y+3x）（3x-4y）

（2）（-5m2+3n）（5m2+3n）

（3）（2y-3）（3-2y）

（巡視學生解題情況.）

師：哪位同學愿意把你的計算結(jié)果展示給大家.

生：（1）題能運用平方差公式，把4y和3x調(diào)換一下位置，4y相當于a，3x相當于b.

師：大家判斷的很準確，真是火眼金睛啊.第（2）題呢？

生：能運用平方差公式-5m2和3n和調(diào)換位置，和調(diào)換位置，5m和3n就變成（3n-5m2）（3n+5m2）=9n2-25m4

師：有沒有跟她的看法不同？

生：（-5m2+3n）（5m2+3n）=-（5m2-3n）（5m2+3n）=-[（5· m2）2-（3n）2]

師：看來真的把這節(jié)課內(nèi)容學會了，太棒了.那第（3）題該如何做呢？

生：不可以運用平方差進行計算，2y與-2y是互為相反數(shù)，與-3也是互為相反數(shù)，所以，不能用平方差公式進行計算，運用多項式乘法計算.

師：這道題只能運用多項式乘法來進行計算了.以后，我們還會用另外一個乘法公式對它進行計算.

師：有些運算式很可能不能運用平方差公式進行計算，所以給出運算式后先看符合不符合公式，然后再找公式中的a，公式中b，最后計算結(jié)果，從前面例題和練習題看，大家對公式掌握的已經(jīng)很好了.下面我們小結(jié)以下本節(jié)主要內(nèi)容（略）.

活動六：分層作業(yè)，各有所獲

必做題：1．課本P108練習第1、2題．

2.課本P112習題14.2第1～3題．

選做題：計算：（a+b+c）（a+b-c）