劉登學(xué)，張友良，譚 飛，張禮仁

（中國科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所巖土力學(xué)與工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071）

1 引言

數(shù)值流形方法是石根華[1－2]在不連續(xù)分析方法（DDA）基礎(chǔ)上提出的，是利用“流形”數(shù)學(xué)概念的有限覆蓋技術(shù)建立起來的統(tǒng)一解決連續(xù)與非連續(xù)變形問題的數(shù)值方法，連續(xù)體的有限元方法（FEM）和塊體系統(tǒng)的非連續(xù)變形分析方法（DDA），只是這一數(shù)值方法的特例。這種方法采用2個網(wǎng)格體系（物理網(wǎng)格和數(shù)學(xué)網(wǎng)格）分析問題，在分析域內(nèi)的物理覆蓋上建立一般覆蓋位移函數(shù)加權(quán)求和形成總體位移函數(shù)。當(dāng)流形方法的覆蓋函數(shù)推廣到高階情況時，其求解精度將會有很大的提高。

目前二維流形方法的理論已經(jīng)比較完善，而且國內(nèi)許多學(xué)者也將該理論應(yīng)用到了隧道的開挖模擬中[3－5]，并取得了很好的效果，如王水林等[16]、鄭宏等[7]利用數(shù)值流形方法進(jìn)行了二維裂紋擴(kuò)展問題的研究。然而，實(shí)際的隧道和地下工程問題都是三維問題，任何計(jì)算方法最終都應(yīng)該發(fā)展成為三維并服務(wù)于工程實(shí)際，近些年來，國內(nèi)外部分學(xué)者圍繞三維數(shù)值流形方法理論及應(yīng)用做了大量的工作。姜清輝[8－11]等基于四面體覆蓋網(wǎng)格建立了0 階及高階的三維數(shù)值流形分析格式，還成功模擬了三維無壓滲流問題，也對三維數(shù)值流形方法的點(diǎn)面接觸模型進(jìn)行了研究。鄭榕明等[12]對基于六面體覆蓋的0 階三維數(shù)值流形方法進(jìn)行了探討。何磊等[13]將三維數(shù)值流形方法應(yīng)用到裂隙巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定性分析中。郭旭陽等[14]、林毅峰等[15]研究了高階數(shù)值流形方法中存在的線性相關(guān)問題。

本文在六面體有限元覆蓋的三維流形方法基礎(chǔ)上，分別采用完全一階近似位移覆蓋函數(shù)和二階近似位移函數(shù)，建立相應(yīng)的分析格式，分析了高階數(shù)值流形法中線性相關(guān)問題，編制了相應(yīng)的程序，并對該方法在隧道與地下工程應(yīng)用做了簡單的分析和展望。

2 基本理論

2.1 權(quán)函數(shù)與位移函數(shù)

采用8 節(jié)點(diǎn)六面體有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格，取六面體有限單元的形函數(shù)Ni(i=1～8)作為權(quán)函數(shù)，C8 型等參單元的形函數(shù)可以表示為

式中： ξi、ηi、 ζi為六面體第i(i=1:8)個頂點(diǎn)在局部坐標(biāo)系（ξ，η，ζ）中對應(yīng)的坐標(biāo)值。

采用兩種不同的局部近似函數(shù)：（1）{1，x，y，z}；（2）{1，x2，y2，z2}，完全一階近似位移函數(shù)帶來的線性相關(guān)問題將在后面部分討論。兩種不同近似函數(shù)對應(yīng)的物理覆蓋i 的位移函數(shù)可表示為

本文采用8 節(jié)點(diǎn)六面體有限元網(wǎng)格作為數(shù)學(xué)覆蓋，一個流形單元由8個物理覆蓋（節(jié)點(diǎn)）組成，流形單元的位移函數(shù)有8個物理覆蓋的位移函數(shù)加權(quán)平均，可表示為

2.2 三維流形單元的剛度矩陣

對于流形方法，剛度矩陣的積分區(qū)域?yàn)榱餍螁卧?，與有限元一樣單元應(yīng)變可根據(jù)幾何方程求出：

式中：

類似的可以寫出局部近似函數(shù)為{1，x2，y2，z2}的應(yīng)變矩陣。

由單元e 彈性應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變能為

式中：J為雅克比矩陣；{E}為彈性矩陣。則單元剛度矩陣為

2.3 荷載及固定約束子矩

2.3.1 點(diǎn)荷載矩陣

點(diǎn)荷載(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)T作用在單元e 中得點(diǎn)(x0，y0，z0)上，則對應(yīng)的點(diǎn)荷載矩陣為

式中：(ξ0,η0,ζ0)為(x0,y0,z0)在局部坐標(biāo)系中對應(yīng)的坐標(biāo)值。

2.3.2 體積荷載矩陣

設(shè)(fx,fy,fz)T是不變的體積力，它作用在單元e 的材料體積內(nèi)，則體積力引起的荷載矩陣為

2.3.3 固定約束矩陣

假定固定點(diǎn)是在單元e 的(x0,y0,z0)上，沿xyz方向分別設(shè)置彈簧，彈簧的剛度為p，則對應(yīng)的位移約束矩陣為

式中：(ξ0,η0,ζ0)為(x0,y0,z0)在局部坐標(biāo)系中對應(yīng)的坐標(biāo)值。

2.4 等參坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的相互映射

因本文采用C8 型等參單元中的形函數(shù)作為三維流形單元的權(quán)函數(shù)，勢必要涉及坐標(biāo)的變換。等參坐標(biāo)到整體坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系為

式中： xi、 yi、 zi為六面體結(jié)點(diǎn)在總體（笛卡爾）坐標(biāo)內(nèi)的坐標(biāo)值。

Ni對于x、y、z 的偏導(dǎo)數(shù)可利用自然坐標(biāo)顯示，表示為

本文數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格采用的是規(guī)則的六面體，因而整體坐標(biāo)中任意一點(diǎn)(x，y，z)在等參坐標(biāo)中對應(yīng)的(ξ,η,ζ)可以通過式（17）表示：

式中：x0、y0、z0為流形單元所對應(yīng)的8個物理覆蓋（節(jié)點(diǎn)）形成的六面體的中心坐標(biāo)；a、b、c為數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格的三個方向的尺寸大小。

3 高階數(shù)值流形法的線性相關(guān)問題

數(shù)值流形法中，當(dāng)局部函數(shù)采用不低于一階的多項(xiàng)式時會導(dǎo)致總體剛度矩陣K 的過分虧秩，即使在引入位移邊界消除了模型的剛體位移后，K 仍然是虧秩的，即所謂的線性相關(guān)問題。線性相關(guān)會導(dǎo)致平衡方程的解不惟一，但在物體施加完整的位移約束后，每個解所對應(yīng)的位移是惟一的[16]。此外，林毅峰、朱合華等還發(fā)現(xiàn)，采用完全一次多項(xiàng)式局部近似函數(shù)雖然線性相關(guān)，但求解仍然收斂，且精度高于線性無關(guān)的單元；近似函數(shù)為{1，x2，y2，z2}的流形方法形成的整體剛度矩陣在施加位移邊界條件后滿秩[15]。

針對完全一階近似位移函數(shù)導(dǎo)致的線性相關(guān)問題，本文在求解平衡方程時采用郭朝旭等提出的改進(jìn)的LDLT 算法[14]，穩(wěn)定的求出方程的一組特解。

4 算 例

本文采用MATLAB 軟件基于所建立的分析格式，編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，并對2個算例進(jìn)行了驗(yàn)證。

算例1.計(jì)算模型左端固定，右端受到大小為1 kPa 的均布荷載，模型尺寸為4 m×2 m×2 m，物體材料常數(shù)：E=1 GPa，v=0.25，不考慮物體的重力。算例1 的計(jì)算模型如圖1 所示。采用如圖2 所示的數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格，因此模型為連續(xù)體流形單元的物理覆蓋數(shù)等于有限元的節(jié)點(diǎn)數(shù)，共生成16個流形單元，45個物理覆蓋（節(jié)點(diǎn)）。圖3為物體沿x 方向的位移。

圖1 物理計(jì)算模型Fig.1 Physical computational model

圖2 數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格Fig.2 Mathematical covers for numerical problem

圖3 物體x 方向的位移Fig.3 Displacement in x direction

從圖3 可以看出，采用0 階近似位移函數(shù)時，計(jì)算結(jié)果與理論解有一定的誤差；采用完全一階近似函數(shù)時，剛度矩陣的虧秩數(shù)量為107，利用修正的LDLT 算法穩(wěn)定的得出了一組特解，計(jì)算結(jié)果能很好的逼近理論解；采用{1，x2，y2，z2}二階近似函數(shù)時，求解沒有出現(xiàn)線性相關(guān)問題，結(jié)果也能很好地逼近理論解，但計(jì)算量及計(jì)算時間顯著增加，該結(jié)果也驗(yàn)證了本程序的正確性。

算例2.大小為7 m×6 m×6 m 矩形物體，中間有一個1 m×1 m×6 m 的矩形孔洞，物體下端，左右端固定，計(jì)算模型見圖4。材料常數(shù)：E=2 GPa，v=0.4，ρ=2 000 kg/m3。采用如圖5 所示的數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格，共生成252個流形單元，392個物理覆蓋（節(jié)點(diǎn)）。

圖4 物理計(jì)算模型Fig.4 Physical computational model

圖5 數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格Fig.5 Mathematical covers for numerical problem

圖6為在自重應(yīng)力作用下矩形孔洞兩側(cè)（x=3 m或4 m）的豎向（z 方向）的位移曲線。當(dāng)局部近似函數(shù)采用完全一階時，整體剛度矩陣的秩為4 149，虧秩數(shù)量為555；當(dāng)采用{1，x2，y2，z2}的二階局部近似函數(shù)時，整體剛度矩陣的秩為4 704，滿秩。從圖可以看出，采用高階的三維數(shù)值流形方法對該問題的模擬計(jì)算結(jié)果與采用ABAQUS 等有限元的模擬計(jì)算結(jié)果基本一致。算例2 通過對簡單地下洞室模型的計(jì)算，表明三維高階數(shù)值流形方法在計(jì)算該方面的問題時是可行的。

圖6 孔洞兩側(cè)的豎向位移Fig.6 The vertical displacement along the side of the hole

5 結(jié)語

本文基于六面體的數(shù)學(xué)覆蓋網(wǎng)格，建立了高階的三維數(shù)值流形方法分析格式，利用MATLAB 編制了相應(yīng)的計(jì)算程序。通過對算例1 的計(jì)算，驗(yàn)證了所編制的計(jì)算程序的正確性，其計(jì)算結(jié)果還表明高階的數(shù)值流形方法相對于0 階的流形方法有更高的精度。算例2 通過對簡單地下洞室模型的計(jì)算，驗(yàn)證了三維高階數(shù)值流形方法在計(jì)算地下洞室變形方面的有效性。

在隧道及地下工程分析中必需控制求解精度，在數(shù)值流形法中則通過控制數(shù)學(xué)覆蓋的網(wǎng)格的稀疏和覆蓋位移的階數(shù)來達(dá)到精度的要求。隧道和地下工程不可避免的會存在大量的節(jié)理裂隙，數(shù)值流形法中由于采用2 套獨(dú)立覆蓋系統(tǒng)，在不連續(xù)面處采用非連續(xù)的覆蓋函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)對不連續(xù)、大變形問題的分析。數(shù)值流形方法在隧道及地下工程的應(yīng)用前景是可預(yù)見的。

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