滕琴,徐玲,吳珞

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

關(guān)于微積分和矢量法在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用

滕琴,徐玲,吳珞

(上海第二工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,上海201209)

運(yùn)用微積分求解物理問(wèn)題是大學(xué)物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。通過(guò)典型實(shí)例分析,闡述了微積分和矢量法在工科物理教學(xué)中的應(yīng)用,總結(jié)了運(yùn)用微積分和矢量法來(lái)分析和處理物理問(wèn)題的方法和技巧。

微積分;矢量法;大學(xué)物理

0 引言

任何復(fù)雜的物理現(xiàn)象和規(guī)律都是以最基本的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的[1]。中學(xué)物理注意應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決相對(duì)簡(jiǎn)單的物理問(wèn)題,處理的物理量多為常量;而大學(xué)物理主要應(yīng)用微積分和矢量法來(lái)解決相對(duì)復(fù)雜的物理問(wèn)題,處理的物理量多為變量。大學(xué)物理一般安排在學(xué)生至少經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)之后開(kāi)設(shè)。在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),工科學(xué)生往往把《高等數(shù)學(xué)》和《大學(xué)物理》看做兩門(mén)相互獨(dú)立的課程,沒(méi)有充分重視物理和數(shù)學(xué)之間的密切關(guān)系。而且中學(xué)物理的思維模式和解題習(xí)慣根深蒂固,部分大一、大二學(xué)生還未完全適應(yīng)從中學(xué)物理到大學(xué)物理的銜接和轉(zhuǎn)換,往往需要經(jīng)過(guò)教師的悉心指導(dǎo)和思維點(diǎn)撥,才能真正實(shí)現(xiàn)“數(shù)源于物、執(zhí)數(shù)索理”。因此,在大學(xué)物理教學(xué)中,需要將微積分和矢量法貫穿始終,并且不能將其簡(jiǎn)單視為數(shù)學(xué)工具的使用,更要提升為思維方法的靈活應(yīng)用[1-2]。

1 構(gòu)建物理情境和模型,理解公式符號(hào)的物理意義

物理和數(shù)學(xué)一樣具有抽象性,但每一個(gè)抽象公式都和實(shí)際的物理對(duì)象相對(duì)應(yīng)[3]。物理問(wèn)題都有其特定的物理情境和模型,脫離了物理情境和模型,公式和符號(hào)也就失去了生命力。數(shù)學(xué)上的公式符號(hào)相對(duì)單一,如函數(shù)以y表示,變量以x表示,簡(jiǎn)單明了、便于理解和記憶;而物理概念和符號(hào)眾多,學(xué)生學(xué)習(xí)所面臨的一大困擾就是不能正確表達(dá)。尤其是教材印刷體中的矢量以黑體表示,而在日常書(shū)寫(xiě)如板書(shū)、作業(yè)、考試中則需在字母上方加箭頭表示,往往教師已經(jīng)反復(fù)提醒,而學(xué)生卻依然經(jīng)常忽略。因此,對(duì)于物理概念和符號(hào)不能只停留在數(shù)值關(guān)系上去認(rèn)識(shí)它們,更重要的是理解其中蘊(yùn)含的物理意義。

以帶電球面為例,如圖1所示,半徑為R,電荷面密度σ=σ0cosθ(σ0為常數(shù)),求球心O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

圖1 非均勻帶電球面Fig.1 Non-uniformly charged spherical

教材中有關(guān)于均勻帶電球面場(chǎng)強(qiáng)分布情況的介紹[4],有些學(xué)生看到圖1中的帶電體是一個(gè)球面,往往會(huì)直接聯(lián)想到用高斯定理求解均勻帶電球面的解題方法,而忽略了此題中的一個(gè)關(guān)鍵因素:該物理模型是一個(gè)電荷非均勻分布的球面,電荷面密度明確告知是一個(gè)變量——σ是θ的函數(shù),即球面上不同θ位置處的電荷在球心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)不同。因此,無(wú)法通過(guò)做高斯球面的方法求出電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向,對(duì)于變量問(wèn)題只能用微積分的方法來(lái)求解。

不同的物理模型之間還有一定的關(guān)聯(lián)性,如圖1和圖2,教師在教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去探究和梳理它們彼此之間的這種關(guān)系。圖1中的球面雖然整體帶電是非均勻的,但如果將球面分割成無(wú)窮多個(gè)與x軸垂直的細(xì)圓環(huán),就可以得到電荷均勻分布的微元:由于同一圓環(huán)上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)θ相同,電荷面密度與θ位置有關(guān),可以推斷出每一個(gè)圓環(huán)上電荷均勻分布。因此,此例非均勻帶電球面在球心O處場(chǎng)強(qiáng)可以歸結(jié)為任意分割的均勻帶電圓環(huán)在中軸線(xiàn)上一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的累積,這樣就找到了這兩種物理模型之間潛在的聯(lián)系,同時(shí)也找到了應(yīng)用微積分解決該物理問(wèn)題的突破口。

圖2 均勻帶電圓環(huán)Fig.2 Uniformly charged ring

2 明確坐標(biāo)系及微元選取規(guī)則,領(lǐng)悟微分、積分辯證關(guān)系

成功運(yùn)用微積分方法解決物理問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是合理地構(gòu)造微元以體現(xiàn)元過(guò)程、元作用和元貢獻(xiàn)[5],因此坐標(biāo)系和微元的選取非常重要,并且先微分后積分才能順利完成整個(gè)解題過(guò)程。

2.1 坐標(biāo)系的選取

由圖1中帶電體模型電荷分布關(guān)于水平方向?qū)ΨQ(chēng)這一情況可知,場(chǎng)強(qiáng)方向應(yīng)該是沿對(duì)稱(chēng)軸從正電荷到負(fù)電荷,因此在坐標(biāo)系選取時(shí)宜以球心為原點(diǎn),以水平向右為x軸方向。這樣建立坐標(biāo)系之后,O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向也就可以確定為沿x軸負(fù)方向,各物理量的幾何關(guān)系也就從坐標(biāo)中明晰可見(jiàn)。

2.2 微元的選取

靜電場(chǎng)中帶電體從幾何描述上有線(xiàn)分布、面分布、體分布3種類(lèi)型,坐標(biāo)系的選取有一維、二維、三維之分,微元的選取則包含了線(xiàn)元dl,面元dS,體元dV 3種方法,歸結(jié)到電荷元的表達(dá)式分別為:dq=λdl,dq=σdS,dq=ρdV(λ為電荷線(xiàn)密度,ρ為電荷體密度)。此例中微元選取規(guī)則是:將球面沿豎直方向分割為無(wú)窮多個(gè)半徑為r、寬度為dr的圓環(huán),微元即面元dS=2πrdr,電荷元dq=σdS。結(jié)合幾何關(guān)系分析,圓環(huán)半徑r=Rsinθ、圓環(huán)寬度dr=Rdθ,相應(yīng)的電荷元為: dq=σdS=σ0cosθ2πR2sinθdθ。

根據(jù)教材[4]可知,半徑為R、帶電荷為q均勻帶電細(xì)圓環(huán),其中軸線(xiàn)上距環(huán)心x處一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為:通過(guò)類(lèi)比的方式可寫(xiě)出任一半徑為r、帶電量為dq的分割豎直圓環(huán)在球心O (距環(huán)心x處)產(chǎn)生的元場(chǎng)強(qiáng)(ε0為真空介電常數(shù))。

2.3 微分和積分的辯證關(guān)系

微積分方法是一種辯證的思想方法,其精妙之處就在于包含了近似與精確、有限與無(wú)限、局部和整體的對(duì)立統(tǒng)一。此例中先要用微分法對(duì)帶電球面進(jìn)行空間上的分割并取微元dS,在取好微元寫(xiě)出元物理量dE之后,接著再用積分法把無(wú)限個(gè)小微元進(jìn)行求和,把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累積起來(lái),最終得到問(wèn)題的處理結(jié)果。

3 統(tǒng)一積分變量,確定積分上下限

大學(xué)物理中的微積分應(yīng)用往往結(jié)合具體的物理模型,主要是定積分的應(yīng)用,在具體積分過(guò)程中,還需要掌握統(tǒng)一積分變量、確定積分上下限的技巧。

上面式子中涉及q、x、r三個(gè)變量,必須通過(guò)公式轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量,并確定積分的上限和下限,才能得出最后的積分運(yùn)算結(jié)果。根據(jù)幾何關(guān)系: x=Rcosθ,r=Rsinθ,以及上面的電荷元公式: dq=σds=σ0cosθ2πR2sinθdθ,確定最終的統(tǒng)一變量應(yīng)該是θ,即垂直圓環(huán)上一點(diǎn)到球心O的連線(xiàn)與x軸正方向夾角。代入元場(chǎng)強(qiáng)公式化簡(jiǎn)得到:

在積分之前還要注意到:由于場(chǎng)強(qiáng)是矢量,需要考慮其方向性。注意到此式中的微元是圓環(huán)面而非點(diǎn)電荷,元場(chǎng)強(qiáng)是套用均勻帶電圓環(huán)中軸線(xiàn)上一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)公式而非點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式,元場(chǎng)強(qiáng)的方向已經(jīng)保持沿x軸方向的一致性,因此無(wú)需分解便可直接積分(如果是線(xiàn)分布帶電體套用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式,則需要對(duì)元場(chǎng)強(qiáng)進(jìn)行分解)。

從圖1中可看出積分上下限分別為0和π,最后積分可得環(huán)心O處場(chǎng)強(qiáng)大小:

4 注意矢量法在微積分中的應(yīng)用

在用微積分求解大學(xué)物理問(wèn)題過(guò)程中,對(duì)矢量法必須加以重視,尤其是矢積和標(biāo)積的運(yùn)算規(guī)則,很多學(xué)生容易忽略。矢積:大小|a×b|=abcosθ,方向用右手定則判定;標(biāo)積:a·b=absinθ(θ是a與b的夾角)。如大學(xué)物理中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式:就是一個(gè)很好的綜合運(yùn)用矢積和標(biāo)積的例子。

根據(jù)上述運(yùn)算規(guī)則將動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)公式展開(kāi):

其中:α是速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的夾角;β是(v×B)與線(xiàn)元dl的夾角。這樣展開(kāi)之后,結(jié)合具體圖例,積分式中的每一個(gè)量便可清晰判斷。

以直導(dǎo)線(xiàn)在非均勻磁場(chǎng)中切割磁場(chǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)為例。如圖3所示,一直導(dǎo)線(xiàn)cd在一無(wú)限長(zhǎng)直電流磁場(chǎng)中沿水平向右方向以速度v作切割磁場(chǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng), cd長(zhǎng)為L(zhǎng),求動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。

在直導(dǎo)線(xiàn)cd上任意選取坐標(biāo)為x處的線(xiàn)元dl為微元,寫(xiě)出元電動(dòng)勢(shì):

圖3 直導(dǎo)線(xiàn)在非均勻磁場(chǎng)中做切割磁場(chǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)Fig.3 A straight wire cutting magnetic feld lines in non-uniform magnetic feld

很顯然,從圖3中不難看出:速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的夾角α為90°,(v×B)與線(xiàn)元dl的夾角β與θ互余。可得:

可確定積分上下限對(duì)應(yīng)為c、d兩點(diǎn)距原點(diǎn)的距離,即a和a+Lcosθ。最后積分得到動(dòng)生電動(dòng)勢(shì):

需要提醒學(xué)生注意的是:感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)雖然屬于標(biāo)量,但卻和感應(yīng)電流一樣具有方向,根據(jù)公式可判定沿(v×B)方向,從c端(低電勢(shì))指向d端(高電勢(shì))。

5 將微積分和矢量法與其他物理科學(xué)方法結(jié)合

物理概念和規(guī)律只有通過(guò)科學(xué)方法的參與,才能上升為知識(shí)形態(tài),不僅如此,物理理論的應(yīng)用同樣需要科學(xué)方法的參與[6]。任何一個(gè)物理定律或理論都是多個(gè)科學(xué)方法共同作用的結(jié)果,各個(gè)科學(xué)方法彼此之間要相互支撐、相互融合,并使科學(xué)方法教育和知識(shí)教學(xué)有機(jī)融合起來(lái),才能達(dá)到優(yōu)化整體教學(xué)效果的目的。微積分和矢量法應(yīng)用作為大學(xué)物理教學(xué)主線(xiàn)之一,還應(yīng)該與等效法、補(bǔ)償法、對(duì)稱(chēng)法、類(lèi)比法等其他科學(xué)方法有效結(jié)合起來(lái)。如下例體現(xiàn)了微積分矢量法和等效法的有機(jī)結(jié)合。

一半徑為R的帶電圓環(huán)由兩部分組成:左四分之一圓弧電荷線(xiàn)密度為-λ,右四分之一圓弧電荷線(xiàn)密度為+λ,如圖4所示,求環(huán)心O處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)。

圖4 正負(fù)四分之一帶電圓弧Fig.4 Positively and negatively charged fourth quarter circular arc

(1)求環(huán)心O處場(chǎng)強(qiáng)。結(jié)合等效法,根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布特點(diǎn)可知:該帶電圓環(huán)在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等效于一個(gè)正二分之一圓環(huán)(位于一、四象限,如圖5(a))或一個(gè)負(fù)二分之一圓環(huán)(位于二、三象限,如圖5(b))在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。

圖5 正負(fù)四分之一帶電圓弧的等效圖:(a)位于一、四象限內(nèi)的正二分之一圓環(huán);(b)位于二、三象限內(nèi)的負(fù)二分之一圓環(huán)Fig.5 The equivalent fgure of positively and negatively charged fourth quarter circular arc:(a)A Positively charged half circle in the frst and forth quadrants;(b)A negatively charged half circle in the second and third quadrants

通過(guò)等效法,可以將此題簡(jiǎn)化為二分之一均勻帶電圓環(huán)求解環(huán)心O處場(chǎng)強(qiáng),積分思路得到簡(jiǎn)化。

以圖5(a)中電荷線(xiàn)密度為+λ的二分之一圓環(huán)為例:首先以環(huán)心O為原點(diǎn),水平和豎直方向分別為x軸和y軸方向,建立如圖所示二維坐標(biāo)系;在帶電圓環(huán)上任取一電荷元dq=λdl;根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式寫(xiě)出元場(chǎng)強(qiáng)由于場(chǎng)強(qiáng)是矢量,還需要考慮其方向性,這里需要用到對(duì)稱(chēng)性的思想方法來(lái)分析,場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于對(duì)稱(chēng)軸方向的分量相互抵消,只有沿對(duì)稱(chēng)軸x方向的分量有貢獻(xiàn),即由幾何關(guān)系可知dl=Rdθ,這樣變量統(tǒng)一歸為用θ來(lái)表示。確定積分上下限分別為圓環(huán)上下兩端到環(huán)心連線(xiàn)與x正方向的夾角,即積分得

方向沿x軸負(fù)方向。

(2)求環(huán)心O處電勢(shì)。考慮到該帶電球面的電荷代數(shù)和為0,可以推斷球心處電勢(shì)的代數(shù)和應(yīng)為0,即

這樣,看似復(fù)雜的運(yùn)算就變得非常簡(jiǎn)單而且易于理解了。

6 結(jié)語(yǔ)

學(xué)生只有將微積分與具體物理問(wèn)題相結(jié)合,在解題過(guò)程中掌握微積分以及矢量的分析方法和技巧,并與其他物理科學(xué)方法有機(jī)結(jié)合,才能實(shí)現(xiàn)將微積分和矢量法從單純的運(yùn)算工具的使用提升為思想方法的綜合運(yùn)用,從而熟練地解決一些運(yùn)用初等數(shù)學(xué)所解決不了的物理變量問(wèn)題,理解大學(xué)物理和中學(xué)物理的區(qū)別和聯(lián)系,提升學(xué)習(xí)大學(xué)物理的信心和興趣,并形成良好的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,為將來(lái)從事工程技術(shù)和科學(xué)研究奠定扎實(shí)的物理基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn):

[1]黎定國(guó),鄧玲娜,劉義保,等.大學(xué)物理中微積分的思想方法淺談[J].大學(xué)物理,2005(12):51-54.

[2]劉慧英.電磁學(xué)中應(yīng)用微積分的易錯(cuò)問(wèn)題探析[J].集美大學(xué)學(xué)報(bào),2012,13(2):102-105.

[3]熊青玲.大學(xué)物理中關(guān)于矢量的應(yīng)用問(wèn)題探討[J].希望月報(bào),2008(3):14-15.

[4]王少杰,顧牡.新編基礎(chǔ)物理學(xué):下冊(cè)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[5]丁亞明,曹彥鵬,陳延德.對(duì)大學(xué)物理中微積分應(yīng)用的認(rèn)識(shí)[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào),2011,25(5):110-113.

[6]李正福,李春密,邢紅軍.物理教學(xué)中的科學(xué)方法顯性教育[J].教育科學(xué)研究,2011(1):54-57.

The Investigation of Calculus and Vector Method Application in College Physics Teaching

TENG Qin,XU Ling,WU Luo
(School of Science,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Use of calculus solving physics problems is the emphasis and diffculty in college physics teaching.Combined with typical examples,it elaborates the application of calculus and vector method in engineering physics teaching,and thus summarizes the skills and means of applying calculus and vector method to analyze and deal with physical problems.

calculus;vector method;college physics

G642.4

A

1001-4543(2014)03-0223-05

2014-02-27

滕琴(1975–),女,江蘇昆山人,副教授,碩士,主要研究方向?yàn)榇髮W(xué)物理教學(xué)。電子郵箱tengqin@sspu.edu.cn。

上海市教委重點(diǎn)教改項(xiàng)目(No.1350JW130040)資助