張來萍, 楊莉, 及萬會(huì)

(1.銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部, 銀川 永寧 750105; 2.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

中心型二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)

張來萍1, 楊莉2, 及萬會(huì)1

(1.銀川能源學(xué)院基礎(chǔ)部, 銀川 永寧 750105; 2.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 寧夏 銀川 750021)

利用白塔函數(shù)與積分關(guān)系將組合數(shù)化成積分形式, 再用積分公式建立一個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù), 對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)使用裂項(xiàng)方法得到母含有1到5個(gè)奇因子的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)..并給出二項(xiàng)式系數(shù)數(shù)倒數(shù)值級(jí)數(shù)恒等式.裂項(xiàng)的方法研究二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)變換是組合分析的新手段,也是產(chǎn)生新級(jí)數(shù)的一個(gè)初等方法.

二項(xiàng)式系數(shù); 中心型; 倒數(shù); 裂項(xiàng); 級(jí)數(shù); 恒等式.

1 引言

2 主要結(jié)論和證明

定理1 中心型二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)

(0)式得證

定理2 二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)如下

(1) 分母含有1個(gè)因子二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)

(2) 分母含有2個(gè)奇因子的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)

(4).分母含有4個(gè)奇因子的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)

定理2證明

在(32)式中有1個(gè)因子的分式; 2個(gè)因子的分式; .3個(gè)因子的分式; 4個(gè)因子的分式; 5個(gè)因子的分式..對(duì)它們實(shí)行下列運(yùn)算得到分母含有1個(gè), 2個(gè), 3個(gè), 4個(gè),5個(gè)因子的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù).

1) (32)式所有分式化成部分分式, 得到:

2)在(32)式中2個(gè)因子的分式有10個(gè), 保留2個(gè)因子的分式, 其他分式化成部分分式.對(duì)這10個(gè)分式編號(hào)依次為1號(hào), 2號(hào), 3號(hào),, 10號(hào).保留1號(hào), 其他分式化成部分分式; 保留2號(hào), 其他分式化成部分分式; 保留3號(hào), 其他分式化成部分分式, 繼續(xù)下去, 保留10號(hào), 其他分式化成部分分式, 得到:

3) 在(32)式中3個(gè)因子的分式有10個(gè), 保留3個(gè)因子的分式, 其他分式化成部分分式.對(duì)這10個(gè)分式編號(hào)依次為1號(hào), 2號(hào), 3號(hào),…, 10號(hào).保留1號(hào), 其他分式化成部分分式; 保留2號(hào), 其他分式化成部分分式; 保留3號(hào), 其他分式化成部分分式, 繼續(xù)下去, 保留10號(hào), 其他分式化成部分分式, 得到:

4) 在(32)式中4個(gè)因子的分式有5個(gè), 保留4個(gè)因子的分式, 其他分式化成部分分式,.對(duì)這5個(gè)分式編號(hào)依次為1號(hào), 2號(hào),, 5號(hào).保留1號(hào), 其他分式化成部分分式; 保留2號(hào), 其他分式化成部分分式; 繼續(xù)下去, 保留5號(hào), 其他分式化成部分分式, 得到:

結(jié)語(yǔ) 通過逐次裂項(xiàng), 將產(chǎn)生含有1個(gè),2個(gè),3個(gè), 4個(gè), 5個(gè)因子的分式, 將它們化成部分分式,通過一定程序?qū)⑦@些分式轉(zhuǎn)化成分母含有1個(gè),2個(gè),3個(gè), 4個(gè),5個(gè)因子的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)封閉形公式.

如果繼續(xù)裂項(xiàng)可以到分母含有1到6個(gè)因子,1到7個(gè)因子,….,1到p的二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù).所得級(jí)數(shù)公式的個(gè)數(shù)為 個(gè).因此, 裂項(xiàng)法在級(jí)數(shù)變換方面有著較廣泛適用性.

3 一些數(shù)值級(jí)數(shù)

推倫 分母含有奇因子二項(xiàng)式系數(shù)倒數(shù)級(jí)數(shù)恒等式

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The series involving reciprocals of central binomial coefficients

ZHANG Lai-ping1, YANG Li2, JI Wan-hui1
(1.Department of Basic Courses, Yinchuan Energy College, Yinchuan 750105, P.R.C.; 2.Department of Mathematics and Information Science, Beifang University of Nationalities,Yinchuan 750021, P.R.C.)

Utilizing Gama-Beta function, this paper obtains one series involving reciprocals of binomial coefficients and structures several new series of reciprocals of binomial coefficients by splitting items. These denominators of series contain different multiplications of one to five odd factors and binomial coefficients. The method of split items offered in this paper is a new combinatorial analysis and an elementary method to construct new series.

binomial coefficient; central; split term; reciprocals; series; form closed; identity

O157

A

1003-4271(2014)06-0905-11

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.19

2014-08-26

張來萍(1979-), 女, 漢族, 寧夏人, 碩士, 講師, 研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué); Email: zhanglaiping79@163.com.

寧夏自然科學(xué)基金(NZ12208)