葉 飛

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽銅陵，244061)

概率論是從數(shù)量上研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的學(xué)科，它在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和管理科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用[1]。概率論是高等數(shù)學(xué)一個(gè)重要的組成部分，在學(xué)生后續(xù)的專業(yè)課程學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用。近年來(lái)，一些教育工作者對(duì)有關(guān)概率論課程教學(xué)方面的問(wèn)題進(jìn)行了一些有益的探索[2-4]。筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，從以下四個(gè)方面對(duì)概率論課程教學(xué)進(jìn)行分析，以提高教學(xué)效果。

一、加強(qiáng)基本概念的辨析與理解

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基石，沒(méi)有它便無(wú)法構(gòu)筑理論體系[5-6]。概念表達(dá)形式是詞或詞組，但這只是表象，關(guān)鍵是要弄清楚概念的內(nèi)涵和外延。在概率論的教學(xué)中會(huì)涉及很多抽象的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生對(duì)這些概念的辨析是否準(zhǔn)確、理解是否透徹，直接關(guān)系到概率論課程教學(xué)效果的好壞。在教學(xué)中，教師應(yīng)該注意加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些基本概念的辨析與理解。下面舉一些實(shí)例。

(一)頻率與概率

在非數(shù)學(xué)專業(yè)所使用的概率論教材中，一般使用頻率來(lái)定義概率，從統(tǒng)計(jì)的角度給出概率的定義，這樣便于學(xué)生直觀地理解。概率是概率論中最基本的概念，正確理解頻率與概率的異同，對(duì)于學(xué)習(xí)概率論非常重要。根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)，頻率和概率的定義分別如下[7]：

定義1 在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率。

定義2 在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行了n次試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在一個(gè)常數(shù)p附近擺動(dòng)，通常，n越大，擺動(dòng)的幅度越小，稱常數(shù)p為事件A的概率。

由定義1和定義2可以看出，事件A的頻率是多次試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，是隨機(jī)的，受試驗(yàn)次數(shù)n的影響，但不完全由n決定。一般隨著試驗(yàn)次數(shù)n的逐漸增大，頻率波動(dòng)的幅度逐漸減小并趨于穩(wěn)定。事件A的概率是客觀存在的，是確定的，與試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)關(guān)。概率是對(duì)事件A發(fā)生可能性的一種度量，反映了事物的某種客觀屬性。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí)，頻率充分接近概率，此時(shí)可以使用頻率來(lái)近似估計(jì)概率。頻率和概率是具有一些相同性質(zhì)的，如非負(fù)性、正則性和可加性等。下面通過(guò)例1幫助學(xué)生深入理解頻率與概率之間的關(guān)系。

例1 對(duì)上海市某公共汽車站的客流量進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了某天上午10∶30至11∶47每隔20s到來(lái)的乘客批數(shù)(每批可能有數(shù)人同時(shí)來(lái)到)，共得到230個(gè)記錄。我們分別計(jì)算了到來(lái)0批、1批、2批、3批、4批及4批以上乘客的時(shí)間區(qū)間的頻數(shù)，結(jié)果列于表1中。經(jīng)過(guò)比較，可以看出其相應(yīng)的頻率與λ=0.87的泊松分布符合得很好。表中λ的計(jì)算如下：

表1 公共汽車客流量統(tǒng)計(jì)

分析：這是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[7]中第二章第二節(jié)中的一個(gè)例題。在教學(xué)過(guò)程中，教師常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)上述λ的求法感到困惑。究其原因，可能是學(xué)生沒(méi)有充分理解頻率與概率之間的關(guān)系。在題目的已知條件中，盡管只給出了一些關(guān)于客流量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，但由于n較大，所以可以使用頻率來(lái)近似估計(jì)概率，然后根據(jù)“泊松分布的數(shù)學(xué)期望等于泊松分布的參數(shù)”這個(gè)事實(shí)，可求得λ的值。

(二)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量是概率論中一個(gè)非常重要的概念，通過(guò)界定這一概念實(shí)現(xiàn)了使用分析學(xué)研究概率論。下面根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)給出隨機(jī)變量的一般定義[7]：

定義3 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是Ω。如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)ω∈Ω都唯一地有一個(gè)實(shí)數(shù)X(ω)與它對(duì)應(yīng)，則稱單值實(shí)值變量X(ω)為一個(gè)隨機(jī)變量。

在概率論的教學(xué)中，教師一般只介紹離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。于是，學(xué)生常常認(rèn)為隨機(jī)變量只有離散型和連續(xù)型這兩類。事實(shí)上，隨機(jī)變量還有第三種類型，即奇異型隨機(jī)變量。盡管對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，完全理解奇異型隨機(jī)變量有一定的困難，但需要說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題，以免學(xué)生產(chǎn)生誤解。

此外，非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生常常難以理解離散型隨機(jī)變量中關(guān)于可列無(wú)限的描述。因此，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)和理解，有必要補(bǔ)充一些關(guān)于集合勢(shì)的基本概念與結(jié)論，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)上塑造“無(wú)限”的基本方式[8]。并且，這對(duì)于學(xué)生理解概率的可列可加性也是非常必要的。

(三)回置式抽樣和非回置式抽樣

在概率論中經(jīng)常涉及抽樣問(wèn)題。根據(jù)抽取樣本方式的不同，抽樣可分為回置式抽樣和非回置式抽樣。回置式抽樣是指從總體中抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀察、記錄后再放回總體，使之重新參與下一次的抽樣。在回置式抽樣中，一個(gè)個(gè)體可以被反復(fù)抽取多次。非回置式抽樣是指已被抽取的個(gè)體經(jīng)觀察、記錄后不再放回總體，不再參與抽樣。在非回置式抽樣中，一個(gè)個(gè)體至多被抽取一次。顯然，在抽樣問(wèn)題中，事件的概率受到抽樣方式的影響。不難推斷，當(dāng)總體足夠大且樣本較小時(shí)，抽樣方式對(duì)概率影響較小，在某種程度上可以忽略不計(jì)。在這種情況下，非回置式抽樣可以被近似看作是回置式抽樣，這樣便于一些問(wèn)題的求解和計(jì)算。

例2 設(shè)某種燈泡的使用壽命超過(guò)5000小時(shí)的為一等品。已知某一大批產(chǎn)品中，一等品的概率為0.2，現(xiàn)隨機(jī)地抽取15只燈泡。試求這15只中含有的一等品數(shù)X的分布律。

分析：這是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第二章第二節(jié)中的一個(gè)例題[7]，是一個(gè)典型的非回置式抽樣問(wèn)題。在教學(xué)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般都會(huì)首先想到使用超幾何分布來(lái)求解。當(dāng)使用超幾何分布來(lái)求解時(shí)，需要知道這批燈泡的總數(shù)，假設(shè)燈泡的總數(shù)為N，則一等品數(shù)X的分布律為：

由于這批燈泡的總數(shù)是未知的，所以使用超幾何分布來(lái)解決問(wèn)題是無(wú)法得到結(jié)果的，盡管這個(gè)方法在邏輯分析上完全正確。值得注意的是，在這個(gè)題目的條件中提到“某一大批產(chǎn)品”，這意味著“總體是足夠大的”，同時(shí)只“抽取15只燈泡”，說(shuō)明樣本較小。在這樣的情況下，回置式抽樣可以被近似地看作非回置式抽樣?；谶@樣的假定，“抽取15只燈泡”可以被看作一個(gè)15重的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列概型，則一等品數(shù)X的分布律近似為：

(四)伽馬函數(shù)

伽馬函數(shù)(Gamma Function)是階乘函數(shù)在實(shí)數(shù)上的延拓，在連續(xù)型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用。然而，在教學(xué)過(guò)程中常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)伽馬函數(shù)感到困惑和不解，所以有必要加強(qiáng)伽馬函數(shù)的辨析與理解。下面根據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)給出伽馬函數(shù)的一般定義[9]：

定義4 伽馬函數(shù)是一個(gè)含參變量t的廣義積分，即

例3 設(shè)X∶N(μ,σ2)，求E(X),D(X).

類似地，利用伽馬函數(shù)的性質(zhì)可以方便地求出D(X)=σ2.

同時(shí)，在概率論中還有一些連續(xù)型分布與伽馬函數(shù)有關(guān)，如伽馬分布和β分布，可見正確理解和掌握伽馬函數(shù)是非常必要的。

二、注重反例在概率論教學(xué)中的運(yùn)用

在概率論課程教學(xué)中，例子是教學(xué)內(nèi)容中的重要組成部分。每當(dāng)給出一個(gè)定義和定理時(shí)，總是需要舉出相應(yīng)的例子。一方面，通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明定義和定理是言之有物的，從而詮釋定義和定理的數(shù)學(xué)合理性；另一方面，通過(guò)例子可以加深學(xué)生對(duì)定義和定理的理解，使學(xué)生獲得更加直觀的認(rèn)識(shí)。例子一般有說(shuō)明性的例子和反例兩種類型。反例在概率論的教學(xué)中有著重要的作用。合理地使用反例可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握。正如蓋爾鮑姆和奧姆斯特德[10]所說(shuō)，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好的戲劇。例如，通過(guò)反例可以很好地說(shuō)明“概率為0的事件不一定是不可能事件、概率為1的事件不一定是必然事件”等事實(shí)。由于這些反例已有較多的文獻(xiàn)進(jìn)行說(shuō)明，這里不再贅述。下面就其他的一些反例在概率論課程教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

例4 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)事件A,B，若P(A)≤P(B)，則未必有A?B。

分析：在概率的基本性質(zhì)中有“對(duì)于事件A,B，若A?B，則有P(A)≤P(B)”，這個(gè)性質(zhì)一般被稱為概率的單調(diào)性。單調(diào)性也是微積分中的一個(gè)基本概念，且一般有“設(shè)f(x)是集合D上的單調(diào)增函數(shù)，f(x)≤f(y)，則有x≤y”。基于這個(gè)事實(shí)，學(xué)生會(huì)自然地認(rèn)為“對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)事件A,B，若P(A)≤P(B)，則必有A?B”。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。為了使學(xué)生獲得直觀具體的認(rèn)識(shí)，可以通過(guò)下列反例予以說(shuō)明：

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，用A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為2”這個(gè)隨機(jī)事件，用B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”這個(gè)隨機(jī)事件。顯然，P(A)=1/6,(B)=1/2，滿足條件P(A)≤P(B)，但沒(méi)有A?B。

類似地，可以通過(guò)反例說(shuō)明“設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)事件A,B，若P(A)=P(B)，則未必有A=B”。相應(yīng)的反例如下：

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，用A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”這個(gè)隨機(jī)事件，用B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”這個(gè)隨機(jī)事件。顯然，P(A)=1/2,(B)=1/2，滿足條件P(A)=P(B)，但沒(méi)有A=B。

例5 若P(A)>0,P(B)>0，證明“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨(dú)立”不能同時(shí)成立。

這是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題一中的一道題目[7]，一般采用反證法，具體如下：

假設(shè)“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨(dú)立”同時(shí)成立。則有：

0=P(Φ)=P(AB)=P(A)P(B)>0.

顯然，上述結(jié)論是不可能成立的。所以，假設(shè)不成立，而原命題成立。

在概率論的教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“互不相容”和“相互獨(dú)立”兩個(gè)概念產(chǎn)生理解上的偏差，容易將之混為一談。究其原因，是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有透徹理解這兩個(gè)概念。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[7]中關(guān)于“互不相容”和“相互獨(dú)立”的定義分別如下：

定義5 若事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，則稱事件A與事件B互不相容。

定義6 若兩事件A,B滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。

由定義5和定義6不難看出，相容性描述的是事件間本身的關(guān)系，獨(dú)立性描述的是事件間概率的關(guān)系。例5中，若將條件P(A)>0,P(B)>0去掉，則其結(jié)論錯(cuò)誤。這可以通過(guò)一個(gè)反例證明：

擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，用A表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為7”這個(gè)隨機(jī)事件，用B表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”這個(gè)隨機(jī)事件。顯然，A是不可能事件，即A=Φ，于是AB=Φ，也即“事件A與事件B互不相容”。同時(shí)P(A)=0,(B)=1/2，滿足條件P(AB)=P(A)P(B)=0，即“事件A與事件B相互獨(dú)立”。此時(shí)，“事件A與事件B互不相容”與“事件A與事件B相互獨(dú)立”同時(shí)成立。

在概率論課程教學(xué)中還有很多反例，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例可以加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握，從而提高概率論課程的教學(xué)效果。

三、加強(qiáng)應(yīng)用實(shí)例的講解與訓(xùn)練

對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的是把數(shù)學(xué)作為工具，用這一工具發(fā)現(xiàn)實(shí)際現(xiàn)象背后的規(guī)律，并解釋和說(shuō)明實(shí)際現(xiàn)象，從而最終解決實(shí)際問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題，一般經(jīng)歷從實(shí)際現(xiàn)象到概念模型，再到數(shù)學(xué)模型，最后模型求解這四個(gè)階段，如圖1所示。應(yīng)用實(shí)例的講解和訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)重要途徑。概率論是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，在概率論教學(xué)中加強(qiáng)應(yīng)用實(shí)例的講解和訓(xùn)練是非常必要的。這一方面可以增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，另一方面可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，從而提高課堂教學(xué)效果。

圖1 運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的四個(gè)階段

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[7]在應(yīng)用實(shí)例方面做了許多有益的探索，在每一章的后面都給出了一些應(yīng)用實(shí)例。筆者在講授概率論課程的時(shí)候，一般把應(yīng)用實(shí)例融入相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)中進(jìn)行講解，每次都能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并能讓學(xué)生積極參與問(wèn)題的討論。

例如，在講解古典概率這一部分內(nèi)容時(shí)，如果只講解定義、定理和常規(guī)性的例題，學(xué)生會(huì)覺(jué)得抽象、枯燥。當(dāng)引入“至少兩人的生日在同一天”“禍不單行”和“雙喜臨門”等應(yīng)用實(shí)例時(shí)，通過(guò)使用概率論解釋日常生活中的現(xiàn)象，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概率論原來(lái)如此有趣且有用，可進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師還可以引入一些應(yīng)用實(shí)例增加學(xué)生的安全意識(shí)。例如，在講解小概率事件時(shí)，可以引入“過(guò)馬路需小心”這個(gè)應(yīng)用實(shí)例。對(duì)于每個(gè)人來(lái)講，每次過(guò)馬路出現(xiàn)事故的概率，即p值是很小的，但每個(gè)人在一生中過(guò)馬路的次數(shù)，即n是很大的。每次過(guò)馬路都可以被看作一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，在一生中過(guò)馬路的情形可以被看作一個(gè)n重的貝努里概型，于是一生中出現(xiàn)事故的期望值為np。為了減少出現(xiàn)事故的期望值np，一方面可以通過(guò)減少過(guò)馬路的次數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，另一方面可以通過(guò)減小過(guò)馬路出現(xiàn)事故的概率來(lái)實(shí)現(xiàn)。顯然，減少過(guò)馬路的次數(shù)似乎不太現(xiàn)實(shí)，所以我們能做的是增加自己的安全意識(shí)，從而減少過(guò)馬路出現(xiàn)事故的概率。另外，還可以舉類似的應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明“多行不義必自斃”的概率內(nèi)涵。

四、培養(yǎng)數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)用能力

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步和數(shù)學(xué)軟件的不斷發(fā)展，學(xué)生可以更加方便地利用計(jì)算機(jī)輔助概率論課程的學(xué)習(xí)。在概率論的學(xué)習(xí)中適當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)軟件，一方面可以為學(xué)生提供更加豐富的感官認(rèn)識(shí)，另一方面可以進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，從而提高概率論的教學(xué)效果。下面分析如何在概率論課程教學(xué)中使用數(shù)學(xué)軟件Matlab。

例6 使用Matlab作圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布密度函數(shù)的一些性質(zhì)。

分析：正態(tài)分布是一種重要的連續(xù)型分布，具有密度函數(shù)

正態(tài)分布的密度函數(shù)是一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，如果通過(guò)人工進(jìn)行描點(diǎn)作圖，則非常麻煩。但是，如果借助數(shù)學(xué)軟件Matlab的話，則可以很容易作出不同μ和σ的圖像。在Matlab命令窗口輸入如下命令：

hold on

x=-200:0.1:300;

y1=normpdf(x，30，36);

plot(x，y1)

y2=normpdf(x，30，49);

plot(x，y2)

y3=normpdf(x，30，64);

plot(x，y3)

運(yùn)行后可分別作出正態(tài)分布N(30,62),N(30,72)和N(30,82)密度函數(shù)的圖形，如圖2所示。從圖2中很容易看出正態(tài)分布密度函數(shù)的一些性質(zhì)，例如對(duì)稱性、單調(diào)性和最值。尤其可以看出當(dāng)μ相同時(shí)，σ越大，圖形越平坦。

圖2 正態(tài)分布密度函數(shù)圖

例7 設(shè)某城市成年男子身高X服從近似正態(tài)分布N(170,62)(單位：cm)。問(wèn)應(yīng)如何設(shè)計(jì)公共汽車車門的高度，能使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01？

分析：這是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[7]第二章第四節(jié)中的一個(gè)例題。下面使用Matlab求解此題。

設(shè)公共汽車車門的高度為xcm，根據(jù)題意可知P{X>x}<0.01，進(jìn)一步可得P{X≤x}≥0.99。于是可利用正態(tài)分布逆累積分布函數(shù)norminv對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，在Matlab命令窗口輸入：

x=norminv(0.99，170，6)

運(yùn)行可得x=183.9581?？芍?dāng)公共汽車車門的高度為183 cm時(shí)，最能滿足要求。

[1] 嚴(yán)士健，王雋驤，劉秀芳.概率論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[2] 鄧華玲，傅麗芳，孟軍，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的改革與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20(1).

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