趙前進(jìn)，朱六三

近年來，基于連分式的二元有理插值方法被廣泛關(guān)注.檀結(jié)慶在文獻(xiàn)［1－2］中通過對(duì)Newton多項(xiàng)式插值和Thiele型連分式插值進(jìn)行加工，用類似于張量積的方法構(gòu)造了Newton－Thiele和 Thiele－Newton兩種二元混合有理插值.趙前進(jìn)在文獻(xiàn)［3］中通過對(duì)插值節(jié)點(diǎn)集進(jìn)行分塊，構(gòu)造了基于塊的混合有理插值.但連分式插值會(huì)受到可能有不可達(dá)點(diǎn)、偏逆差商不存在等瓶頸問題的制約，另外，連分式插值無(wú)法避免極點(diǎn)同時(shí)又難以控制極點(diǎn)的位置.1945年，Taylor發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式插值的重心公式;1984年Werner給出了重心有理插值方法［4］.利用權(quán)的符號(hào)可判定重心有理插值在插值區(qū)間內(nèi)的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過適當(dāng)選擇權(quán)可使重心有理插值避免極點(diǎn)和不可達(dá)點(diǎn)［5］.而對(duì)于二元重心插值一直存在著圖像控制問題，文獻(xiàn)［6］作者在矩形域上利用偏導(dǎo)數(shù)對(duì)圖形有效地在y軸單方向上進(jìn)行形狀控制，即y=y0且對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)大于零(或小于零)時(shí)，改變重心權(quán)從而有效地調(diào)節(jié)圖像.論文將文獻(xiàn)［6］方法應(yīng)用于上三角域的重心——牛頓復(fù)合插值［7］，結(jié)合文獻(xiàn)［8］中Lebesgue常數(shù)最小建立優(yōu)化模型.給出的實(shí)例表明，此方法所得的二元有理插值繼承了重心有理插值的計(jì)算量小、數(shù)值穩(wěn)定性好、沒有極點(diǎn)以及可以避免不可達(dá)點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)，又能有效地對(duì)形狀進(jìn)行有效的局部控制.

1 基于上三角網(wǎng)格的重心——牛頓混合插值

網(wǎng)格點(diǎn)分布如下

上述網(wǎng)格點(diǎn)被稱作上三角網(wǎng)格，記作SU.

構(gòu)建有理插值函數(shù)

插值函數(shù)的構(gòu)造:

定義

其中

(c)wi(i=0，1，…，n)分別為 x0，x1，…，xn對(duì)應(yīng)的插值權(quán)，滿足

最優(yōu)權(quán)wi(i=0，1，…，n)可由Lingo優(yōu)化軟件求出.

2 二元重心公式的偏導(dǎo)數(shù)

二元重心公式可以寫成

或

這樣就可以得出偏導(dǎo)數(shù)公式［6］

偏導(dǎo)數(shù)能作為求權(quán)約束條件，能有效地調(diào)節(jié)雙變量重心有理插值形狀［1］.

3 基于Lebesgue常數(shù)最小的形狀控制重心有理插值優(yōu)化模型

因?yàn)橹匦挠欣聿逯等〉貌逯岛瘮?shù)是由插值權(quán)決定其插值效果，所以就得找到最優(yōu)權(quán).下面就來建立使用該方法的優(yōu)化模型.

以插值節(jié)點(diǎn)處的權(quán)wi(i=0，1，2，…，n)為決策變量，以Lebesgue常數(shù)最小，即

最小為目標(biāo)函數(shù)，以有理函數(shù)R(x，y)無(wú)不可達(dá)點(diǎn)、無(wú)極點(diǎn)為約束，增加權(quán)的規(guī)范化約束條件和偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)為約束條件，建立如下優(yōu)化模型求解最優(yōu)權(quán)

最后使用Lingo優(yōu)化軟件計(jì)算出最優(yōu)權(quán).

4 數(shù)值實(shí)例

例1 給定上三角域數(shù)據(jù)如下

記上三角網(wǎng)格上基于Lebesgue常數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)用牛頓——重心有理插值為R1(x，y)

加入偏導(dǎo)數(shù)和不加偏導(dǎo)數(shù)在y=0.3和y=0.5的形狀變化，如圖1～3所示.

圖1 R1(x，y)Fig.1 R1(x，y)

圖2 R2(x，y)Fig.2 R2(x，y)

圖3 R3(x，y)Fig.3 R3(x，y)

5 結(jié)束語(yǔ)

論文在插值點(diǎn)基于上三角網(wǎng)格的重心——牛頓有理插值法、加以偏導(dǎo)數(shù)作為約束條件并利用Lebesgue常數(shù)最小為目標(biāo)函數(shù)求得最優(yōu)權(quán)方法，繼承了重心有理插值的計(jì)算量小、數(shù)值穩(wěn)定性好、沒有極點(diǎn)以及可以避免不可達(dá)點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)，由例子圖像可直觀看出通過偏導(dǎo)數(shù)對(duì)上三角域上局部調(diào)節(jié)效果明顯，說明該方法在上三角域上應(yīng)用是可行的.

［1］ Tan J.Bivariate blending rational interpolants［J］.Approx Theory ＆ its Appl，1999，15(2):74-83.

［2］ Tan J，F(xiàn)ang Y.Newton-Thiele's rational interpolants［J］.Numerical Algorithms，2000(24):141-157.

［3］ Zhao Q J，Tan JQ.Block based Newton － like blending rational interpolation［J］.Journal of Computational Mathematics，2006，24(4):515-526.

［4］ Schneider C，Werner W.Some new aspects of rational interpolation［J］.Math Comp，1986，175(47):285-299.

［5］ Schneider C，Werner W.Hermite interpolation:the barycentric approach［J］.Computing，1991，46(1):35-51.

［6］ Hoa T N，Annie C，Oliver SC.Shape control in multivariate barycentric rational interpolation［J］.AIP Conf Proc，2010，543:1281.

［7］ Zhao QJ，Du JL.The new bivariate rational interpolation over the triangular grids［J］.Computer Science and Automation Engineering，2012:780-784.

［8］ Zhao O J，Wang B B，F(xiàn)ang X W .Lebesgue constant minimizing shape preserving barycentric rational interpolation optimization algorithm［J］.Science ＆ Technology Vision，2013(3):30-32.