周婷

先說個(gè)小笑話，甲問乙：“小明的弟弟叫二毛，二毛的哥哥叫什么？”乙不假思索，立即答道：“叫大毛?！币覟槭裁磿?huì)犯錯(cuò)誤？這就是思維定式作祟的典型表現(xiàn)。在乙的心理中，“二毛”的哥哥當(dāng)然是“大毛”了。由此進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)這個(gè)有趣的小故事，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的啟迪作用。

數(shù)學(xué)中的思維定式有一定的積極作用，但也有負(fù)面作用。按已知的雙基模式進(jìn)行常規(guī)程序化的操作，反映出的思維方式就是思維定式。雖不能完全否認(rèn)這種思維方式的功能，但若長(zhǎng)期習(xí)慣于這種思維方式，就會(huì)現(xiàn)出穩(wěn)定、固化和定向的特點(diǎn)，使思維受到束縛而使視野變得狹窄、膚淺和片面。特別是當(dāng)遇到問題情境發(fā)生變異，或問題含有某種“陷阱”時(shí)，這種思維方式對(duì)于問題的解決不僅很難奏效，反而會(huì)陷入誤區(qū)，使解題產(chǎn)生錯(cuò)誤。

本文就這個(gè)議題，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在辨析錯(cuò)誤和糾正錯(cuò)誤的過程中走出思維定式的誤區(qū)，從而發(fā)展思維創(chuàng)造性、批判性、廣闊性和深刻性。

一、盲目套用固定的法則，導(dǎo)致錯(cuò)誤

學(xué)生遇到“狡猾”的問題時(shí)，常受題設(shè)表面信息或法則的暗示，將解題納入自己熟悉的習(xí)慣性軌道，就很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。

例1.在■與n（n∈N*）之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這n個(gè)數(shù)的乘積為 。

不少學(xué)生由等比數(shù)列的性質(zhì)a1an=a2an-1=…很快得所求乘積為n×■=1。

師：請(qǐng)用具體數(shù)字試試。

有學(xué)生取n=3，得所求積確實(shí)為1，但有學(xué)生取n=5，卻得所求積為±1。

嚴(yán)峻的事實(shí)使學(xué)生明白這n個(gè)數(shù)的中間數(shù)可能為1，也可能為-1，所以正確答案應(yīng)為1或-1。說明學(xué)生思維在不斷深入。

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)A（2，4）、B（5，7），現(xiàn)將向量■按向量■=（-1，3）平移，則平移后所得向量■的坐標(biāo)為 。

許多學(xué)生略作思索，迅速獲解，得■=■-■=（5，7）-（2，4）=（3，3）。

則按向量■=（-1，3）平移后，所得向量■的坐標(biāo)為（3，3）+（-1，3）=（2，6）。

師（明知學(xué)生錯(cuò)了，但此時(shí)卻不動(dòng)聲色，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自我批判）：若A（2，4）、B（5，7）兩點(diǎn)按向量■=（-1，3）平移，則平移后所得兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是 。

生（暫時(shí)不明就里）：因?yàn)椤?■=■，（2，4）+（-1，3）=（1，7），所以得C（1，7），同樣得D（4，10）。

師：那么按此結(jié)果，可得■的坐標(biāo)為 。

生：■的坐標(biāo)為（4，10）-（1，7）=（3，3）

師：嗨，■的坐標(biāo)怎么有了兩個(gè)答案啦？

生（大受刺激，思考后迅速作出反應(yīng)）：（3，3）是對(duì)的。

師：錯(cuò)誤是怎么產(chǎn)生的？

生：用向量的加法運(yùn)算，得到的是點(diǎn)的坐標(biāo)，但不管如何平移，向量的坐標(biāo)是不變的，所以■=■=（3，3）（如圖1）。

■

學(xué)生感到大受啟發(fā)，今后可不能盲目地進(jìn)行似是而非的簡(jiǎn)單操作了。

二、觀察角度片面，導(dǎo)致錯(cuò)誤

例3.三棱錐S-ABC中，三條側(cè)棱SA、SB、SC的長(zhǎng)度分別為4、5、6，且兩兩互相垂直，求三棱錐S-ABC的體積。

教師故意將圖形畫成圖2的模樣，不少學(xué)生果然上當(dāng)了，他們誤認(rèn)為這個(gè)三棱錐的底只能是△ABC，于是題解陷入困境。

■

師：請(qǐng)注意三條側(cè)棱兩兩互相垂直，三棱錐的底一定在下方嗎？

學(xué)生立即反應(yīng)過來，△SAB、△SBC、△SCA都可以為底啊?。ń饴裕?/p>

學(xué)生的笑聲表明他們的思維由刻板走向靈活。

例4.關(guān)于x的方程ax2+x+1=0（a>0）的二實(shí)根為x1、x2，若■∈[■，10]，求a的最值。

學(xué)生開始按常規(guī)思路來解，很順利地得出

x1+x2=-■ ①x1x2=■ ②

設(shè)■=k，則x1=kx2，①②兩式變?yōu)閤2（k+1）=-■kx22=■

消去x2，得a=■=■=■

因?yàn)閗+■≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，k+■有最小值2，所以a有最大值■。

師：a有最小值嗎？（“狡黠”的一問，聲音雖不大，但極具穿透力與震撼力）

生：關(guān)于k的函數(shù)k+■在（0，1]與[1，+∞）上分別是減函數(shù)與增函數(shù)（證明略），而k∈[■，10]，所以當(dāng)k=■，或k=10時(shí)，k+■有最大值■，則a有最小值■，此時(shí)此刻，學(xué)生感到心靈通透、回腸蕩氣，那是必然的了。

三、題設(shè)條件認(rèn)識(shí)膚淺，導(dǎo)致錯(cuò)誤

對(duì)題設(shè)條件提供的信息，有的學(xué)生讀題只停留在表面，多憑直觀的思維定式給出解法，不去深入地思考和仔細(xì)地觀察。事后多以“粗心大意，心浮氣躁”來解釋。

例5.當(dāng)實(shí)數(shù)a滿足什么條件時(shí)，圓（x-a）2+y2=9與拋物線y2=2x有公共點(diǎn)？

錯(cuò)解1：由（x-a）2+y2=9y2=2x消去y得x2+2（1-a）x+a2-9=0①

∵兩曲線有公共點(diǎn) ∴方程①有實(shí)數(shù)解，

則Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0 ∴a≤5

錯(cuò)解2：∵y2=2x≥0 ∴方程①的解是非負(fù)的

則Δ=[2（1-a）]2-4（a2-9）≥0-2（1-a）≥0a2-9≥0 ∴3≤a≤5

教師帶領(lǐng)學(xué)生一道進(jìn)行辨析：

解法1中學(xué)生只考慮方程①有實(shí)數(shù)解，沒有進(jìn)一步思考方程①的有解與方程組的有解是否等價(jià)，更沒考慮到方程①應(yīng)該有什么樣的解。

解法2中學(xué)生看到有限制條件y2=2x≥0，但認(rèn)識(shí)仍然不全面，只是機(jī)械地應(yīng)用題設(shè)條件，沒能深入分析條件隱含的信息，實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化。

根據(jù)直覺直觀解題是解題的重要手段，許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)甚至發(fā)明創(chuàng)造也多來源于此。如果只停留在表面，不做進(jìn)一步深入的思考，牛頓可能也只知道蘋果熟了會(huì)掉下來，而發(fā)現(xiàn)不了萬有引力定律。在教學(xué)過程中教師應(yīng)有意識(shí)地多創(chuàng)設(shè)干擾環(huán)境，讓學(xué)生在失敗中逐步提高思維的深刻性，養(yǎng)成深入透徹地分析定義、定理、公式法則的內(nèi)涵和外延的習(xí)慣，有效地消除思維定式的消極影響。

四、對(duì)雙基的掌握不準(zhǔn)確，導(dǎo)致錯(cuò)誤

學(xué)生由于認(rèn)識(shí)的膚淺，對(duì)雙基的掌握常有不準(zhǔn)確的缺陷，教師應(yīng)選擇典型問題幫助他們克服這種弊端。

例6.已知等差數(shù)列an，bn，前n項(xiàng)和分別為Sn，Sn′且■=■，求■。

生：由已知，可設(shè)Sn=（2n+2）k，Sn′=（n+3）k（k為常數(shù)）

則■=■=■=2

師：兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比肯定為某一常數(shù)嗎？

生：Sn=an2+bn（a≠0），是關(guān)于n的二次函數(shù)式。在除式■中被約去的是kn，該學(xué)生簡(jiǎn)單理解為約去k形成錯(cuò)解。

正確的解答為■=■=■=■

又根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a7=■（a1+a13），b7=■（b1+b13）

則■=■=■=■

由上述幾例可以看出思維定式消極影響的嚴(yán)重性。如何在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生有效地消除上述不利情形，如何提高學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度，掌握和應(yīng)用的正確性，筆者有如下建議：

1.注意運(yùn)用反例和特例，通過反例和特例鮮明的直觀特征，引起學(xué)生更多的注意，也易于學(xué)生接受。

2.教授概念、公式和定理時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入分析它們的內(nèi)涵和外延，正確認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，減少死套公式，張冠李戴的思維定式錯(cuò)誤。

3.逐步在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)和提高學(xué)生的思維品質(zhì)，形成改組思維定式的基礎(chǔ)。只有當(dāng)學(xué)生思維具有廣闊性、嚴(yán)密性和靈活性，善于多方向、多角度地思考問題時(shí)，思維定式才可以發(fā)揮其積極作用。

？誗編輯 張珍珍