鄭禎惠

摘 要：隨著我國(guó)“神舟”系列宇宙飛船的成功發(fā)射和回收以及“神舟十號(hào)”與“天宮一號(hào)”的成功對(duì)接及我國(guó)實(shí)施的探月計(jì)劃，與航空航天有關(guān)的問(wèn)題成為物理教學(xué)和高考的熱點(diǎn)。在中學(xué)階段，人造地球衛(wèi)星問(wèn)題主要是圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，教師在教學(xué)中講得比較透徹，學(xué)生也比較容易理解，但在衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行和變軌問(wèn)題上，在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)相當(dāng)多的教師理解得不夠透徹甚至錯(cuò)誤，更遑談學(xué)生能夠正確理解并掌握。先從數(shù)學(xué)角度簡(jiǎn)單介紹橢圓的曲率半徑，再探究幾個(gè)常見(jiàn)的衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行問(wèn)題和衛(wèi)星變軌問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：曲率；曲率半徑；橢圓軌道

天體的運(yùn)行問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在橢圓軌道和變軌問(wèn)題上，中學(xué)階段基本上都是做定性解釋，很少做定量計(jì)算，且在教學(xué)實(shí)踐中，一些學(xué)習(xí)優(yōu)秀、善于思考的學(xué)生往往會(huì)在此類(lèi)問(wèn)題上提出更深層次的問(wèn)題，如衛(wèi)星在橢圓軌道的近、遠(yuǎn)地點(diǎn)的向心加速度大小和不同軌道的向心加速度、速度大小怎么比較？在用Fn=m■、an=■求解時(shí)，在近、遠(yuǎn)地點(diǎn)的“r”到底是哪個(gè)量？怎么求？雖然學(xué)生提出的問(wèn)題有的已經(jīng)超出中學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握的范圍，但是從激勵(lì)學(xué)生的探究需求出發(fā)，對(duì)一些優(yōu)秀的學(xué)生在這些問(wèn)題上可適當(dāng)做些拓展，況且作為授業(yè)解惑的教師，也需要對(duì)這些問(wèn)題有個(gè)清楚的認(rèn)識(shí)?？墒窃诮虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)一些教師由于在這些問(wèn)題上認(rèn)識(shí)不清甚至根本不知道，經(jīng)常被學(xué)生問(wèn)得手足無(wú)措而避而不談或者作出錯(cuò)誤解釋，一些材料在這些問(wèn)題上的解釋往往也是模棱兩可。若想對(duì)橢圓軌道的有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行定量計(jì)算，首先必須對(duì)橢圓的曲率和曲率半徑等有關(guān)知識(shí)有清晰的認(rèn)識(shí)。

一、橢圓的曲率半徑

1.曲線的曲率和曲率半徑

曲率是描述曲線彎曲的程度，曲線y=f（x）（設(shè)x=Φ（t），y=φ（t））的曲率的計(jì)算公式為k=■。如圖1所示，設(shè)k（k≠0）為曲線y=f（x）在點(diǎn)M處的曲率，圓C與曲線相切于M點(diǎn)，若CM=R=■，圓C稱為曲線在點(diǎn)M的曲率圓，圓C的半徑R則稱為曲線在點(diǎn)M的曲率半徑。故曲率半徑的計(jì)算公式為：

R=■=■———①（1）

2.橢圓的曲率半徑

如圖2，a是橢圓的半長(zhǎng)軸，b是橢圓的半短軸，橢圓的參數(shù)方程為：x=acosθ，y=asinθ。把x′=-asinθ、x″=-acosθ、y′=bcosθ、y″=-bsinθ代入①式得：R=■，取不同的θ值可以求得橢圓不同位置的曲率半徑，比如把P（θ=0）和Q（θ=π）代入橢圓曲率半徑公式可得：P、Q兩點(diǎn)的曲率半徑均為■，A、B兩點(diǎn)的曲率半徑均為■。

二、有關(guān)橢圓軌道幾個(gè)問(wèn)題的分析

1.橢圓軌道近、遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度大小的求解

例1.如圖3，某衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)行，地球所在的O點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若a、b分別為地球中心到軌道近地點(diǎn)Q和遠(yuǎn)地點(diǎn)P的距離。衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率為vQ，求衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率vP？

錯(cuò)解：衛(wèi)星在近地點(diǎn)時(shí)有：G■=m■；衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有：G■=m■

聯(lián)立上述兩式得：■=■，則vP=vQ■

產(chǎn)生上述錯(cuò)誤解法的原因是沒(méi)有認(rèn)識(shí)到開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律與萬(wàn)有引力定律的不同而盲目套用公式。a和b只是衛(wèi)星在近、遠(yuǎn)地點(diǎn)的引力半徑，而這兩點(diǎn)的曲率半徑都應(yīng)該是■，所以產(chǎn)生錯(cuò)解的更深層次的原因是把這兩種半徑混在了一起，那正確的解法又是怎樣的呢？

解法一：用橢圓的曲率半徑知識(shí)求解。

設(shè)P、Q兩點(diǎn)的曲率半徑為r

在近地點(diǎn)時(shí)有：G■=m■

在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)有：G■=m■

聯(lián)立上述兩式得：vP=■vQ

解法二：用開(kāi)普勒第二定律求解。

如圖4所示。設(shè)S1和S2分別為時(shí)間Δt內(nèi)衛(wèi)星與地心的連線在Q、P附近掃過(guò)的面積。當(dāng)Δt很小時(shí)，S1、S2的面積也很小且兩個(gè)圖形近似是扇形，由扇形的面積公式可得：S1=■avQΔt，S2=■bvPΔt，根據(jù)開(kāi)普勒第二定律S1=S2得：vP=■vQ。

例2.發(fā)射升空后的神舟飛船先在如圖5所示的橢圓軌道上運(yùn)行，遠(yuǎn)地點(diǎn)P距地球表面高度h1=347 km，近地點(diǎn)Q距地球表面高度為h2=200 km。vP、vQ分別是衛(wèi)星在P點(diǎn)和Q點(diǎn)的速率，求vP、vQ的大小？（地球半徑R地=6370 km，地球表面的重力加速度g=9.8 m/s2）。

解析：設(shè)r為P、Q兩點(diǎn)的曲率半徑，P點(diǎn)的引力半徑a=R地+h1=6717 km，Q點(diǎn)引力半徑b=R地+h2=6570 km。

則在P點(diǎn)：G■=m■①

在Q點(diǎn)：G■=m■②

在地球表面有：G■=mg③

P、Q兩點(diǎn)曲率半徑：r=■④

聯(lián)立①—④并代入數(shù)據(jù)得：vP=■■=7.65 km/s

vQ=■vP=7.82 km/s

上述解法用r=■求P、Q兩點(diǎn)曲率半徑，存在明顯錯(cuò)誤，其實(shí)求得的是橢圓的半長(zhǎng)軸，而不是橢圓在P、Q點(diǎn)的曲率半徑。從題目所給的已知條件，顯然無(wú)法求得P、Q兩點(diǎn)的曲率半徑，我們知道，當(dāng)橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的大小非常接近時(shí)，可把橢圓近似看成圓，P、Q點(diǎn)的曲率半徑可用r=■近似求得，本題雖然屬于這種情形，但在解題時(shí)必須明確指出，否則就會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。

2.人造衛(wèi)星變軌時(shí)的速度問(wèn)題

例3.如圖6所示，在發(fā)射某同步衛(wèi)星時(shí)，先讓衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道1，當(dāng)衛(wèi)星沿軌道1運(yùn)行到P點(diǎn)點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓轉(zhuǎn)移軌道2，到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火，使衛(wèi)星進(jìn)入指定的圓軌道3。圖中P、Q分別是橢圓軌道2的近、遠(yuǎn)地點(diǎn)。1、2軌道相切于P點(diǎn)，2、3軌道相切于Q點(diǎn)。設(shè)衛(wèi)星在軌道1上運(yùn)行的速率為v1，在P點(diǎn)點(diǎn)火后的速率變?yōu)関2，使衛(wèi)星進(jìn)入軌道2運(yùn)行，沿軌道2到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為v3，在Q點(diǎn)瞬間加速后進(jìn)入軌道3后的速率為v4，請(qǐng)比較v1、v2、v3、v4的大小。

在比較v1與v2、v3與v4的大小關(guān)系時(shí)，很多材料給出這樣的解釋：衛(wèi)星要從軌道1變到軌道2上運(yùn)行，就必須在P點(diǎn)瞬間加速，使得衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)到軌道2上，故v2>v1。同理，要想從軌道2上變到軌道3運(yùn)行，就必須在Q點(diǎn)瞬間加速，故v4>v3。

在上面的解釋中，只是簡(jiǎn)單地以“衛(wèi)星所受萬(wàn)有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運(yùn)動(dòng)”作為理由，在中學(xué)教學(xué)中做這樣的解釋也無(wú)可厚非，但這個(gè)解釋無(wú)法解開(kāi)學(xué)生心中的疑惑，那應(yīng)當(dāng)怎樣分析才更具有說(shuō)服力呢？P、Q兩點(diǎn)分別是衛(wèi)星在橢圓軌道2的近、遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖7所示。設(shè)衛(wèi)星和地球的質(zhì)量分別為M、m，P、Q到地心的距離（即引力半徑）分別為r1、r2，設(shè)r為軌道2的近、遠(yuǎn)地點(diǎn)的曲率半徑，則FP=G■=m■，F(xiàn)Q=G■=m■（需要注意的是式中的r≠r1≠r2）。若衛(wèi)星在圓軌道1上運(yùn)行到P點(diǎn)不加速，就會(huì)在半徑為r1的圓軌道1上以速度r1一直運(yùn)行下去。衛(wèi)星在P點(diǎn)加速后，速度瞬間增大為r2，假設(shè)衛(wèi)星還在原來(lái)的圓軌道1上運(yùn)行，衛(wèi)星軌道在P點(diǎn)的曲率半徑就沒(méi)有改變，還是r1，速度增大就會(huì)導(dǎo)致所需向心力增大，而萬(wàn)有引力FP=G■在加速瞬間沒(méi)有改變，顯然已不足以提供向心力，衛(wèi)星就會(huì)在P點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，最終會(huì)在在P點(diǎn)的曲率半徑為r（r>r1）的橢圓軌道2上運(yùn)行。同理，衛(wèi)星在Q點(diǎn)瞬間加速后，就會(huì)在Q點(diǎn)做離心運(yùn)動(dòng)，最終在在Q點(diǎn)的曲率半徑為r2（r2>r）的圓軌道3上運(yùn)行。

3.橢圓軌道的向心加速度問(wèn)題

例3.如圖8所示，橢圓為地球的某衛(wèi)星繞地運(yùn)行的軌道，其近地點(diǎn)A、遠(yuǎn)地點(diǎn)B到地心的距離分別為c和d，求衛(wèi)星在A、B兩點(diǎn)的向心加速度之比■。

解析：在A、B兩點(diǎn)，衛(wèi)星所受引力提供向心力。則在A點(diǎn)：G■=maA，在B點(diǎn)：G■=maB，聯(lián)立上述兩式得：■=■。

其實(shí)，本題除了用以上方法求解外，也可以利用橢圓在A、B兩點(diǎn)的曲率半徑相等來(lái)求解，設(shè)A、B兩點(diǎn)的曲率半徑均為r、速率分別為vA∶vB，根據(jù)本文例1的結(jié)論可知：■=■，A點(diǎn)向心加速度aA=■，B點(diǎn)向心加速度aB=■，則■=■=■。這個(gè)解法不但驗(yàn)證了上述解法，而且更具說(shuō)服力。

參考文獻(xiàn)：

章棟恩，金元懷.高等數(shù)學(xué)[M].北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，1998-02.

？誗編輯 董慧紅