郭 新

(濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程系，河南濮陽(yáng)，457000)

在計(jì)算二重積分和三重積分這樣的重積分時(shí)，一般都是先將它們化成相應(yīng)的累次積分。在化的過(guò)程中，往往要用到投影法確定積分的上、下限，然后再運(yùn)用定積分的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算。

一、二重積分上、下限的選取

即

從中可以看到，二重積分的上、下限實(shí)際上是定積分的上、下限與被積函數(shù)f(x，y)。

二、三重積分上、下限的選取

在直角坐標(biāo)系下對(duì)三重積分進(jìn)行計(jì)算，在將三重積分化為累次積分時(shí)，可以使用坐標(biāo)面投影法和坐標(biāo)軸投影法，具體方法的使用還要看實(shí)際問(wèn)題的情況，適合哪個(gè)方法就用哪個(gè)方法。

(一)坐標(biāo)面投影法

如圖1，閉區(qū)域Ω={((x,y,z)|z1(x,y)

圖1 坐標(biāo)面投影法

過(guò)任意點(diǎn)(x,y)作一條平行于Z軸且垂直穿過(guò)閉區(qū)域Ω的直線，該直線與區(qū)域Ω的邊界至多有兩個(gè)交點(diǎn)z1(x,y)和z2(x,y)。這種區(qū)域類型稱為XY型空間區(qū)域。

計(jì)算方法如下：

(1)將x,y當(dāng)作常量，那么三元函數(shù)f(x,y,z)就變成只關(guān)于變量z的一元函數(shù)。由定積分的積分法可得

(2)把Ω投影在xoy平面上，得到平面區(qū)域D，結(jié)合二重積分和積分法可得

D={((x,y)|a

(3)化三重積分為累次積分為

同理我們可以得到y(tǒng)z型和xz型空間區(qū)域及它們的算法。

(二)坐標(biāo)軸投影法

如圖2，閉區(qū)域Ω={((x,y,z)|e

圖2 坐標(biāo)軸投影法

具體方法如下：

把積分區(qū)域Ω投影到坐標(biāo)軸Z，得到投影區(qū)間z∈[e,f]，取?z∈[e,f]，作平行于xoy面且過(guò)點(diǎn)(0,0,z)的平面，得到它們的截面，則三重積分可化為

再在平面區(qū)域D上，對(duì)變量x,y進(jìn)行二重積分的計(jì)算，得到

從而得到

例：求平面x+y+z=1與三坐標(biāo)面所圍成的四面體的體積。

解：由題意知，四面體在xy平面上的投影是直線x=0，y=0,x+y=1，所圍成的三角形平面區(qū)域D，則

投影法是數(shù)學(xué)思想方法中的化歸思想在積分學(xué)中的直接運(yùn)用，也是微元分析法的本質(zhì)規(guī)律在公式化方法中的彰顯。它不僅易于接受和掌握，而且可以拓展到極坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系下使用。

[1] 程紅萍，鐘忠鑾.高等數(shù)學(xué)：第三版[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2012.

[2] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 常瑞玲.利用投影法選取積分的上、下限[J].濮陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008(1).