趙 杰
(江蘇省海門市三廠中學(xué),江蘇海門,226121)
2013年江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷中的第9題、第14題、第20題,2012年江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷中第8題、第12題、第13題、第17題、第19題,2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷中第8題、第12題、第13題、第14題、第17題都有所涉及函數(shù)的最值(值域)問(wèn)題。它出現(xiàn)在試卷上的題型不一,有的以填空題形式出現(xiàn),有的以解答題形式出現(xiàn)。它又和其他知識(shí)整合在一起,例如與方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系在一起。這類題對(duì)于學(xué)生的分析能力要求特別高,綜合性強(qiáng),還要懂得變通,令學(xué)生非常頭疼,所以函數(shù)的最值(值域)問(wèn)題成了高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn)。因此,筆者針對(duì)高中階段遇見的最值(值域)問(wèn)題,歸納出常用、有效的八種方法,并把它取名為“天龍八式”。
第一式:圖像法
作為“天龍八式”的起始式,圖像法具有簡(jiǎn)潔、明了、直觀、易懂等特性,也是被許多學(xué)生所青睞的一種方法,但它只能解決一些簡(jiǎn)單函數(shù),學(xué)生必須能準(zhǔn)確的畫出它的圖像才能施之可行。
例如:求函數(shù)f(x)=|x-3|+|x-1|的值域。
第二式:分離常數(shù)法
分離常數(shù)是我們針對(duì)一次分式函數(shù)求最值常用的一種方法,但要引起高度重視的是一定要把分子上的變量全部化掉,要不然我們還是不能達(dá)到應(yīng)要的目標(biāo)。
第三式:換元法
換元法是我們高中階段最常用的方法之一,它最重要的功能是把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)換元后變簡(jiǎn)單化。在這里,我們通過(guò)換元法能把一些復(fù)合函數(shù)簡(jiǎn)單化,一些陌生函數(shù)熟悉化,從而更容易地解決問(wèn)題。
第四式:?jiǎn)握{(diào)性法
第五式:基本不等式法
基本不等式在高考考綱要求中是八個(gè)C級(jí)要求之一,可見它的重要性是不可忽視的。而在使用基本不等式的過(guò)程中除了要掌握它的使用條件“一正,二定,三相等”以外,我們的學(xué)生還要能看出如何使用基本不等式。
第六式:參數(shù)法
參數(shù)法是我們?cè)谶x修4系列中學(xué)到的一種技巧,這也為理科的學(xué)生提供了一種解題的方法。這種方法的關(guān)鍵是把方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程,然后再去求最值。
第七式:數(shù)形結(jié)合法
龐加萊說(shuō)過(guò):“感覺(jué)到數(shù)學(xué)的美,感覺(jué)到數(shù)與形的協(xié)調(diào),感覺(jué)到幾何的優(yōu)雅,這是所有真正的數(shù)學(xué)家都清楚的真實(shí)的美的感覺(jué)?!睌?shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)四大思想之一,它的用途非常廣泛,它把代數(shù)和幾何做了一個(gè)完美的融合。所以要能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,學(xué)生必須要掌握好相關(guān)知識(shí)的幾何意義。對(duì)函數(shù)而言,常用的幾何意義有截距、斜率、距離和面積等。
終極式:導(dǎo)數(shù)法
作為“天龍八式”的終極式,導(dǎo)數(shù)法有著一招定乾坤的威力,凡是函數(shù)求最值問(wèn)題,無(wú)論是簡(jiǎn)單函數(shù)還是復(fù)合函數(shù),理論上我們都可以用導(dǎo)數(shù)法解決,只不過(guò)有些問(wèn)題我們用前面的方法更方便。
則f(x)的值域?yàn)閇-4,-3]。
葉圣陶先生說(shuō)過(guò):“教師之為教,不在全盤授予,而在相機(jī)誘導(dǎo)?!碑?dāng)然,解決最值(值域)問(wèn)題的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些,例如,還有判別式法,反函數(shù)法等。這里的“天龍八式”只是對(duì)常見的求最值問(wèn)題作一個(gè)歸納,而且有時(shí)在同一個(gè)題目中,解決的方法也可以幾種通用或者幾種并用??偠灾鉀Q函數(shù)的最值(值域)問(wèn)題,關(guān)鍵還是要掌握這幾種方法,然后以不變應(yīng)萬(wàn)變,具體問(wèn)題具體分析,能靈活運(yùn)用這幾種方法解決問(wèn)題。
[1] 席美能.最值問(wèn)題之筆者見[J].中學(xué)生數(shù)理化:教與學(xué),2011(8).
[2] 張琳琳.形如Y=f(x,y)的二元函數(shù)的最值的求法[J].科教新報(bào):教育科研,2011(23).
[3] 江懷起.函數(shù)值域的求法分析類析[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2008(S2).