易昆南， 李 慧， 趙澍源

(中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

0 引 言

如何在實(shí)驗(yàn)中提高學(xué)生綜合素質(zhì)與創(chuàng)新能力[1]？興趣是最好的老師。學(xué)生沒有學(xué)習(xí)興趣，就不可能有學(xué)習(xí)積極性，當(dāng)然更談不上進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。我們?cè)贛atlab實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，通過(guò)“音樂(lè)與數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”問(wèn)題的精心設(shè)計(jì)，把一個(gè)基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)變成設(shè)計(jì)性、綜合性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生真正感悟到數(shù)學(xué)無(wú)處不在，數(shù)學(xué)大有用武之地。數(shù)學(xué)建模大有作為。

1 興趣入手做驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)

從人才能力結(jié)構(gòu)的組成來(lái)看，基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)側(cè)重于對(duì)理論知識(shí)的理解和記憶；設(shè)計(jì)性、綜合性實(shí)驗(yàn)則要求學(xué)生在扎實(shí)的理論基礎(chǔ)上拓寬知識(shí)面，培養(yǎng)較強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力和分析、解決問(wèn)題的能力。所以，從本質(zhì)上說(shuō)，實(shí)驗(yàn)本身就是一種創(chuàng)新活動(dòng)。對(duì)于基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己動(dòng)手。為此，介紹了聲音的構(gòu)成的三要素[2]，即聲音頻率決定音調(diào)；聲音振幅決定音量；聲音諧波決定音色。 音樂(lè)是一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加形成的！為驗(yàn)證這一說(shuō)法，從興趣入手讓學(xué)生做如下驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。

步驟1：下載mp3格式的貝多芬《月光曲》[3]。

步驟2：下載音頻轉(zhuǎn)換器，將mp3格式的《月光曲》轉(zhuǎn)換為wav格式 。

步驟3：wavread調(diào)入wav格式的《月光曲》，wavplay語(yǔ)句在Matlab中播放。

步驟4：對(duì)wavread調(diào)入的數(shù)據(jù)作圖。

結(jié)果是一邊可以聽到一段美妙的《月光曲》音樂(lè)，一邊可以觀察到音樂(lè)信號(hào)是由一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加且?guī)в胁煌j(luò)[4]修飾形成的。極大地提高了學(xué)生想進(jìn)一步探索的實(shí)驗(yàn)的積極性。

2 實(shí)驗(yàn)中創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)

1,21/6,21/3,25/12,27/12,23/4,211/12,2

學(xué)生以此作為頻率，確定音高，就可以組成樂(lè)音的各級(jí)音階。

進(jìn)一步，每個(gè)指定音調(diào)的唱名都對(duì)應(yīng)固定的基波信號(hào)頻率[6]。所謂唱名是指平日讀樂(lè)譜唱出的1(do) 、2(re)、3(mi) ……, 每個(gè)唱名并未固定基波頻率。當(dāng)指定樂(lè)曲的音調(diào)時(shí)才知道此時(shí)唱名對(duì)應(yīng)的頻率值。如C調(diào)“1(do)”的基波頻率為261.63 Hz, F調(diào)“1(do)”的基波頻率為174.61Hz。 那么，F(xiàn)調(diào)的故各音的頻率又是多少？學(xué)生思考后也給予回答：

1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，

對(duì)應(yīng)的頻率為：

174.610 0 195.993 1 219.994 8 233.076 4

261.619 4 293.657 8 329.619

3 教師指導(dǎo)是關(guān)鍵

由于聲音諧波[7]決定音色，在音樂(lè)領(lǐng)域中稱諧波為“泛音”[8]，由諧波產(chǎn)生的作用稱為音色變化。當(dāng)指定音調(diào)之后，僅指定了樂(lè)音信號(hào)的基波頻率，諧波情況并未說(shuō)明。各種樂(lè)器，如鋼琴或單簧管，都可以發(fā)出某一音調(diào)下的唱名，而人的聽覺會(huì)明顯感覺兩者不同，這是由于諧波成分有所區(qū)別，頻譜[9]結(jié)構(gòu)各異。

由于在一定條件下，任何周期信號(hào)都可以展開為三角型傅里葉級(jí)數(shù)[10]，作為音樂(lè)信號(hào)也不例外，即周期信號(hào)f(t)可表示為：

φn)

圖1 傅里葉級(jí)數(shù)逼近的方波

f(t)與An、φn有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，依據(jù)An、φn作出的圖稱為頻譜圖[11]。要完成各種樂(lè)器發(fā)出聲音的音色的模擬，只需錄制各種樂(lè)器的聲音信號(hào)，通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)變換，獲得對(duì)應(yīng)的頻譜圖，就可以模擬還原該樂(lè)器奏出的聲音。

介紹了音樂(lè)合成的原理，提供了如何使用Matlab中的傅里葉級(jí)數(shù)變換的工具[12]，在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，學(xué)生根據(jù)研究課題規(guī)定的任務(wù)，自己主動(dòng)去探索、去發(fā)現(xiàn)各種樂(lè)器的傅里葉級(jí)數(shù)變換的頻譜圖，自己用曲線擬合的方法去獲得各種樂(lè)器的包絡(luò)。教師引導(dǎo)學(xué)生按下述步驟進(jìn)行：①實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生要主動(dòng)搜集并分析有關(guān)的信息及資料；②實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生要把當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的知識(shí)相聯(lián)系，并對(duì)這種聯(lián)系加以認(rèn)真思考；③實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生需要充分地與教師和學(xué)習(xí)伙伴進(jìn)行交流、討論，主動(dòng)接受教師的指導(dǎo)及伙伴的協(xié)作完成一首樂(lè)曲的音樂(lè)合成；④對(duì)各種方式得到的結(jié)果(樂(lè)曲)進(jìn)行優(yōu)化(樂(lè)音的修飾)并進(jìn)行驗(yàn)證(對(duì)照正式演奏音樂(lè))；⑤最后提交實(shí)驗(yàn)報(bào)告對(duì)自己所做的綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)。下面是取自學(xué)生自己模擬的鋼琴音的實(shí)驗(yàn)。

步驟1：將鋼琴do、re、mi、fa四個(gè)音用wavread語(yǔ)句讀出并直接畫出圖像(見圖2)。

圖2 頻譜圖

步驟2：用曲線擬合法獲得鋼琴發(fā)出聲音的包絡(luò)。

步驟3：使用Matlab中提供的傅里葉級(jí)數(shù)變換的工具作出鋼琴發(fā)出音do的頻譜圖(見圖3)。

圖3 頻譜圖

步驟4：由傅里葉級(jí)數(shù)變換頻譜圖獲得鋼琴發(fā)音的諧波(正弦波的疊加)，頻譜圖獲得的數(shù)據(jù)見表1。

表1 頻譜數(shù)據(jù)

步驟5：用wavplay語(yǔ)句在Matlab中播放。最后作出由傅里葉級(jí)數(shù)合成聲音的數(shù)字信號(hào)圖像(見圖4)。

圖4 頻譜圖

有的學(xué)生在完成的小提琴、中提琴、大提琴各種音的模擬實(shí)驗(yàn)后，以音樂(lè)合成[13]了提琴四重奏“情深意長(zhǎng)”[14]，許多的學(xué)生還用音樂(lè)合成了中外名曲。

事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，對(duì)承擔(dān)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的教師提出了很高的要求。教師作用主要體現(xiàn)在：①組織整個(gè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)結(jié)構(gòu)等方面作出科學(xué)的安排；②激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生形成強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；③對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo)，提供掌握整個(gè)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的知識(shí)架構(gòu)與學(xué)習(xí)線索，幫助學(xué)生建構(gòu)所學(xué)知識(shí)；④對(duì)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)難點(diǎn)；⑤創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生積極思維，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解，積極促進(jìn)知識(shí)遷移；⑥培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度、情感，促進(jìn)個(gè)性優(yōu)良品質(zhì)的發(fā)展；⑦強(qiáng)化教學(xué)的創(chuàng)造性，歸納演繹并重，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行求異思維、發(fā)散思維，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力；⑧在促進(jìn)學(xué)生“學(xué)會(huì)知識(shí)技能”的基礎(chǔ)上，著力培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”。教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)是實(shí)驗(yàn)教學(xué)高層次的任務(wù)。

5 結(jié) 語(yǔ)

“音樂(lè)與數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”這一講，在學(xué)生中起了轟動(dòng)性效應(yīng)，每次課聽講人數(shù)達(dá)200人以上，在2013年8月西安舉辦的全國(guó)數(shù)學(xué)建模研討和經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)上發(fā)言[15]，獲得了與會(huì)者一致的好評(píng)。這對(duì)在綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，全面提高大學(xué)生的綜合素質(zhì)，推動(dòng)和深化大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、推動(dòng)數(shù)學(xué)建模的活動(dòng)的開展，無(wú)疑是十分有益的。

[1] 易昆南.在綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理[J].2007(8):8-9,14.

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[14] 丁芷諾.弦樂(lè)四重奏《情深誼長(zhǎng)》,http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/DING Zhi-nuo. String quartet “Deep emotion”, http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/

[15] 易昆南.中南大學(xué)易昆南音樂(lè)合成，http://202.117.3.94/sxtjxy/jxtz/article.jsp?articleId=11421，二分會(huì)場(chǎng)報(bào)告止園飯店長(zhǎng)安廳.

YI Kun-nan. Central South University YI Kun-nan’s beyonding music synthesis, http://202.117.3.94/sxtjxy/jxtz/article.jsp?articleId=11421,Half the meeting report check Changan hall garden hotel.

要全面落實(shí)本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)實(shí)踐教學(xué)的基本要求，加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)管理，提高實(shí)驗(yàn)、實(shí)習(xí)、實(shí)踐和畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)質(zhì)量。支持高等職業(yè)學(xué)校學(xué)生參加企業(yè)技改、工藝創(chuàng)新等實(shí)踐活動(dòng)。組織編寫一批優(yōu)秀實(shí)驗(yàn)教材。思想政治理論課所有課程都要加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)。

——摘自《教思政[2012]1號(hào)文件》