易昆南， 李 慧， 趙澍源

(中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410075)

0 引 言

如何在實(shí)驗(yàn)中提高學(xué)生綜合素質(zhì)與創(chuàng)新能力[1]？興趣是最好的老師。學(xué)生沒有學(xué)習(xí)興趣，就不可能有學(xué)習(xí)積極性，當(dāng)然更談不上進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。我們在Matlab實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，通過“音樂與數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”問題的精心設(shè)計(jì)，把一個基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)變成設(shè)計(jì)性、綜合性實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生真正感悟到數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)大有用武之地。數(shù)學(xué)建模大有作為。

1 興趣入手做驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)

從人才能力結(jié)構(gòu)的組成來看，基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)側(cè)重于對理論知識的理解和記憶；設(shè)計(jì)性、綜合性實(shí)驗(yàn)則要求學(xué)生在扎實(shí)的理論基礎(chǔ)上拓寬知識面，培養(yǎng)較強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)動手能力和分析、解決問題的能力。所以，從本質(zhì)上說，實(shí)驗(yàn)本身就是一種創(chuàng)新活動。對于基礎(chǔ)性、驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己動手。為此，介紹了聲音的構(gòu)成的三要素[2]，即聲音頻率決定音調(diào)；聲音振幅決定音量；聲音諧波決定音色。 音樂是一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加形成的！為驗(yàn)證這一說法，從興趣入手讓學(xué)生做如下驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)。

步驟1：下載mp3格式的貝多芬《月光曲》[3]。

步驟2：下載音頻轉(zhuǎn)換器，將mp3格式的《月光曲》轉(zhuǎn)換為wav格式 。

步驟3：wavread調(diào)入wav格式的《月光曲》，wavplay語句在Matlab中播放。

步驟4：對wavread調(diào)入的數(shù)據(jù)作圖。

結(jié)果是一邊可以聽到一段美妙的《月光曲》音樂，一邊可以觀察到音樂信號是由一系列振幅和頻率不一的正弦波疊加且?guī)в胁煌j(luò)[4]修飾形成的。極大地提高了學(xué)生想進(jìn)一步探索的實(shí)驗(yàn)的積極性。

2 實(shí)驗(yàn)中創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)

1,21/6,21/3,25/12,27/12,23/4,211/12,2

學(xué)生以此作為頻率，確定音高，就可以組成樂音的各級音階。

進(jìn)一步，每個指定音調(diào)的唱名都對應(yīng)固定的基波信號頻率[6]。所謂唱名是指平日讀樂譜唱出的1(do) 、2(re)、3(mi) ……, 每個唱名并未固定基波頻率。當(dāng)指定樂曲的音調(diào)時才知道此時唱名對應(yīng)的頻率值。如C調(diào)“1(do)”的基波頻率為261.63 Hz, F調(diào)“1(do)”的基波頻率為174.61Hz。 那么，F(xiàn)調(diào)的故各音的頻率又是多少？學(xué)生思考后也給予回答：

1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，

對應(yīng)的頻率為：

174.610 0 195.993 1 219.994 8 233.076 4

261.619 4 293.657 8 329.619

3 教師指導(dǎo)是關(guān)鍵

由于聲音諧波[7]決定音色，在音樂領(lǐng)域中稱諧波為“泛音”[8]，由諧波產(chǎn)生的作用稱為音色變化。當(dāng)指定音調(diào)之后，僅指定了樂音信號的基波頻率，諧波情況并未說明。各種樂器，如鋼琴或單簧管，都可以發(fā)出某一音調(diào)下的唱名，而人的聽覺會明顯感覺兩者不同，這是由于諧波成分有所區(qū)別，頻譜[9]結(jié)構(gòu)各異。

由于在一定條件下，任何周期信號都可以展開為三角型傅里葉級數(shù)[10]，作為音樂信號也不例外，即周期信號f(t)可表示為：

φn)

圖1 傅里葉級數(shù)逼近的方波

f(t)與An、φn有一一對應(yīng)的關(guān)系，依據(jù)An、φn作出的圖稱為頻譜圖[11]。要完成各種樂器發(fā)出聲音的音色的模擬，只需錄制各種樂器的聲音信號，通過傅里葉級數(shù)變換，獲得對應(yīng)的頻譜圖，就可以模擬還原該樂器奏出的聲音。

介紹了音樂合成的原理，提供了如何使用Matlab中的傅里葉級數(shù)變換的工具[12]，在教師的指導(dǎo)下，以學(xué)生為主體，學(xué)生根據(jù)研究課題規(guī)定的任務(wù)，自己主動去探索、去發(fā)現(xiàn)各種樂器的傅里葉級數(shù)變換的頻譜圖，自己用曲線擬合的方法去獲得各種樂器的包絡(luò)。教師引導(dǎo)學(xué)生按下述步驟進(jìn)行：①實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生要主動搜集并分析有關(guān)的信息及資料；②實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生要把當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的知識相聯(lián)系，并對這種聯(lián)系加以認(rèn)真思考；③實(shí)驗(yàn)教學(xué)中學(xué)生需要充分地與教師和學(xué)習(xí)伙伴進(jìn)行交流、討論，主動接受教師的指導(dǎo)及伙伴的協(xié)作完成一首樂曲的音樂合成；④對各種方式得到的結(jié)果(樂曲)進(jìn)行優(yōu)化(樂音的修飾)并進(jìn)行驗(yàn)證(對照正式演奏音樂)；⑤最后提交實(shí)驗(yàn)報告對自己所做的綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)。下面是取自學(xué)生自己模擬的鋼琴音的實(shí)驗(yàn)。

步驟1：將鋼琴do、re、mi、fa四個音用wavread語句讀出并直接畫出圖像(見圖2)。

圖2 頻譜圖

步驟2：用曲線擬合法獲得鋼琴發(fā)出聲音的包絡(luò)。

步驟3：使用Matlab中提供的傅里葉級數(shù)變換的工具作出鋼琴發(fā)出音do的頻譜圖(見圖3)。

圖3 頻譜圖

步驟4：由傅里葉級數(shù)變換頻譜圖獲得鋼琴發(fā)音的諧波(正弦波的疊加)，頻譜圖獲得的數(shù)據(jù)見表1。

表1 頻譜數(shù)據(jù)

步驟5：用wavplay語句在Matlab中播放。最后作出由傅里葉級數(shù)合成聲音的數(shù)字信號圖像(見圖4)。

圖4 頻譜圖

有的學(xué)生在完成的小提琴、中提琴、大提琴各種音的模擬實(shí)驗(yàn)后，以音樂合成[13]了提琴四重奏“情深意長”[14]，許多的學(xué)生還用音樂合成了中外名曲。

事實(shí)上，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，對承擔(dān)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的教師提出了很高的要求。教師作用主要體現(xiàn)在：①組織整個實(shí)驗(yàn)教學(xué)，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)結(jié)構(gòu)等方面作出科學(xué)的安排；②激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生形成強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī)；③對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo)，提供掌握整個實(shí)驗(yàn)教學(xué)的知識架構(gòu)與學(xué)習(xí)線索，幫助學(xué)生建構(gòu)所學(xué)知識；④對實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)進(jìn)行輔導(dǎo)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)難點(diǎn)；⑤創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生積極思維，加深學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解，積極促進(jìn)知識遷移；⑥培養(yǎng)學(xué)生積極的態(tài)度、情感，促進(jìn)個性優(yōu)良品質(zhì)的發(fā)展；⑦強(qiáng)化教學(xué)的創(chuàng)造性，歸納演繹并重，鼓勵學(xué)生進(jìn)行求異思維、發(fā)散思維，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力；⑧在促進(jìn)學(xué)生“學(xué)會知識技能”的基礎(chǔ)上，著力培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”。教會學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)是實(shí)驗(yàn)教學(xué)高層次的任務(wù)。

5 結(jié) 語

“音樂與數(shù)學(xué)有關(guān)嗎？”這一講，在學(xué)生中起了轟動性效應(yīng)，每次課聽講人數(shù)達(dá)200人以上，在2013年8月西安舉辦的全國數(shù)學(xué)建模研討和經(jīng)驗(yàn)交流會上發(fā)言[15]，獲得了與會者一致的好評。這對在綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，全面提高大學(xué)生的綜合素質(zhì)，推動和深化大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革、推動數(shù)學(xué)建模的活動的開展，無疑是十分有益的。

[1] 易昆南.在綜合性、設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理[J].2007(8):8-9,14.

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[14] 丁芷諾.弦樂四重奏《情深誼長》,http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/DING Zhi-nuo. String quartet “Deep emotion”, http://www.tudou.com/programs/view/xsnwq5ZkLTo/

[15] 易昆南.中南大學(xué)易昆南音樂合成，http://202.117.3.94/sxtjxy/jxtz/article.jsp?articleId=11421，二分會場報告止園飯店長安廳.

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要全面落實(shí)本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)對實(shí)踐教學(xué)的基本要求，加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)管理，提高實(shí)驗(yàn)、實(shí)習(xí)、實(shí)踐和畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)質(zhì)量。支持高等職業(yè)學(xué)校學(xué)生參加企業(yè)技改、工藝創(chuàng)新等實(shí)踐活動。組織編寫一批優(yōu)秀實(shí)驗(yàn)教材。思想政治理論課所有課程都要加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)。

——摘自《教思政[2012]1號文件》