□蔣崇輝 馬永開

[電子科技大學(xué) 成都 610054]

引言

修正久期和凸性是債券和債券組合管理的核心概念，是衡量債券及債券組合利率風(fēng)險的重要工具[1~4]，是投資者執(zhí)行各種債券投資策略和套期保值策略的重要基礎(chǔ)[5~7]。商學(xué)院學(xué)生在學(xué)習(xí)銀行管理和投資方面的課程時通常都有關(guān)于久期和凸性的內(nèi)容。然而，筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，為數(shù)不少的同學(xué)都無法真正理解這兩個概念并進(jìn)行靈活運(yùn)用。究其原因，教師在講授久期和凸性的概念時，一方面，久期會涉及有“麥考利久期”和“修正久期”的雙重使用；另一方面，凸性的概念帶有較強(qiáng)的技術(shù)性，在同學(xué)們?nèi)狈@些概念的感性認(rèn)識時，很難做到透徹理解這些概念，更不用說靈活運(yùn)用。

債券的久期就是投資者收到債券各個現(xiàn)金流所需時間的加權(quán)平均，權(quán)重為各個現(xiàn)金流現(xiàn)值占所有現(xiàn)金流現(xiàn)值的比重。這個概念最早由弗雷德里克·麥考利引入，所以，我們通常稱之為麥考利久期。很顯然，由于麥考利久期是時間的加權(quán)平均，所以，麥考利久期是用“年”來衡量的。對于普通債券而言，其麥考利久期通常介于0和債券存續(xù)期之間，特別地，零息債券的麥考利久期就等于其存續(xù)期。麥考利久期雖然衡量了投資者收到各個現(xiàn)金流的所需要的平均時間，但對于利率敏感型的債券而言，投資者更需要知道債券價格相對于利率變化的敏感性，即債券的利率風(fēng)險，而衡量這個的敏感性的指標(biāo)就是修正久期。從概念上看，麥考利久期衡量的是投資者收到各個現(xiàn)金流的平均時間，以“年”為單位，而修正久期則描述的是債券價格相對于利率變化的敏感性。敏感性是沒有單位的，因此麥考利久期和修正久期分別描述了債券的不同性質(zhì)。在計算方法上，計算麥考利久期使用的是債券的到期收益率[8~11]，即對債券的每個現(xiàn)金流都用相同的折現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)得到。然而，由于修正久期需要抓住利率變化所導(dǎo)致的債券價格的變化，因此，為了準(zhǔn)確計算修正久期，對債券的每個現(xiàn)金流都會用對應(yīng)期限的折現(xiàn)率進(jìn)行折現(xiàn)。而不同期限的折現(xiàn)率會存在差異，另外，基準(zhǔn)利率的變化所導(dǎo)致的不同期限的利率變化也會存在不同。因此，現(xiàn)有教材上將修正久期直接寫成對麥考利久期的一個修正，這會嚴(yán)重誤導(dǎo)同學(xué)們對修正久期的理解！最后，由于修正久期描述的是債券價格相對于利率變化的敏感性，在債券組合管理過程中，修正久期的應(yīng)用遠(yuǎn)多于麥考利久期。正因?yàn)橐陨蠋追矫娴脑?，本文主要考察了定期?fù)利計息①情況下債券和債券組合修正久期的計算問題。

在利率變化幅度很小的情況下，修正久期基本上能抓住利率變化所帶來的債券價格的變化。然而，由于債券的價格收益率曲線的形狀是凸形的，如圖1所示。這種凸形特征決定了當(dāng)利率變化幅度較大的情況下，修正久期并不能完全抓住利率變化所導(dǎo)致的債券價格的變化。在這種情況下，為了更準(zhǔn)確衡量利率變化導(dǎo)致的債券價格變化，就需要考慮債券的凸性。具體而言，修正久期對應(yīng)的是債券價格相對于利率的一階導(dǎo)數(shù)，而凸性對應(yīng)的則是二階導(dǎo)數(shù)，這與期權(quán)市場上用來刻畫期權(quán)風(fēng)險的德爾塔和伽馬對應(yīng)②。所以，本文除了考察債券和債券組合修正久期的計算問題以外，還考察了債券和債券組合凸性的計算問題。

圖1 債券價格收益率曲線

綜上所述，債券修正久期的本質(zhì)是債券價格相對于市場基準(zhǔn)利率變化的敏感性，由于債券價格并不是其收益率的線性函數(shù)，所以，當(dāng)市場基準(zhǔn)利率變化較大的情況下，作為債券價格相對于收益率二階導(dǎo)數(shù)的凸性應(yīng)該被納入以改善修正久期的業(yè)績。本文從債券修正久期和凸性的本質(zhì)出發(fā)，通過計算零息債券修正久期和凸性，給出了付息債券或債券組合修正久期和凸性的計算方法。

一、修正久期

（一）零息債券的修正久期

首先我們從零息債券的價格及其價格相對于利率變化的敏感性說起。假設(shè)某n年后到期的零息債券的面值為Par，則該債券的價格P應(yīng)該為

式(1)中的in即為該零息債券的到期收益率，也就是期限為n年的即期利率。對于信用級別相同期限不同的零息債券而言，他們的到期收益率與期限之間的關(guān)系就表現(xiàn)為該信用級別債券的即期利率曲線。圖2描述的是2011年9月1日中國固定利率國債收益率曲線。

當(dāng)市場基準(zhǔn)利率發(fā)生變化，會導(dǎo)致各期限即期利率也發(fā)生變化，進(jìn)而會帶來收益曲線的移動。由式(1)可知，在即期利率發(fā)生變化的情況下，債券價格也會發(fā)生變化，對債券投資者而言，把握債券價格相對于利率變化的敏感性顯得非常重要。債券價格相對于利率變化的敏感性可通俗表述為利率變化一個基點(diǎn)會導(dǎo)致債券價格變化多少個基點(diǎn)。為了揭示這個敏感性，我們對式(1)兩邊求微分有

圖2 中國固定利率國債收益率曲線（數(shù)據(jù)來源于中國債券信息網(wǎng)）

其中Ru即為利率變化所帶來的債券價格變化的百分比，也就是利率變化給投資者帶來的非預(yù)期收益率，而Δi即為利率的變化，DMn即為n年期零息債券的修正久期。從式 (4)可以看出，零息債券的修正久期就是用 1 +in進(jìn)行調(diào)整之后的久期，顯然，修正久期揭示了債券價格變化相對于利率變化的敏感性。例如，對于修正久期為0.97的零息債券而言，利率變化10個基點(diǎn)，債券價格變化為9.7個基點(diǎn)，從這個意義講，債券的修正久期與股票的貝塔以及期權(quán)的德爾塔類似。

（二）附息債券和債券組合的修正久期

考慮一只兩年期每年付息一次的附息債券，設(shè)該債券一年后的現(xiàn)金流為C1，兩年后的現(xiàn)金流為C2+Par，則該債券的價格應(yīng)該為

式(5)中i1、i2分別為與該附息債券信用級別相同的一年，兩年期即期利率。我們知道，任何附息債券均可以看成多個零息債券的組合。對于上述兩年期附息債券而言，可以視為面值為C1的一年期零息債券與面值為C2+Par的兩年期零息債券的組合，因而該附息債券的價格應(yīng)該為這兩只零息債券的和，即

其中DM就是這兩年期附息債券的修正久期。從上面的推導(dǎo)過程可以看出：在收益曲線平行移動的情況下，附息債券的修正久期是債券各現(xiàn)金流修正久期的加權(quán)和，權(quán)重為各現(xiàn)金流現(xiàn)值占附息債券價格的百分比；同理，債券組合的修正久期也是組合中各債券修正久期的加權(quán)和，權(quán)重為各債券價值占債券組合總價值的百分比。

二、凸性

在利率變化幅度很小的情況下，修正久期基本上能抓住利率變化所帶來的債券價格的變化。然而，由于債券的價格收益率曲線的形狀是凸形的，這種凸形特征決定了當(dāng)利率變化幅度較大的情況下，修正久期并不能完全抓住利率變化所導(dǎo)致的債券價格的變化。在這種情況下，為了更準(zhǔn)確衡量利率變化導(dǎo)致的債券價格變化，就需要考慮債券的凸性。

（一）零息債券的凸性

仍然以n年期的零息債券為例，對債券價格在當(dāng)前n年期即期利率進(jìn)行泰勒展開可以得到：

從式(10)可以看出，在忽略債券凸性的情況下，根據(jù)久期所計算得到的價格變化會存在高估或者低估的偏差。如果利率上升，則會高估債券價格下跌的幅度，而在利率下跌的情況下，則會低估債券價格上漲的幅度。

（二）附息債券和債券組合的凸性

不管是附息債券還是債券組合，均可以看成一系列零息債券的組合。根據(jù)“組合收益率是組合中各成份證券收益率加權(quán)和”的基本原理，我們可以得到附息債券或債券組合價值變化的百分比Ru為

三、實(shí)例分析

修正久期和凸性的一個基本應(yīng)用在于預(yù)測利率變化所導(dǎo)致的債券價格以及債券組合價值的變化，進(jìn)而為投資者制定債券投資策略以及風(fēng)險管理提供依據(jù)。下面以一個簡單的例子闡述根據(jù)本文方法計算修正久期和凸性，進(jìn)而預(yù)測債券價格的變化。

設(shè)某投資者持有六年后到期的票面率為8%的附息債券，其中票面價值為1000元，假設(shè)1～6年期即期利率分別為6.0%、6.5%、7.0%、7.5%、8.0%、8.5%。設(shè)利率上漲1%，即期利率曲線向上平移1%，我們根據(jù)前文所介紹的方法首先在EXCEL表格中分別計算附息債券各現(xiàn)金流的現(xiàn)值，各現(xiàn)金流現(xiàn)值占比，各現(xiàn)金流的修正久期以及凸性，如表1。

由于附息債券的修正久期和凸性分別是各現(xiàn)金流修正久期和凸性的加權(quán)和，因而可以通過EXCEL中的SUMPRODUCT函數(shù)求得附息債券的修正久期為4.5790，凸性為27.5876。如果僅僅利用修正久期這個工具，則利率上升1%應(yīng)該導(dǎo)致債券價格下跌4.5790%，如果同時利用修正久期和凸性兩個工具，則利率上升1%導(dǎo)致債券價格下跌的百分比為4.4411%③。

表1 附息債券各現(xiàn)金流修正久期和凸性的計算

為了進(jìn)一步驗(yàn)證同時利用修正久期和凸性兩個工具所預(yù)測的債券價格變化比單獨(dú)使用修正久期預(yù)測得到的債券價格變化更接近實(shí)際債券價格的變化，我們分別計算了利率變化前后附息債券的理論價格。利率變化前附息債券的理論價格為表1中各現(xiàn)金流現(xiàn)值之和，為987.6397元，而利率變化后的理論價格為943.7459，理論價格下跌4.4443%。顯然，同時利用修正久期和凸性兩個工具所預(yù)測的債券價格變化更接近債券理論價格的變化。

四、小結(jié)

通過辨析債券的麥考利久期和修正久期在概念和計算方法上的差異，本文指出修正久期才是債券和債券組合風(fēng)險管理的核心工具。由于債券價格并不是收益率的線性函數(shù)，當(dāng)利率變化幅度較大的情況下，修正久期不足以抓住利率變化所帶來的債券價格的變化，所以，債券的凸性應(yīng)該被納入以改善修正久期的業(yè)績。從修正久期和凸性的本質(zhì)出發(fā)，通過計算零息債券修正久期和凸性，給出了付息債券或債券組合修正久期和凸性的計算方法，并通過實(shí)例闡述了債券修正久期和凸性的計算及應(yīng)用。實(shí)例表明，本文給出的債券久期和凸性的計算方法吻合債券久期和凸性的定義，而且計算方法清晰明了，在EXCEL中計算簡便，不僅可以幫助我們理解修正久期和凸性的概念，還能推廣到更一般的情形。

注釋

①定期復(fù)利計息是對“periodically-compounded”的翻譯，如半年計息一次或一年計息一次，這是與債券市場上半年或一年付息一次的情況對應(yīng)的。

②期權(quán)的德爾塔是衡量期權(quán)價格相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格的敏感性，而伽馬衡量期權(quán)德爾塔相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格的敏感性，因此德爾塔是期權(quán)價格相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格的一階導(dǎo)數(shù)，而伽馬是期權(quán)價格相對于標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階導(dǎo)數(shù)。

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