顧朝暉

(廣東外語外貿(mào)大學(xué) 思科信息學(xué)院， 廣州 510006)

0引言及預(yù)備知識(shí)

許多學(xué)者對(duì)平均非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)問題做了很多研究，其中張石生[1]、趙漢賓[2]、楊?yuàn)檴橻3]分別證明了平均非擴(kuò)張映射在Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)的存在性.自從Ishikawa[4]提出Ishikawa迭代以來，學(xué)者對(duì)Ishikawa迭代法收斂性做了許多研究，文獻(xiàn)[5]～[11]分別在不同空間得到了不同映射的Ishikawa迭代的收斂性定理，其中文獻(xiàn)[10]在研究一致Lipschitz 漸近偽壓縮映象和非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近時(shí), 給出了迭代序列強(qiáng)收斂的充要條件，文獻(xiàn)[11]給出了φ強(qiáng)增生型變分包含的Ishikawa迭代序列強(qiáng)收斂的充要條件.本文主要研究平均非擴(kuò)張映射的Ishikawa迭代收斂的充要條件.

定義1設(shè)X是Banach空間，T是X到X的映射，若?x，y∈X,a,b≥0,a+b≤1，

‖Tx-Ty‖≤a‖x-y‖+b‖x-Ty‖，

(1)

則稱T為平均非擴(kuò)張映射.

定義2[4]設(shè)X是Banach空間，T為平均非擴(kuò)張映射.若序列{xn}滿足

yn=βnTxn+(1-βn)xn，

(2)

xn+1=(1-αn)xn+αnTyn，

(3)

則稱序列{xn}是關(guān)于{αn}，{βn}?[0，1]的Ishikawa迭代.

1 主要結(jié)論及其證明

在證明平均非擴(kuò)張映射的Ishikawa迭代收斂的充要條件前，給出相關(guān)引理.

引理設(shè)X是Banach空間，T:D(T)→X是具有不動(dòng)點(diǎn)的平均非擴(kuò)張映射，則對(duì)?x0∈X，T的Ishikawa迭代序列有界.

證明設(shè)F(T)是T的不動(dòng)點(diǎn)集，p∈F(T)，則

‖Tx-p‖=‖Tx-Tp‖≤a‖x-p‖+b‖x-Tp‖≤ (a+b)‖x-p‖ ≤‖x-p‖.所以

‖xn+1-p‖ =‖ (1-αn)xn+αnTyn-p‖ = ‖(1-αn)(xn-p)+αn(Tyn-p)‖≤(1-αn)‖xn-p‖+αn‖Tyn-p‖≤ (1-αn)‖xn-p‖+αn‖yn-p‖= (1-αn)‖xn-p‖+αn‖βnTxn+(1-βn)xn-p‖=(1-αn)‖xn-p‖+αn‖βn(Txn-p)+(1-βn)(xn-p‖)≤(1-αn)‖xn-p‖+αnβn‖Txn-p‖+αn(1-βn)‖xn-p‖≤ (1-αn)‖xn-p‖+αnβn‖xn-p‖+αn(1-βn)‖xn-p‖ =‖xn-p‖≤…≤‖xn-1-p‖ ≤…≤‖x0-p‖，.所以{xn}為有界序列.

從定理2的證明中可以得到下面幾個(gè)推論：

[1] 張石生. 關(guān)于Banach空間中平均非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)理論[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)，1975(2):67-78.

[2] 趙漢賓.Banach空間中的平均非擴(kuò)張映射不動(dòng)點(diǎn)的存在理論[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1979，22(4): 459-469.

[3] 楊?yuàn)檴?Banach空間中平均非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)問題[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，35(6):660-662.

[4] S. ISHIKAWA.Fixed points by a new iterations method[J]. Proc. Amer. Math. Soc. 1974(44): 147-150.

[5] 鄧?yán)?李勝宏. 一致凸Banach空間中非擴(kuò)張映射的I shikawa迭代[J]. 數(shù)學(xué)年刊,2000, 21A(2) : 159-164.

[6] XU H K. Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive opertors[J]. J Math Anal Appl, 2006(314):631-643.

[7] SU Y F， ZHANG F， QIN X L. Strong Convergence Theorems for Nonexpansive Mapping in Banach Spaces. Acta Analysis Functionalis Applicata[J]. 2007, 9(3): 212-219.

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[9] GUZ H , LI Y J Approximation Methods for Common Fixed Points of Mean Nonexpansive Mapping in Banach Spaces[J]. Fixed Point Theory and Applications, Volume 2008 (2008), Article ID 471532, 7 pages.

[10] 王朝, 劉理蔚. 漸近偽壓縮映象的Ishikawa迭代序列強(qiáng)收斂的充要條件[J]. 應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2006, 8( 2) :252-258.

[11] 薛祖華, 顧正剛. φ-強(qiáng)增生型變分包含的Ishikawa迭代序列強(qiáng)收斂的充要條件[J]. 應(yīng)用泛函分析學(xué)報(bào), 2010, 12(1) :91-96.