莊科俊

(安徽財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

引言

定積分是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，而積分中值定理則是定積分的重要性質(zhì)之一. 積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值，或者將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡單函數(shù)的積分的方法，在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計積分值等方面有著重要而廣泛的應(yīng)用. 因此，加強(qiáng)學(xué)生對積分中值定理，特別是基本的積分第一中值定理的應(yīng)用能力，就顯得尤為重要了.

在現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材[1，2]中，積分第一中值定理關(guān)于介值點(diǎn)ξ的范圍，在課后習(xí)題中都加強(qiáng)到了開區(qū)間內(nèi)，證明可見文獻(xiàn)[3]. 定理內(nèi)容敘述如下.

目前，已有不少文獻(xiàn)對積分第一中值定理進(jìn)行了推廣和改進(jìn)，并且給出了詳細(xì)的證明，如文獻(xiàn)[4～6]. 然而，關(guān)于推廣的積分第一中值定理的應(yīng)用卻很少[7]. 因此，本文將通過具體的例題，來展示推廣的積分第一中值定理在求解某些積分問題中的優(yōu)越性.

1 推廣的積分第一中值定理的應(yīng)用

1.1 在積分極限計算中的應(yīng)用

對積分號下取極限的問題，通常可以運(yùn)用定積分的基本性質(zhì)，特別是推廣的積分第一中值定理，把積分化為簡單易求的表達(dá)式.

證明1)由推廣的積分第一中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得：

2)由推廣的積分第一中值定理，存在ξ∈(0,1)，使得：

1.2 在定積分不等式中的應(yīng)用

在證明定積分不等式時，往往可以考慮運(yùn)用積分中值定理，以便可以去掉積分符號. 如果被積函數(shù)是兩個因子的乘積，還可以借助推廣的積分第一中值定理，使積分便于計算.

分析 這是定積分不等式的證明，由于兩個定積分的積分限相同，故可以合并成一個定積分. 為了方便計算，可以考慮將被積函數(shù)的一個因子提到積分號的前面.

所以：

1.3 在積分等式證明中的應(yīng)用

對于一些較為復(fù)雜的定積分的極限證明問題，還需要綜合其它方法，如分部積分法、定積分的區(qū)間可加性、迫斂性等，對問題加以簡化.

證明因為 ：

由f'(x)在[0,1]上的連續(xù)性，可知其有界. 對上述等式兩邊取極限，令n→∞，可得結(jié)論.

例4 (中國科學(xué)院2003年考研題)設(shè)f(x)在[-1,1]上連續(xù)，證明：

分析 直接對定積分進(jìn)行計算是不容易的，因此可以考慮用推廣的第一積分中值定理將f(x)提到積分號的外面. 但是，在h=0的充分小的右鄰域內(nèi)，點(diǎn)x=0是被積函數(shù)的瑕點(diǎn). 因此，在使用推廣的積分第一中值定理時，需要對定積分的區(qū)間進(jìn)行拆分.

為簡便起見，將上述表達(dá)式記為I1+I2+I3.

由于f(x)在[-1,1]上連續(xù)，所以f(x)有界，設(shè)|f(x)|≤M. 于是有：

證明對任意的ε∈(0,1)，有：

2 結(jié)束語

本文通過典型的例題，對推廣的積分第一中值定理的應(yīng)用作了具體的說明. 實(shí)際上，定積分的這一重要性質(zhì)也可應(yīng)用于很多其他問題，這需要在教學(xué)實(shí)踐中不斷地探索.

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M]. 第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(上冊)[M]. 第5版. 北京：高等教育出版社，2008.

[3]謝惠民，惲自求，易法槐，等. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義(上冊)[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

[4]李仕瓊，梁波. 積分第一中值定理的證明及其推廣[J]. 重慶文理學(xué)院學(xué)報，2006,5(3)：14-16.

[5]李衍禧. 積分第一中值定理的推廣[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2007,37(9)：203-206.

[6]文傳軍，姚俊. 推廣的積分第一中值定理的再改進(jìn)[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2011,14(1)：42-44.

[7]張國銘. 改進(jìn)的積分第一中值定理的應(yīng)用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2011,14(6)：25-27.