李寶仁，曹 博，仇艷凱，廖金軍，劉 真

(華中科技大學(xué) 機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

船舶海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)具有復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)潢P(guān)系，圖論作為流體網(wǎng)絡(luò)分析的重要手段，在流體網(wǎng)絡(luò)水力計(jì)算中具有明顯優(yōu)勢(shì)。基于圖論理論建立描述流體網(wǎng)絡(luò)固有參數(shù)的流體網(wǎng)絡(luò)模型，將流體網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)圖，利用流體網(wǎng)絡(luò)的矩陣形式來描述，不但使流體網(wǎng)絡(luò)方程形式簡(jiǎn)單，而且使得流體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)及其水力特性本身的物理性質(zhì)更加直觀。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)圖論在流體網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用進(jìn)行了廣泛研究。Velitchko G.Tzatchkov[1]等將圖論用于城市供水功能分區(qū)流體網(wǎng)絡(luò)中，并對(duì)其算法進(jìn)行驗(yàn)證。Deuerlein, Jochen[2]提出利用線性圖論理論來提高供水管網(wǎng)的計(jì)算效率，其將供水網(wǎng)絡(luò)分解為外部網(wǎng)絡(luò)和內(nèi)核網(wǎng)絡(luò)，從而大大減小了矩陣大小和計(jì)算時(shí)間。Kumar, S.Mohan[3]等提出利用圖論的方法來簡(jiǎn)化分布供水網(wǎng)絡(luò)的維數(shù)，從而提高供水網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計(jì)的計(jì)算效率。Jinxue Sui[4]等基于圖論及不可壓縮流體N-S方程建立了流體網(wǎng)絡(luò)非線性最小化模型，并將該模型應(yīng)用于小腦循環(huán)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的計(jì)算及血管分支流量及壓力的控制。Milos，T.[5]提出利用圖論來規(guī)劃城市供水管網(wǎng)的最優(yōu)路徑，以實(shí)現(xiàn)成本最小化。Di Nardo, Armando[6]提出將圖論應(yīng)用于分區(qū)測(cè)量供水網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)中，以方便確定管網(wǎng)中流量計(jì)和邊界閥的位置。Shen, Renjie[7]等提出利用圖論尋找供水網(wǎng)絡(luò)中工作在最大設(shè)計(jì)能力的管道支線，也就是確定供水管網(wǎng)的設(shè)計(jì)瓶頸。肖益民[8]等運(yùn)用圖論對(duì)流體輸配管網(wǎng)的計(jì)算機(jī)分析進(jìn)行了初步研究，并開發(fā)了相應(yīng)計(jì)算程序。李祥立[9]等利用圖論理論對(duì)枝狀供熱管網(wǎng)水力工況進(jìn)行了模擬分析。曹慧哲[10-11]等基于圖論對(duì)多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力計(jì)算方法進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了采用鏈支流量矩陣進(jìn)行管網(wǎng)水力計(jì)算的解析表達(dá)式。楊開林[12]應(yīng)用矩陣分析方法推導(dǎo)了渠網(wǎng)非恒定流數(shù)學(xué)模型,并將其應(yīng)用于實(shí)例。趙進(jìn)勇[13]運(yùn)用圖論連通度理論將河道-灘區(qū)系統(tǒng)概化為網(wǎng)絡(luò)圖模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)河道-灘區(qū)系統(tǒng)在一定水位條件下的連通狀況模擬和連通程度定量分析。史成軍等[14]采用模塊化圖形建模方法，對(duì)船舶中央冷卻系統(tǒng)進(jìn)行了建模仿真，并將其應(yīng)用于輪機(jī)模擬器的研制中。賈志強(qiáng)等[15]應(yīng)用SIMPLE算法對(duì)船舶中央冷卻系統(tǒng)水力管網(wǎng)進(jìn)行了動(dòng)態(tài)模擬，利用不同時(shí)間步的結(jié)果動(dòng)態(tài)反映了管網(wǎng)特性。但以往研究多忽略雷諾數(shù)的變化對(duì)管網(wǎng)支路阻力系數(shù)的影響。本文將圖論理論應(yīng)用于船舶海水冷去網(wǎng)絡(luò)研究中，以某船舶典型海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，建立系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型，并在網(wǎng)絡(luò)解算中考慮雷諾數(shù)對(duì)管路阻力的影響，采用“變流阻系數(shù)”解算算法，大大提高了海水冷卻管網(wǎng)水力分析與計(jì)算的精度。

1 船舶海水冷卻網(wǎng)絡(luò)模型建立

某船舶海水冷卻管網(wǎng)主要由海水泵、舷側(cè)閥、截止閥、截止止回閥和海水冷卻用戶組成。按照?qǐng)D論建模方法，根據(jù)模擬系統(tǒng)工作原理圖，簡(jiǎn)化和抽象模擬系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中具體的動(dòng)力元件和管路附件，使其只含有網(wǎng)絡(luò)連接拓?fù)潢P(guān)系和節(jié)點(diǎn)元素的網(wǎng)絡(luò)圖,同時(shí)，將該海水冷卻系統(tǒng)進(jìn)行圖論建模。其網(wǎng)絡(luò)有向圖如圖1所示。

圖1 船舶海水冷卻系統(tǒng)開環(huán)網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Open-loop network of seawater cooling system of ship

從圖1可看出：該海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖G1=(V1,E1)是具有節(jié)點(diǎn)集合V1={1,2,3,…,10}和分支集合E1={1,2,3,…,11}的單源單匯流體網(wǎng)絡(luò)。其節(jié)點(diǎn)鄰接矩陣A1=(a1ij)10×10滿足關(guān)系為：

(1)

由式(1)可得到該海水冷卻系統(tǒng)流體網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)鄰接矩陣為：

在流體網(wǎng)絡(luò)中，源點(diǎn)和匯點(diǎn)之間一般保持流量平衡，即流入源點(diǎn)的總流量等于流出匯點(diǎn)的總流量。為了使流體網(wǎng)絡(luò)能夠方便地利用圖論理論解算，需要將有源有匯網(wǎng)絡(luò)化為無源無匯網(wǎng)絡(luò)。

通過在圖1中源點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)1)和匯點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)10)之間建立虛擬分支連接，形成無源無匯流體網(wǎng)絡(luò)G1′=(V1′,E1′)， 如圖3所示。

圖2 船舶海水冷卻系統(tǒng)閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)圖Fig.2 Close-loop network of seawater cooling system of ship

由式(1)可以得到該無源無匯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)鄰接矩陣為：

表1船舶海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖對(duì)應(yīng)設(shè)備

Tab.1 The devices corresponding to the branches in the network of seawater cooling system

網(wǎng)絡(luò)支路對(duì)應(yīng)設(shè)備支路始節(jié)點(diǎn)支路末節(jié)點(diǎn)e1舷側(cè)閥1、截止閥1、海水濾器①②e2截止閥2②③e3截止閥2②④e4海水泵③⑤e5海水泵④⑥e6截止止回閥⑤⑦e7截止止回閥⑥⑦e8無設(shè)備⑦⑧e9截止閥2、截止止回閥⑧⑨e10截止閥2、截止止回閥⑧⑨e11截止閥3、舷側(cè)閥2⑨⑩

2 流體網(wǎng)絡(luò)解算2.1 流體網(wǎng)絡(luò)解算算法

根據(jù)圖論理論，全船海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖G=(V,E)， 其網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)m=V， 網(wǎng)絡(luò)分支數(shù)n=E， 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖G的基本關(guān)聯(lián)矩陣B′和基本回路矩陣C′的秩分別為rank(B)=m-1和rank(C′)=n-m+1， 根據(jù)流量守恒方程，如果定義系統(tǒng)流體網(wǎng)絡(luò)各分支流量為未知數(shù)，則通過系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖基本關(guān)聯(lián)矩陣可以構(gòu)造出m-1個(gè)線性無關(guān)的n元一次方程組，同理，根據(jù)能量守恒方程，確定系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)各分支流阻值后，利用系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖基本回路矩陣可以構(gòu)造出n-m+1個(gè)線性無關(guān)的n元二次非線性方程組，于是聯(lián)立流量守恒和能量守恒方程可得到(m-1)+(n-m+1)=n個(gè)n元線性無關(guān)的方程組：

(2)

式中：bij和cij分別為全船海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)圖G的基本關(guān)聯(lián)矩陣Bk和基本回路矩陣Ck的元素；qj為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)分支流量；fi為回路阻力平衡方程；f(ri,qj,Re)為回路各分支動(dòng)態(tài)阻力矩陣。

(3)

(4)

忽略2階以上無窮小項(xiàng)，將式(3)寫成矩陣形式，得：

(5)

由式(5)可得其流量修正矩陣為：

(6)

采用第k次迭代后余支流量修正矩陣和第k次迭代后回路阻力函數(shù)矩陣的行和范數(shù)作為迭代誤差的判別條件：

(7)

2.2 變流阻系數(shù)網(wǎng)絡(luò)解算原理

以全船海水冷卻系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)為主要研究對(duì)象，由于其系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)流體流動(dòng)狀態(tài)較復(fù)雜，不同工況下，層流、紊流和過渡流都有可能同時(shí)存在。因此，從提高系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算精度出發(fā)，本文提出采用變流阻系數(shù)迭代法，在計(jì)算過程中動(dòng)態(tài)更新系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)各分支管路中雷諾數(shù)的計(jì)算。

沿程水頭損失計(jì)算公式為[16]：

(8)

確定沿程水頭損失，最重要是要確定沿程阻力系數(shù)。沿程阻力系數(shù)λ=f(Re,e/d)， 是雷諾數(shù)Re與相對(duì)粗糙度e/d的函數(shù)。

當(dāng)雷諾數(shù)Re<2 300時(shí)：

(9)

當(dāng)4 000

(10)

在4 000

(11)

當(dāng)處于完全粗糙管區(qū)時(shí)：

(12)

當(dāng)處于紊流過渡區(qū)時(shí)：

(13)

式(13)是隱式公式，不便于計(jì)算，可由下式近似替代：

(14)

3 網(wǎng)絡(luò)解算結(jié)果分析

某船舶海水冷卻系統(tǒng)工況1為雙泵雙支路開工況，即同時(shí)啟動(dòng)1#和2#海水泵，且同時(shí)開啟1#和2#海水用戶。在解算過程中，將海水泵和海水用戶支路流量初始化為30 t/h,按照網(wǎng)絡(luò)解算方法，系統(tǒng)雙泵雙支路開工況下1#和2#海水用戶支路流量解算結(jié)果如圖3所示。

圖3 工況1網(wǎng)絡(luò)流量解算結(jié)果Fig.3 Results of the network in the first workingcondition

從圖4中可以看出，在系統(tǒng)雙泵雙支路工況系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算中，1#用戶支路流量解算經(jīng)過34次迭代后，余支修正矩陣和回路阻力函數(shù)矩陣行和范數(shù)小于10-5，收斂值為42.43 t/h；2#用戶支路流量經(jīng)過迭代后收斂值為22.54 t/h。雖然系統(tǒng)分支初始化流量與收斂值相差較大，但是迭代過程中迭代值迅速接近收斂值，并很快達(dá)到解算收斂條件，從而說明系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)迭代算法穩(wěn)定性和收斂性較好。

某船舶海水冷卻系統(tǒng)工況2為單泵雙支路開工況，即啟動(dòng)1#海水泵，開啟1#和2#海水用戶。在解算過程中，將海水泵和1#、2#海水用戶支路流量分別初始化為30 t/h，15 t/h和15 t/h,單泵雙支路開工況下1#和2#海水用戶流量解算結(jié)果如圖4所示。

圖4 工況2網(wǎng)絡(luò)流量分配解算Fig.4 Results of the network in the secondworkingcondition

當(dāng)僅啟動(dòng)1#泵，開啟1#和2#海水用戶時(shí)，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算經(jīng)過13次迭代后收斂，1#、2#用戶支路流量值分別收斂為27.72 t/h和14.75 t/h,此時(shí)1#海水泵的流量為42.47 t/h。

某船舶海水冷卻系統(tǒng)工況3也為單泵雙支路開工況，即啟動(dòng)2#海水泵，開啟1#和2#海水用戶。在解算過程中將海水泵和1#、2#海水用戶支路流量分別初始化為30 t/h，15 t/h和15 t/h,單泵雙支路開工況下1#和2#海水用戶支路流量解算結(jié)果如圖5所示。

圖5 工況3網(wǎng)絡(luò)流量分配解算Fig.5 Results of the network in the thirdworkingcondition

當(dāng)僅啟動(dòng)2#泵，開啟1#和2#海水用戶時(shí)，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算經(jīng)過13次迭代后收斂，1#、2#用戶支路流量值分別收斂為26.62 t/h和14.65 t/h，此時(shí)2#泵流量為41.37 t/h。

4 試驗(yàn)分析

4.1 試驗(yàn)原理

船舶海水冷卻管網(wǎng)試驗(yàn)系統(tǒng)主要測(cè)試流體網(wǎng)絡(luò)各用戶實(shí)際用水量。試驗(yàn)系統(tǒng)采用2臺(tái)額定流量為25 t/h的海水泵，數(shù)據(jù)采集卡選用PCI-1710 HG，渦輪流量傳感器精度為0.2 FS，量程為：4～100 t/h，耐壓6.3 MPa，輸出電流范圍：4～20 mA，24 V直流供電，壓力傳感器精度為0.2 FS，量程為：0～0.6 MPa，輸出電流范圍：4～20 mA，24 V直流供電。

圖6 試驗(yàn)系統(tǒng)原理圖Fig.6 Schematic view of the test

4.2 試驗(yàn)結(jié)果分析

通過對(duì)該系統(tǒng)各支路流量測(cè)試結(jié)果和系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)各支路流量解算結(jié)果的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，實(shí)測(cè)結(jié)果與解算值的最大偏差為2.45%，最小偏差達(dá)0.07%。試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了船舶海水冷卻系統(tǒng)“變流阻系數(shù)”網(wǎng)絡(luò)解算的精準(zhǔn)性。

表2 工況1網(wǎng)絡(luò)解算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

表3 工況2網(wǎng)絡(luò)解算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

表4 工況3網(wǎng)絡(luò)解算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

5 結(jié) 語

1)將圖論理論應(yīng)用于船舶海水冷卻管網(wǎng)的計(jì)算，引入虛擬分支后，可將有源有匯網(wǎng)絡(luò)化為無源無匯網(wǎng)絡(luò)，使海水冷卻網(wǎng)絡(luò)只包含流體管路的連接拓?fù)潢P(guān)系，以便利用矩陣形式將其物理屬性方便地表達(dá)，大大降低了求解難度。

2)本文提出的流體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算“變流阻系數(shù)”迭代方法，在迭代過程中不斷修正流量對(duì)系統(tǒng)阻力的影響，經(jīng)過有限次迭代后計(jì)算結(jié)果可以迅速收斂，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)解算誤差均在3%以內(nèi)。

3)通過試驗(yàn)測(cè)試與網(wǎng)絡(luò)解算結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，二者具有較好的一致性，驗(yàn)證了“變流阻系數(shù)”網(wǎng)絡(luò)解算算法的有效性和可行性。

[1] VELITCHKO T G.Alcocer-Yamanaka,Victor H.;Bourguett Ortíz,Víctor.Graph theorybased algorithms for water distribution network sectorization projects.8th Annual WaterDistribution Systems Analysis Symposium 2006,August 27,172.

[2] JOCHEN D.Efficient supply network management based on linear graph theory.8th Annual Water Distribution Systems Analysis Symposium 2006.2007,63.

[3] MOHAN K S,SHANKAR N,MURTY B S.State estimation in water distribution networks using graph-theoretic reduction strategy.Journal of Water Resources Planning and Management[J].2008,134(5):395-403.

[4] SUI Jin-xue,HU Yun′an,LI Yang,ZHEN Hua.A hemod-ynamics minimal model for the cerebral circulation of willis based on graph theory.2008 2nd International Conference on Bioinformatics and Biomedical Engineering (ICBBE′08), 2008:1796-1799.

[5] Milos,T.Dobanda˘ E.;Manea,A.;Badarau, R.; Stroit,a˘,D.Computational graph theory for find out optimal routes of pipeline supply[C].IEEE 8th International Conference on Computational Cybernetics and 9th International Conference on Technical Informatics.(ICCC-CONTI 2010).2010：577-580.

[6] ARMANDO D N.MICHELE D N.A heuristic design su-pport methodology based on graph theory for district metering of water supply networks[J].Engineering Opti-mization.2011,43(2):193-211.

[7] Shen,JIA Ren-jie,LIANG Qing-gang,ZHANG Yan-yan,Jing.Identify the bottleneck of water network by using graph theory[J].Advanced Materials Research.2012,433-440,4794-4797.

[8] 肖益民,付祥釗.用MTLAB 分析流體輸配管網(wǎng)的初步研究[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002,25(8):14-17.

[9] 李祥立,王曉霞,周志剛,等.枝狀供熱管網(wǎng)水力工況模擬分析[J].煤氣與熱力，2004,24(10):554-557.

[10] 曹慧哲，賀志宏，朱蒙生，等.基于圖論的多定壓節(jié)點(diǎn)管網(wǎng)水力計(jì)算方法的研究[J].給水排水,2008,34(1):105-108.

[11] 曹慧哲 ,賀志宏,何鐘怡.基于圖論的環(huán)狀管網(wǎng)慢變流的計(jì)算研究[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2007,39(10):1559-1563.

[12] 楊開林.渠網(wǎng)非恒定流圖論原理[J].水利學(xué)報(bào),2009,40(11):1281-1289.

[13] 趙進(jìn)勇，董哲仁，翟正麗，等.基于圖論的河道-灘區(qū)系統(tǒng)連通性評(píng)價(jià)方法[J].水利學(xué)報(bào),2011,42(5):537-543.

[14] 史成軍，郭晨，沈智鵬.船舶中央冷卻系統(tǒng)管網(wǎng)的建模與仿真方法[C].第五屆全國(guó)仿真器學(xué)術(shù)會(huì),2004:277-282.

[15] 賈志強(qiáng)，董葳.船舶中央冷卻系統(tǒng)水力管網(wǎng)動(dòng)態(tài)模擬[J].船舶工程,2012,34(3)：43-46.

[16] 嚴(yán)煦世，劉遂慶.給水排水管網(wǎng)系統(tǒng)(第二版)[M].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社,2008.