☉江蘇省南師大附中樹人學校 王 霞

感知異樣情境 強化建模體驗

☉江蘇省南師大附中樹人學校 王 霞

數(shù)學模型是學生從數(shù)學角度認知世界的一個非常重要的工具.為了讓學生更好地利用數(shù)學模型認知世界，在《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》頒布之后，數(shù)學建模教學得到了很多一線數(shù)學老師的重視.他們以緊貼學生認知的問題為“發(fā)力點”，把數(shù)學模型的建構意識的培養(yǎng)落實在平時教學之中，通過對教學內(nèi)容的處理和再創(chuàng)造，剖析復雜的數(shù)學情境，強化學生對數(shù)學模型的體驗，力求“在學中用，在用中學”.本文將列舉幾種常見的建構數(shù)學模型的問題情境，并提出一些教學建議，希望對您有幫助.

一、透視日常生活，感受建模的意義

在教材編寫和試題命制中，很多老師選擇了與學生日常生活息息相關的情境作為數(shù)學問題的背景，形成了很多生活氣息濃郁的問題.如商品銷售利潤問題、產(chǎn)品加工方案選擇問題、家庭用電量問題、汽車的合理剎車距離問題、貨物配送方案優(yōu)選問題等.這些日常生活中的數(shù)學問題，一般都可以應用常見數(shù)學模型加以解決.因此，當我們遇到這些問題時，應該讓學生經(jīng)歷完整的問題解決過程，感知數(shù)學模型的實際意義.

例1 某公司營銷A、B兩種產(chǎn)品.根據(jù)市場調研，發(fā)現(xiàn)如下信息：

信息1：銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關系y=ax2+bx.當x=1時，y=1.4；當 x=3 時，y=3.6.

信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關系y=0.3x.

該公司擬購進A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請設計一個營銷方案，使銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大.

分析：本題創(chuàng)設了較為豐富的問題情境，通過兩種不同商品的銷售將二次函數(shù)與一次函數(shù)兩種數(shù)學模型滲入其中.要想解答本題，除了要用到上述模型，還要用到方程組模型和二次函數(shù)的圖像這一模型.在教材和各類考試中，這種基于日常生活之上，以學生熟知的問題作為數(shù)學模型建構情境的數(shù)學問題很多.在日常教學中，我們應讓學生充分感知題目的情境，指導他們從情境中抽象出數(shù)學模型化解數(shù)學問題.這樣的過程體驗，非常利于這類問題的教學發(fā)揮，對學生“建構數(shù)學模型有利于突破現(xiàn)實生活情境”的體驗和“應用意識”的自我覺醒有很好地推動作用.

解析：根據(jù)題意可求得y=-0.1x2+1.5x.設購進A產(chǎn)品x噸，則購進B產(chǎn)品10-x噸.則利潤之和W=（-0.1x2+1.5x）+0.3（10-x）=-0.1x2+1.2x+3=0.1（x-6）2+6.6.所以，A、B兩種產(chǎn)品的進貨量分別為6噸和4噸時，獲得的銷售利潤之和最大.

點評：綜合上面的分析與解析過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，適時將日常生活中的數(shù)學問題引入學生的視野，以此問題解決的過程讓學生感知數(shù)學模型的意義，這加深了學生對初中階段數(shù)學基礎知識的認知和應用，無疑會增強他們應用數(shù)學模型的信心，深入地感受到數(shù)學建模的實際意義，獲得問題解決的必要知識和應用技能.

二、捕捉考試熱點，感知建模方法

考試是教師教與學生學的指揮棒，有什么樣的考試就有什么樣的教學.因此，我們應緊扣考試熱點，將建模教學滲透在考試熱點之中.通過常見考試熱點的呈現(xiàn)，激發(fā)出他們探究求解的欲望.學生在突破問題情境“干擾”的過程中，自然生成建構數(shù)學模型求解的常規(guī)路徑，充分感知常規(guī)數(shù)學模型建構的路徑與方法.

例2（2013年重慶卷第23題改編）在一項市政工程建設中，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍.

（1）求甲隊單獨完成這項工程需幾個月.

（2）若甲隊每月施工費為100萬元，乙隊每月施工費為150萬元，現(xiàn)決定甲、乙兩隊分工合作完成這項工程，且甲隊施工時間是乙隊的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月，才能使工程款不超過1500萬元？（施工時間按月取整數(shù)）

分析：本題涉及的數(shù)學模型主要是一元二次方程和一元一次不等式.本題實際上是一道工程問題，這是目前教材和考試中出現(xiàn)頻率很高的應用題，在中考中是考試的熱點.通過初中階段的多輪認知，學生對工程問題的問題情境和解決方法都很熟悉.在教學中，我們要充分抓住這個熱點背后的數(shù)學模型，不僅可以向學生介紹數(shù)學建模的方法，也讓學生體會了數(shù)學模型的應用功能.

解析：（1）設甲隊單獨做需要x個月完成.

x1=2不合題意，應舍去.

所以甲隊單獨做需要15個月完成.

（2）設甲隊做了y個月.

因為y為整數(shù)，所以y最大可以取8.

所以完成這項工程，甲隊最多施工8個月.

點評：在眾多初中數(shù)學模型中，方程（組）和不等式是應用最廣泛的模型.在中考中，這兩個模型自然成為了命題者最為關注的考點，很多試題都將這兩個模型作為主要考查任務，上面這道例題就是一個很好的例子.中考為日常教學指引了方向，突出了這類數(shù)學模型在教學中的重要地位.一線教師應高度重視?？紨?shù)學模型的教學，以熱點考題教學強化基本模型的滲透，讓學生在熱點問題的解答中感知模型、應用模型，形成建構模型的一般性方法.

三、關注實踐情境，激發(fā)建模意識

成功的數(shù)學建模，一般會經(jīng)歷“觀察—猜想—論證”的過程.在數(shù)學建模教學中，我們應關注教學的實踐性.數(shù)學實踐活動有豐富的素材，可以是具體的可以操作的，也可以是借助情境生成的“理論層面”上的實踐，比如“統(tǒng)計與概率”中的規(guī)則修訂問題等.在此類實踐活動中，學生應在經(jīng)歷了豐富的探究過程后，憑借固有的解題經(jīng)驗，抽取問題情境中的數(shù)學模型.以“實踐”為背景的數(shù)學問題解答過程，有效激發(fā)了學生的建模意識，促進他們建模求解思維“慣性”的形成.

例3 經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉或向右轉.如果這三種情況是等可能的，當三輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，

（1）求三輛車全部同向而行的概率.

（2）交管部門在汽車行駛高峰時段對車流量作了統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)汽車在此十字路口向右轉的頻率為，向左轉和直行的頻率均為.目前在此路口，汽車左轉、右轉、直行的綠燈亮的時間分別為30秒，在綠燈亮的總時間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請你用統(tǒng)計的知識對此路口綠燈亮的時間做出合理的調整.

分析：本題是一道概率題，包含了求概率和建構在概率之上的規(guī)則修訂問題.概率的計算，一般用畫樹狀圖或列表的方法；而由概率問題引申出的“規(guī)則修訂”問題，則需借助概率模型從數(shù)學的角度給出分析，以形成符合題目要求的規(guī)則.本題的解答與教學，應遵循常規(guī)的思路，重在強化一般性解題思路的建構與教學，突出“樹狀圖”模型的充分感知和概率模型的深度應用.

解析：（1）分別用A、B、C表示向左轉、直行、向右轉，畫出樹狀圖（如圖1）.

結合樹狀圖，可知在27種等可能的結果中，符合題意的有3種.

點評：在概率計算過程中，必要的列表或畫樹狀圖是不可缺少的，因此，列出的表格或畫出的樹狀圖也就成為了化解與概率相關的數(shù)學問題的基本模型.本題是“三因素事件”，畫出正確的樹狀圖是問題解決的關鍵.而這道試題的第二問，是建構在概率之下的規(guī)則修訂問題，這是初中數(shù)學中的理論層面的實踐活動，將數(shù)學知識生活化.學生探究求解中體驗成功的快樂，激發(fā)了他們主動建立數(shù)學模型求解的意識，實現(xiàn)了常用數(shù)學模型在解題過程中的“正向”強化.

四、強化變式訓練，促進模型入網(wǎng)

“捕捉有用信息，建構有效模型”是學生解題能力的重要組成部分.這一能力的形成不可能一蹴而就，是一個“漸進”的過程.這對課堂教學提出了很高的要求，要求教師應重視例題的設計，要努力通過解答并列或遞進的題組，以“一題多變”來挖掘例、習題在建模教學中的價值.一些典型的變式題的解答，會讓學生強化對已有的或者正在構建的數(shù)學模型的認知，有效促進數(shù)學模型的網(wǎng)絡化建構.編制變式題的方法很多，基于本文所述的教學需求，無論哪種形式編制出的題組，都應能有效

促進數(shù)學模型的建構與“入網(wǎng)”.

例4 如圖2，△ABC為正三角形，點M是BC上一點，點N是AC上一點，AM、BN相交于點Q，BM=NC，猜想∠BQM等于多少度，并證明你的猜想.

解析：由△ABC為正三角形，可得∠ABC=∠C=60°，AB=BC.又因為BM=CN，所以△ABM≌△BCN.所以∠BAM=∠CBN，所以∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.

變式：如圖3，將例4中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正六邊形ABCDEF、正n邊形ABCD…X，“點N是AC上一點”改為“點N是CD上一點”，其余條件不變，分別推斷出∠BQM等于多少度，將結論填入下表：

?

圖3

分析：和例4一樣，這道變式題也是重點考查全等三角形的性質.值得注意的是，變式題中蘊含著例4中的基本模型，在圖3中的四幅圖形中，△ABM和△BCN仍然和圖2中一樣是全等的.解決例4時，應讓學生在解答后從圖2中梳理出“基本圖形”，形成可供后續(xù)應用的“全等模型”.在圖3中，例4教學形成的“全等模型”將會得到進一步應用，這無疑會讓基于圖2中的數(shù)學模型得到深度抽象，促進數(shù)學模型的網(wǎng)絡化建構.

點評：做完例4和變式題后，進一步引導學生概括出這幾個問題的同質模型，以強化本題中的“全等三角形”這一解題模型.這樣通過一個題組的強化練習，既解決了一類問題，又將題組中的共性的數(shù)學模型抽取出來，為今后的解題提供了一個可以直接應用的工具.據(jù)此，在數(shù)學課堂教學中，我們應緊扣教學目標，用好變式題組，通過并列或遞進的變式訓練，激活學生的思維，讓學生在自主探索求解中，不斷嘗試構建數(shù)學模型，逐步提高建模求解的能力.

建模教學，是一個循序漸進的過程，是“慢”的教學.在日常教學中，我們應強化對具體情境的剖析，讓學生充分感知不同情境下的同一數(shù)學模型和同一情境下的不同數(shù)學模型.讓他們經(jīng)歷豐富的探究過程，形成對數(shù)學模型有用、可用的主體體驗，逐步掌握“突破復雜問題情境，建構有效數(shù)學模型”的方法，形成多種不同的數(shù)學模型并建構出有效的數(shù)學模型網(wǎng)絡，不斷提高建構模型和應用模型的能力.以上所述僅是筆者在建模教學中的一些不成熟的做法，此中的謬誤之處，敬請各位同行專家批評指正！

1.印冬建.削枝強干，挖掘例題的教學功能——一道復習課用題的教學與分析［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2013（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.印冬建.突出核心主線 追求有效教學——談初中數(shù)學有效備課的做法與思考［J］.中學數(shù)學（下），2014（1）.

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