☉浙江省象山縣象山港書院 王 偉

☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

寓“過程教育”于“二元一次方程”教學探索及點評

☉浙江省象山縣象山港書院 王 偉

☉浙江省象山縣教育局教科研中心 鄔云德

一、引言

“過程教育”是指旨在滿足學生全面、和諧發(fā)展需要的關(guān)注數(shù)學結(jié)果形成與應用的過程和蘊含的數(shù)學思想方法與思維方法的教育.“二元一次方程”是浙教版義務教育課程標準教科書數(shù)學七年級下冊第2章第1節(jié)的課題.盡管“二元一次方程”的有關(guān)內(nèi)容教師比較熟悉，但從“過程教育”要求來看，大多數(shù)教師對“二元一次方程”的教學存在偏差.寓“過程教育”于“二元一次方程”的教學怎樣操作？筆者采用研究性變革實踐的方式進行了探索.初步的理論求證與實踐驗證表明，探索中形成的操作方法符合“過程教育”的精神實質(zhì)并具有普遍適用性.本文簡錄其教學過程并進行點評，供讀者參考、研究.

二、教學過程簡錄與點評

環(huán)節(jié)1：參與產(chǎn)生并感悟二元一次方程的活動——明確研究對象

首先，教師指出：我們知道，現(xiàn)實生活中許多數(shù)量相等關(guān)系的問題可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問題.一元一次方程夠用了嗎？請大家根據(jù)下列問題中的條件分別列出方程.

（1）小杰買了單價分別為2元和1.2元的賀卡若干張，花了10.8元，問：這兩種賀卡各買了多少張？

若設單價2元的賀卡買了x張，單價1.2元的賀卡買了y張，則可列出方程：_________.

（2）小紅到郵局寄掛號信，需要郵資3元8角.小紅有面額為6角和8角的郵票若干張，問：這兩種面額的郵票各需多少張？

若設需要面額為6角的郵票x張，面額為8角的郵票y張，則可列出方程：_________.

（3）在高速公路上，一輛轎車行駛2小時的路程比一輛卡車行駛3小時的路程還多20千米，問：轎車和卡車的速度分別是多少？

若設轎車的速度為a千米/時，卡車的速度為b千米/時，則可列出方程：_________.

其次，教師組織學生交互反饋，并在反饋交流的基礎上引導學生反思：①上述列出的方程與一元一次方程有何差異？②你對這類新形式的方程有何感觸？

最后，教師進行總結(jié)性講解：上述事例說明現(xiàn)實生活中也有許多數(shù)量相等關(guān)系的問題其數(shù)學化結(jié)果不是一元一次方程，而是上述形式的方程.既然這種形式的方程也是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量相等關(guān)系的數(shù)學模型，就有研究這種新形式方程的特征及其解法的必要.這節(jié)課的研究對象就是這種新形式的方程.（揭示課題）

點評：導入性教學旨在建立新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學生的學習興趣.這里借助學生熟悉的生活實例和轉(zhuǎn)化思想來產(chǎn)生二元一次方程，并通過比較二元一次方程與一元一次方程的差異及交流對二元一次方程的感觸來感悟二元一次方程的現(xiàn)實存在性和研究二元一次方程的必要性.這體現(xiàn)了“過程教育”，能滿足學生發(fā)展列方程技能和激發(fā)學習興趣的需要.

環(huán)節(jié)2：參與定義二元一次方程的活動——形成二元一次方程的概念

首先，教師要求學生觀察并歸納所列方程“2x+1.2y= 10.8，0.6x+0.8y=3.8，2a=3b+20”的共同特點并進行合作交流.（提示：可從未知數(shù)的個數(shù)、表示未知數(shù)的字母的次數(shù)、代數(shù)式的類型、整理后方程的形式等多個視角進行觀察）

生1：它們都含有兩個未知數(shù).

師：對！你是從未知數(shù)的個數(shù)角度來歸納.

生2：它們含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1次.

師：對！你是從未知數(shù)的次數(shù)角度來歸納.

生3：等號左右兩邊都是整式.

師：不錯！你是從代數(shù)式的類型角度來歸納.

生4：它們都是等式.

師：是的！你是從等號左右兩邊數(shù)量關(guān)系角度來歸納.

生5：它們都不是算式.

師：好！你借用算式的概念來歸納.

生6：它們都可以寫成：ax+by=c（a、b、c是已知數(shù)，且a≠0，b≠0）的形式.

師：好極了！你有較強的符號表示意識.

最后，教師引導學生反思：①獲得二元一次方程的概念經(jīng)歷了哪幾個步驟？其蘊含的數(shù)學思想有哪些？②你認為還要研究什么？教師在傾聽學生觀點的基礎上進行總結(jié)性講解.獲得二元一次方程的概念的步驟是：從實際問題情境中抽象出若干特定的二元一次方程→觀察并歸納特定二元一次方程的共同特征→用文字語言定義和用符號語言表示.其蘊含的數(shù)學思想有：轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、符號表示思想等.像研究一元一次方程一樣，我們還應該研究其解法和在實際中的應用.

點評：概念教學不但要關(guān)注概念本身，也要關(guān)注概念的形成過程和蘊含的數(shù)學思想.這里把獲得二元一次方程的概念的步驟和蘊含的數(shù)學思想列入了課程內(nèi)容.教學中采用了價值引導下的先“放”后“收”的方法.這樣學生經(jīng)歷了有價值的認知過程，特別是歸納二元一次方程的特點和概念形成后的反思，體現(xiàn)了“過程教育”.目前概念教學普遍存在概念形成過程短暫并且反思過程缺失的現(xiàn)象，導致不能落實“過程性”目標.

環(huán)節(jié)3：探索解有代表性的二元一次方程——生成解二元一次方程的方法

首先，教師出示問題：怎樣解二元一次方程3x+2y=10？

其次，引導學生經(jīng)歷下列過程.

（1）方程3x+2y=10與一元一次方程有何區(qū)別與聯(lián)系？

（2）若把方程3x+2y=10中的一個未知數(shù)看成是字母系數(shù)，則方程3x+2y=10是不是一元一次方程？

（3）若把方程3x+2y=10中的x看成字母系數(shù)，則怎樣用含x的代數(shù)式來表示y？

（4）當x=-2、0、3時，對應的y值是什么？寫出方程3x+ 2y=10的三個解.

再次，教師引導學生反思.

（1）二元一次方程3x+2y=10有多少個解？

（2）用含y的代數(shù)式來表示x，可以嗎？

（3）解二元一次方程3x+2y=10經(jīng)歷了哪幾個步驟？

（4）一般地，怎樣解二元一次方程ax+by=c（a≠0，b≠0）？

（5）解二元一次方程3x+2y=10的基本思想是什么？

最后，教師在傾聽學生觀點的基礎上總結(jié)解二元一次方程的基本思想與方法.（1）解二元一次方程的基本思想是化歸（把一個未知數(shù)看成是字母系數(shù)，化二元一次方程為一元一次方程）.（2）解二元一次方程的方法是：①用含一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示另一個未知數(shù)；②給定一個未知數(shù)的值，求對應的另一個未知數(shù)的值；③寫出所有二元一次方程的解.一般地，二元一次方程有無數(shù)個解.

點評：方法教學不但要關(guān)注解決具體問題的方法，也要關(guān)注解決具體問題的方法的抽象概括的過程以實現(xiàn)課程目標.這里通過解具體二元一次方程來認識解抽象二元一次方程的方法.教學中采用了教師價值引導與學生自主建構(gòu)相結(jié)合的先“放”后“收”的方法.這樣學生經(jīng)歷了解二元一次方程的實質(zhì)性思維過程，特別是化歸的過程和問題解決后的反思過程，體現(xiàn)了“過程教育”.目前方法教學也存在探索過程短暫并且反思過程缺失的現(xiàn)象，導致不能落實“過程性”目標，并且部分教師不明確教學內(nèi)容與課程內(nèi)容的區(qū)別（解二元一次方程的方法是課程內(nèi)容，解具體二元一次方程是教學內(nèi)容）.

環(huán)節(jié)4：參與嘗試有關(guān)知識應用的活動——合作解答有代表性的問題

題1：根據(jù)題意列出方程.

①買5 kg蘋果和3 kg梨共需23.6元，分別求蘋果和梨的單價.若設蘋果的單價為每千克x元，梨的單價為每千克y元，則可列出方程：_________.

②七年級一班男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)大7，求男生、女生的人數(shù).若設男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為y，則可列出方程：_________.

先要求學生獨立學習，再組織學生交互反饋，然后教師追問：列方程的關(guān)鍵是什么？

題2：下列各式是二元一次方程的是（ ）.

先要求學生獨立學習，再請個別學生回答，然后教師追問：判斷的依據(jù)是什么？

題3：下列各組數(shù)不是方程2a=3b+20的解的是（ ）.

先要求學生獨立學習，再組織學生交互反饋，然后教師追問：判斷的依據(jù)是什么？

題4：已知二元一次方程2x+3y=2.

（1）用含y的代數(shù)式表示x.

（2）根據(jù)給出的y值，求出對應的x的值，填入表內(nèi).

y 0 2 -2 2 3 1 ……x

（3）寫出方程的五個解.

先要求學生獨立學習，再請個別學生回答，然后教師再次強調(diào)解二元一次方程的步驟.

題5：為了倡導“節(jié)能環(huán)保，低碳出行”，寧波市政府推行寧波市公共自行車便民服務，首期在海曙區(qū)投放了800輛公共自行車，在人口密集的公共場所網(wǎng)點平均投放25輛，在居民區(qū)網(wǎng)點平均投放20輛.

（1）若設公共場所網(wǎng)點有x個，居民區(qū)網(wǎng)點有y個，則可列出方程：_________.

（2）若用含x的代數(shù)式表示y，則y＝_________.x的取值范圍是什么？

（3）求符合條件的所有x與對應的y值.

教師先引導學生經(jīng)歷解題過程，再總結(jié)用二元一次方程解決實際問題的方法.

點評：例題教學旨在鞏固所學知識和發(fā)展智慧技能.這里選擇五個有代表性的問題來引導學生再認列二元一次方程和二元一次方程的概念及其解法，并把解題的依據(jù)和用二元一次方程解決實際問題的思想方法列入了課程內(nèi)容.教學中采用了有代表性問題引導下的先“放”后“收”的方法.這樣有助于學生理解與練習和諧，特別是教師的追問與解題之后的總結(jié)，體現(xiàn)了“過程教育”.目前例題教學也普遍存在解題之前分析過程短暫和解題之后反思過程缺失的現(xiàn)象，導致不能滿足學生感悟解題的策略、方法和技巧的需要.

環(huán)節(jié)5：參與回顧與思考的活動——合作進行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學生圍繞“問題清單”進行回顧與思考.

（1）什么叫二元一次方程？列二元一次方程的基本步驟是什么？

（2）解二元一次方程的基本思想是什么？解二元一次方程的基本步驟是什么？

（3）用二元一次方程解決實際問題的關(guān)鍵是什么？

其次，教師組織學生進行合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

第三，教師總結(jié)本節(jié)課的研究方法.（1）獲得二元一次方程概念的步驟：①在生活情境中產(chǎn)生若干具體的二元一次方程；②觀察并歸納具體二元一次方程的共同特點；③用文字語言定義和用符號語言表示二元一次方程.（2）解二元一次方程的研究方法：①用化歸思想合作研討具體二元一次方程的解法；②反思解具體二元一次方程的過程，抽象概括出解二元一次方程的方法；③運用“生成的方法”嘗試解有代表性的二元一次方程.

點評：課堂總結(jié)旨在再認研究內(nèi)容和研究方法及進一步感受研究的意義.這里采用“問題清單”引導下的交流合作基礎上的教師總結(jié)的方式——既有知識回顧的作用，也有深化認識的作用；既能增強學生的反思意識，也能發(fā)展學生的語言表達能力.這種價值引導下的先“放”后“收”的課堂總結(jié)方法，如果組織得好，能起到跨越式的作用.

三、總評

之所以這節(jié)課體現(xiàn)了“過程教育”，是因為這節(jié)課的課程內(nèi)容、教學結(jié)構(gòu)和教學操作符合“過程教育”的精神實質(zhì).

1.課程內(nèi)容符合“過程教育”要求

“過程教育”蘊含著：“數(shù)學課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成與應用的過程和蘊含的數(shù)學思想”.按這個觀點確定課程內(nèi)容是落實“過程教育”的前提.“二元一次方程”的課程內(nèi)容體現(xiàn)了這個觀點，其主要內(nèi)容有：從“生活現(xiàn)實”中抽象出二元一次方程的過程和蘊含的列方程步驟與轉(zhuǎn)化思想；二元一次方程的概念（包括名稱、定義、屬性、示例）、二元一次方程的一般形式、二元一次方程解的概念，及獲得二元一次方程的概念的步驟（在“生活現(xiàn)實”中產(chǎn)生二元一次方程→觀察并歸納二元一次方程的特點→用文字語言定義和用符號語言表示）和蘊含的轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、數(shù)學表示思想等；解二元一次方程的方法和蘊含的化歸思想與數(shù)學活動經(jīng)驗.

2.教學結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了“過程教育”思想

“過程教育”暗示著：教學結(jié)構(gòu)應當是邏輯連貫的，并且要符合數(shù)學的發(fā)展規(guī)律、學生學習數(shù)學的認知規(guī)律和教育的規(guī)律.按這個觀點構(gòu)建教學結(jié)構(gòu)是落實“過程教育”的關(guān)鍵.“二元一次方程”的教學結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了這個觀點，其教學結(jié)構(gòu)可用如下框圖表示.

二元一次方程的現(xiàn)實存在性①產(chǎn)生若干特定的二元一次方程二元一次方程的本質(zhì)特征研究二元一次方程的必要性②定義與表示二元一次方程獲得概念的步驟和蘊含的思想解二元一次方程的基本思想③探索解二元一次方程解二元一次方程的基本步驟解題的策略、方法和技巧④合作解答有代表性的問題解決實際問題的關(guān)鍵反思與回顧研究的內(nèi)容⑤合作進行反思與總結(jié)反思與回顧研究的方法

這個“自然、簡單、動態(tài)、和諧”的數(shù)學教育過程，能滿足學生經(jīng)歷完整數(shù)學思考過程的需要，對促進學生認知與情感的變化與發(fā)展有積極的影響.

3.教學操作滿足“過程教育”需要

“過程教育”意味著：教學載體要有助于實現(xiàn)教學目標、要符合“最近發(fā)展區(qū)理論”要求、要符合學生的認知規(guī)律、載體的情境能滿足學生豐富生活常識的需要及背景材料具有教育意義.教學方法不僅包括準確、清晰、富有啟發(fā)性的講解，也包括有助于學生經(jīng)歷實質(zhì)性思維過程的價值引導.按這個觀點選擇教學內(nèi)容和教學方法是落實“過程教育”的基本保障.“二元一次方程”的教學操作體現(xiàn)了這個觀點.例如，二元一次方程概念的教學：先借助學生熟悉的生活實例和轉(zhuǎn)化思想來產(chǎn)生方程；再在觀察并歸納所列方程的共同特征的基礎上對這類方程下定義；然后引導學生對數(shù)學活動過程進行反思以揭示獲得二元一次方程的概念的步驟和蘊含的數(shù)學思想.

總之，過程教育需要“結(jié)果”與“過程”和諧、“主體”與“主導”并重、“自主”與“合作”協(xié)調(diào)、“探究”與“接受”同在.而這節(jié)課的教學操作方法較好地體現(xiàn)了這些辯證關(guān)系，能滿足學生全面、和諧發(fā)展的需要.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.范良火.義務教育課程標準教科書·數(shù)學·七年級·下冊［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.