☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡衛(wèi)兵

“變”中“不變” 感受數(shù)學(xué)之靈韻

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 蔡衛(wèi)兵

習(xí)題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不可缺少的環(huán)節(jié)，是向?qū)W生展示應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的窗口，是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法、傳播解題技巧和技能的途徑.因此數(shù)學(xué)課中習(xí)題教學(xué)應(yīng)該是其中的主旋律，演奏好這條主旋律更需要我們?nèi)リP(guān)注習(xí)題教學(xué)過程的設(shè)計(jì)，俯視問題——用活問題，仰視學(xué)生——以生為本，為學(xué)生搭建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的典型框架，讓學(xué)生主動(dòng)地參與深層次的思維活動(dòng)，形成基本的數(shù)學(xué)觀念，努力構(gòu)建充滿靈動(dòng)、富有韻味的課堂.但實(shí)際教學(xué)中，為了顯示教師的“聰明”而讓學(xué)生覺得解決問題的方法就像從魔術(shù)師的手里突然出現(xiàn)小白兔一樣神奇，忽略了探究過程中的輔助、轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，從而出現(xiàn)“聽而不懂”、“懂而不會(huì)”.所以探究之路上要慢走，等一下學(xué)生，尊重學(xué)生的自我認(rèn)識(shí)，尊重學(xué)生獨(dú)特的感受和經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生獲得知識(shí)和情感的雙重體驗(yàn)，讓學(xué)生收獲研究數(shù)學(xué)問題的思想和方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中享受思維，讓我們的數(shù)學(xué)課堂靈動(dòng)而不失韻味.本文就一道常見習(xí)題的教學(xué)案例及其體會(huì)與大家分享.

一、教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

1.霧里看花——似懂非懂

題目：如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，已知CA=CB，∠ACB=90°，點(diǎn)D為半圓上任意一點(diǎn)（D與C在AB的兩側(cè)），連接AD、BD、CD，請(qǐng)?zhí)骄緼D、 BD、CD三者之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

師：請(qǐng)大家仔細(xì)審題.

學(xué)生審題片刻.

師：通過審題，你能獲得哪些信息？

生：等腰直角△ABC，AB為⊙O的直徑，還有∠ADC=∠BDC=45°.

師：還有補(bǔ)充嗎？

生：點(diǎn)D為半圓上任意一點(diǎn).

師：根據(jù)這一信息，你如何探尋AD、BD、CD三者之間可能存在的關(guān)系呢？

生：割補(bǔ)的數(shù)學(xué)方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

師：對(duì)于線段之間的和差關(guān)系問題，常?？捎酶钛a(bǔ)轉(zhuǎn)化的思想方法，我們還可以如何添輔助線呢？

生：思路6：圖還是上面幾種，比如圖2，延長(zhǎng)DA至點(diǎn)E，使得AE=BD，連接CE.

在△CAE和△CDB中，CA=CB，∠CAE=∠CBD，AE=BD，則△CAE≌△CBD.

兩式相加，得AD·BC+BD·AC=AB·CD.

師：真的非常厲害，你們又是怎么想出來(lái)的呢？這里的學(xué)習(xí)又體現(xiàn)了什么思想方法呢？

生：其實(shí)跟原題的解題思路差不多，也是在AD、BD或CD邊上割補(bǔ)，原題抓住45°角構(gòu)造等腰直角三角形，而構(gòu)造的等腰直角三角形就是構(gòu)造與△ABC相似的三角形，在這里的幾種方法也都是構(gòu)造與△ABC相似的三角形，只不過用了類比的數(shù)學(xué)方法和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

師：思路很清楚，想法很深刻，總結(jié)很精彩，活學(xué)活用，那么能否用文字語(yǔ)言來(lái)歸納一下這個(gè)神奇的關(guān)系呢？

生：圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的積等于兩組對(duì)邊之積的和.

師：這是一個(gè)著名的幾何定理——托勒密定理，非常佩服，其實(shí)同學(xué)們善于思考，勤于鉆研，也能像數(shù)學(xué)家一樣發(fā)現(xiàn)以你的名字命名的數(shù)學(xué)定理.

二、啟發(fā)與反思

1.重視學(xué)生的體驗(yàn)，使課堂靈動(dòng)而不失韻味

幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步積累.習(xí)題教學(xué)是知識(shí)熟練運(yùn)用能力的積累，是交匯型知識(shí)綜合運(yùn)用能力的積累，是思想方法滲透經(jīng)驗(yàn)的積累，是解決相似問題經(jīng)驗(yàn)的積累.本案例中，從一道常見習(xí)題的解法探究到托勒密定理的驚奇發(fā)現(xiàn)與多種證法，確是“千淘萬(wàn)漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金”.無(wú)論點(diǎn)D位置的變化中AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的不變，還是截長(zhǎng)補(bǔ)短的變化中數(shù)學(xué)思想方法的不變，無(wú)論已知條件的變化中探索AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的不變，還是一般情形的圖形變化中構(gòu)造與△ABC相似的三角形的方法的不變，學(xué)生都有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程.這樣不僅能積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，而且可獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為能力，最終獲得具有個(gè)性特征的感性認(rèn)識(shí)、情感體驗(yàn)、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣的課堂才是靈動(dòng)而不失韻味的.

2.關(guān)注理性思維，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的靈韻之筆

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)、思維的體操，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須要通過思維去把握，去理解數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì).一題多解培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，一題多變培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，理性思維的形成是以數(shù)學(xué)題目為載體，在題目的解決過程中形成的.本案例中，由點(diǎn)D為半圓上任意一點(diǎn)的信息的獲取，自然想到特殊值法尋找AD、BD、CD三者之間的關(guān)系，由45°角和倍的特殊關(guān)系，自然想到等腰直角三角形的構(gòu)造，線段之間的和差關(guān)系問題，常?？紤]用割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的思想方法解決，從特殊條件到一般情形，自然想到類比構(gòu)造與△ABC相似的三角形，呈現(xiàn)過程符合學(xué)生心理的認(rèn)知規(guī)律，是合乎邏輯的思維方法，學(xué)生始終主動(dòng)地參與深層次的思維活動(dòng)以及數(shù)學(xué)地、合乎邏輯地、有條理地思考問題與解決問題的習(xí)慣與能力，它有明確的思維方向，有充分的思維依據(jù)，它既有發(fā)散，又有收縮，必將培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)思維，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的連續(xù)性、遞進(jìn)性、發(fā)展性.在教學(xué)中，教師的講解必須要貼近學(xué)生思維的發(fā)展水平，要遵循學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律，可使學(xué)生的認(rèn)知思維過程自然流暢、水到渠成，從而能提高學(xué)生的思維能力，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu).從AD、BD、CD三者之間的關(guān)系的探究到AD·BC+BD·AC=AB·CD六邊之間有著神奇而簡(jiǎn)約的關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，“形變而神不變”，經(jīng)歷美妙的數(shù)學(xué)思維的歷程，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)之奇與數(shù)學(xué)之美，充分品味探究的魅力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，這是數(shù)學(xué)課堂獨(dú)特的“靈韻”之美.

1.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.張建良.從“看出”向“證出”提升——一道復(fù)習(xí)題教學(xué)的啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（10）.

3.成亮.“動(dòng)中求定”感受數(shù)學(xué)之靈韻［J］.上海教育科研，2013（1）.

4.孫麟.淺談初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累的探索［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（10）.WG

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