☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 羅 燦

重視直觀，學(xué)會抽象
——以一道三角函數(shù)對稱性習(xí)題拓展學(xué)習(xí)設(shè)計為例

☉湖南省株洲縣第五中學(xué) 羅 燦

一、問題提出

二、對一道三角函數(shù)對稱性習(xí)題的拓展學(xué)習(xí)設(shè)計

1.習(xí)題呈現(xiàn)與分析

教材必修4第46頁習(xí)題1.4A組第11題：

容易知道，正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，對稱中心的坐標(biāo)是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？

你能用已經(jīng)學(xué)過的正弦函數(shù)性質(zhì)解釋上述現(xiàn)象嗎？

對余弦函數(shù)和正切函數(shù)，討論上述同樣的問題.

分析：該題的主要意圖，是引導(dǎo)學(xué)生對三角函數(shù)的對稱性有一個完整的認(rèn)識.教師用書說明“利用三角函數(shù)的圖象和周期性研究其對稱性.”要順利實現(xiàn)該習(xí)題討論，理順下列思考：

（2）如何多角度發(fā)現(xiàn)、描述對稱性？譬如，單位圓也可提供“形”的支持；誘導(dǎo)公式提供“數(shù)”的支持；當(dāng)然，周期性、奇偶性既可提供思考的類別參考，也與對稱性本身存在內(nèi)在的聯(lián)系.

（3）將得到的三角函數(shù)的對稱性進(jìn)行運用上的遷移.直接的運用是正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的對稱性.

（4）學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)對稱性，即用符號語言表述軸對稱和中心對稱.嘗試用對稱的符號語言證明對稱問題、對稱產(chǎn)生周期的推導(dǎo).

（5）如何保證教學(xué)組織的有序、有效？問題串、學(xué)生數(shù)學(xué)活動、教師示范等有機組合需要精心設(shè)計.

2.教學(xué)設(shè)計

活動1：探討正弦函數(shù)y=sinx圖象的對稱中心.

問題串：

（1）作出正弦函數(shù)y=sinx的圖象，除了原點外，你還能找到其他對稱中心嗎？它們之間有什么聯(lián)系？能統(tǒng)一表示嗎？

設(shè)計意圖：借助圖象，觀察正弦曲線對稱中心的不唯一性、幾何特征及代數(shù)表示.

（2）將直角坐標(biāo)系“抽掉”，只剩下正弦曲線，若將正弦曲線比喻為不斷的從波谷→波峰→波谷……的爬坡下坡過程，你能找到對稱中心的位置嗎？

設(shè)計意圖：幫助學(xué)生意識到對稱性是“圖”固有的幾何屬性，沒坐標(biāo)系，有好多“對稱中心”都可能作為原點，坐標(biāo)系的“加入”改變的只是坐標(biāo)外在“模樣”.將正弦曲線比喻為不斷的爬坡下坡，那么對稱中心正好處在“半山腰”.

（3）對于正弦曲線“上坡路”的“半山腰點”是對稱中心，你可以從正弦函數(shù)的那條性質(zhì)給出解釋？怎么解釋正弦曲線“下坡路”的“半山腰點”（譬如點（π，0））也是對稱中心？

設(shè)計意圖：前者主要是周期性；后者可調(diào)整觀察視角：從右往左看，或者將原正弦曲線上下“翻個身”，則下坡變上坡，問題變?yōu)橐呀鉀Q問題.這里不變的是原圖形中的對稱性.

活動2：探討正弦函數(shù)y=sinx圖象的軸對稱.

（4）觀察正弦曲線，它是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？

設(shè)計意圖：通過觀察直接發(fā)現(xiàn)正弦曲線也是軸對稱圖形.

活動3：探討函數(shù)y=f（x）關(guān)于直線x=a（點（a，0））對稱形式化描述.

（6）偶函數(shù)關(guān)于直線x=0對稱用符號表示為f（-x）=

設(shè)計意圖：是學(xué)生經(jīng)歷特殊到一般、具體到抽象、圖象到符號的思維過程對函數(shù)的軸對稱給出形式化定義，即y=f（x）關(guān)于直線x=a對稱?f（a-x）=f（a+x）?f（2a-x）=f（x）.

（7）奇函數(shù)關(guān)于原點（0，0）對稱用符號表示為f（-x）=-（fx），類似地，對正弦函數(shù)y=sinx關(guān)于點（kπ，0）（k∈Z）對稱如何用符號表示？一般的，對函數(shù)y=f（x）關(guān)于點（a，0）對稱如何給出形式化描述（定義）.

設(shè)計意圖：同問題6，y=f（x）關(guān)于點（a，0）對稱?f（a-x）=-f（a+x）?f（2a-x）=-f（x）.

活動4：探討余弦函數(shù)的對稱性.

（8）觀察余弦曲線，說出其對稱中心和對稱軸方程，并用對稱定義驗證.

活動5：探討正切函數(shù)的對稱性.

活動6：探討對稱性產(chǎn)生周期.

（10）觀察正弦函數(shù)y=sinx圖象，相鄰兩條對稱軸的距離、相鄰兩個對稱中心的距離、相鄰一條對稱軸和一個對稱中心的距離，它們與正弦函數(shù)的最小正周期T=2π存在什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：以正弦函數(shù)為模型，從直觀入手，發(fā)現(xiàn)對稱性的三種“組合”產(chǎn)生周期這一事實，為猜想和推廣提供直觀模型支持.

（11）將問題10推廣：對于函數(shù)y=f（x）：2（a-b）；

②若有兩個對稱中心（a，0），（b，0），則周期T=2（ab）；

③若有一條對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0），則周期T=4（a-b）.

設(shè)計意圖：揭示函數(shù)對稱性和周期性二者間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步熟悉數(shù)學(xué)形式化語言的表述，為學(xué)會“抽象”積累活動經(jīng)驗.教師可示范其中一個的推導(dǎo)，余下供學(xué)生練習(xí).

三、兩點感想

1.重視直觀、學(xué)會抽象

“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）”有一條課程基本理念是“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”.對此討論的文章比較多，“本質(zhì)”到底是什么，誰說了算？有時是比較模糊的；另一種傾向，過分強調(diào)直觀而停留于直觀層面的教學(xué)為數(shù)不少，這實質(zhì)上有悖于課程理念初衷.課標(biāo)的完整表述是“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達(dá)，要強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里.”從中可看出，“形式化”是“基本特征”“基本要求”，試問，誰能堪當(dāng)“基本”？高中生的思維發(fā)展和心理發(fā)展應(yīng)該是到了較高層次，對適度的形式化學(xué)習(xí)是能接受的.張奠宙先生在文［1］指出那種“要求高中教學(xué)比小學(xué)教學(xué)多多游戲、進(jìn)行戲劇扮演的教學(xué)方式，恐怕是有悖常理的.”數(shù)學(xué)家徐利治將其一生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、科研經(jīng)驗心得概括為六句話：培養(yǎng)興趣、追求簡易、重視直觀、學(xué)會抽象、不怕計算、喜愛文學(xué).筆者很喜歡徐老的“六句箴言”，本文的立意，就取乎徐老的三、四兩句，筆者以為，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，直觀是起點、立足點，但還要學(xué)會抽象，通過抽象實現(xiàn)提高，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上升到更高層面，這才是用發(fā)展的眼光培養(yǎng)人，也才能適應(yīng)今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí).

2.觀念引領(lǐng)、思想導(dǎo)航

在閱讀文［3］過程中，從楊振寧大師身上筆者強烈感受了對稱思想的魅力和力量.文［3］介紹楊先生在中學(xué)時代就對自然界的對稱性產(chǎn)生了很強烈的感情，他的第一篇論文，就是關(guān)于物理學(xué)中的對稱性問題.在他以后的科學(xué)生涯中，最重要的貢獻(xiàn)也是在這個領(lǐng)域做出來的，他所寫的二百余篇論文有三分之二是有關(guān)對稱性問題的.1956年與李政道合作發(fā)表《弱相互作用中的宇稱守恒問題》開創(chuàng)了對稱思想發(fā)展的新紀(jì)元，楊先生把對稱性在物理學(xué)中的核心地位與作用概括為一個基本原理：對稱性支配相互作用原理.大師的理論博大精深，筆者萬難領(lǐng)略皮毛一二，但對其精神感召卻似有所悟：播下一些重要的思想觀念種子，看似若隱無功，埋在心底，未嘗不會待機萌發(fā)？難有大作為，小樂趣也別有風(fēng)味，下舉一例：

1.張奠宙.“非傳統(tǒng)教學(xué)方式”要適合學(xué)生的年齡［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2011（5）.

2.章建躍.數(shù)學(xué)4（必修）［M］.北京：人民教育出版社，2012.

3.高策.走在時代前面的科學(xué)家——楊振寧［M］.太原：山西科學(xué)技術(shù)出版社，1999.

4.羅燦，方厚良.追求知識與思想交融并行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（5）.