☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

“柯西不等式與排序不等式”教學(xué)建議與思考

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 宮前長(zhǎng)

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，柯西不等式與排序不等式是新課標(biāo)中的新增內(nèi)容，是不等式內(nèi)容的一個(gè)重要部分，是一種基本不等式形式，有著結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、形式精練和簡(jiǎn)單易記的獨(dú)特外形及廣泛的使用范圍.數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的特征就是強(qiáng)調(diào)整體性和聯(lián)系性，即從整體上把握不等式，聯(lián)系相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)做好每一章節(jié)、每一節(jié)課的內(nèi)容分配、清楚其地位和作用，尤其對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)的恰當(dāng)定位，才能有效地突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提升教學(xué)效果.

一、教材解讀

柯西不等式和排序不等式是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正式引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中.綜觀(guān)教材編排發(fā)現(xiàn)“探究—猜想—檢驗(yàn)—證明”的整體設(shè)計(jì)思路，反映了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)使用的基本方法和通常的研究過(guò)程.整體性和聯(lián)系性是新課標(biāo)教材模塊學(xué)習(xí)和專(zhuān)題結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)的需要，也是學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)知、掌握不等式的需要，更是體現(xiàn)不等式的建模思想和算法思想滲透、形成的過(guò)程.

1.簡(jiǎn)析教材特征，凸顯思想方法

柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.二維柯西不等式涉及三個(gè)定理及其證明，介紹了簡(jiǎn)單應(yīng)用；按照從特殊到一般的認(rèn)識(shí)方式，討論了三維柯西不等式，進(jìn)而討論一般形式的柯西不等式并用三道例題介紹其簡(jiǎn)單應(yīng)用.簡(jiǎn)單介紹排序不等式，抓住“序”字處理其簡(jiǎn)單問(wèn)題的應(yīng)用.

剖析教材做到：凸顯數(shù)學(xué)思想方法就是抓住構(gòu)建“基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”的核心；對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知、認(rèn)識(shí)深層次解讀就是數(shù)學(xué)概念的“思想”靈魂，表現(xiàn)在架設(shè)從數(shù)學(xué)技能到數(shù)學(xué)能力的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”橋梁；數(shù)學(xué)解題的具體實(shí)施就是把握了“數(shù)學(xué)核心方法”處理一類(lèi)問(wèn)題的操作方法.

教材編寫(xiě)的重點(diǎn)要突出類(lèi)比推理，從特殊到一般的推理，強(qiáng)化討論的方法.讓學(xué)生親歷發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，增強(qiáng)認(rèn)識(shí)上的直觀(guān)性，滲透“數(shù)”“形”結(jié)合的思想方法.教材編寫(xiě)專(zhuān)家使用精練語(yǔ)言，多處設(shè)置“探究”欄目，其中蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)理念和思想方法，以激起學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，鉆研經(jīng)典不等式.歸納總結(jié)教材涉及了“四、三、三、二”：

“四”個(gè)類(lèi)比的過(guò)程：①?gòu)摹癮2+b2≥2ab”的推導(dǎo)過(guò)程依“作差、完全平方”類(lèi)比得到“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”的推導(dǎo)過(guò)程；②從“（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2”依“公式的結(jié)構(gòu)的維數(shù)形式”類(lèi)比遞推到“（a2+b2+c2）（b2+c2+a2）≥（ab+bc+ca）2”和“（a2b2+…+anbn）2”；③從“平面向量證明”二維柯西不等式依“向量法的證明”類(lèi)比到“空間向量證明”三維柯西不等式；④從“二維三角不等式”依“公式結(jié)構(gòu)的維數(shù)形式”類(lèi)比到“三維三角不等式”和“n維三角不等式”.

“三”個(gè)從特殊到一般的推理過(guò)程：①柯西不等式的代數(shù)形式的“維數(shù)”從“二維”到“三維”和“n維”；②柯西不等式的三角形式的“維數(shù)”從“二維”到“三維”和“n維”；③排序不等式的“維數(shù)”從“三維”到“n維”.

“三”種數(shù)學(xué)思想方法：①柯西不等式的證明方法涉及向量法；②證明柯西不等式時(shí)體現(xiàn)了配方法；③柯西不等式的三角形式采用圖形說(shuō)明、排序不等式引用一個(gè)角的兩邊（射線(xiàn)）上的“有序點(diǎn)”直觀(guān)形象處理，加強(qiáng)了數(shù)形結(jié)合思想.

“兩”個(gè)重要的經(jīng)典不等式：柯西不等式和排序不等式.這兩個(gè)重要經(jīng)典不等式具有形式優(yōu)美、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、應(yīng)用方便、解題作用重要的特點(diǎn).

教材必修5和選修4-5的編寫(xiě)，強(qiáng)調(diào)了解決不等式問(wèn)題的通性通法，通過(guò)典型例題、習(xí)題的解法凸顯出蘊(yùn)藏著的比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，讓學(xué)生在解題時(shí)有所體會(huì)并能初步加以應(yīng)用.

2.讀懂教材編排，拓展學(xué)生思維

教材選修4-5主體編排和編寫(xiě)從不同的視角揭示不等式的背景：不等式和不等式組刻畫(huà)著平面的某些“區(qū)域”、圖形的變化揭示重要不等式的幾何特征、不等式證明的目標(biāo)盯著“邏輯思維能力”等，利用典型的不等式證明例題凸顯不等式證明方法的特征，學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)不等式會(huì)有新的感想和啟示.

本單元的編寫(xiě)意圖不僅僅介紹兩個(gè)經(jīng)典不等式及其證明方法，更重要的是通過(guò)運(yùn)用經(jīng)典不等式，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)論的推理論證能力.即在理解經(jīng)典不等式的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)有關(guān)不等式的數(shù)學(xué)問(wèn)題與經(jīng)典不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，善于應(yīng)用這種聯(lián)系來(lái)解決問(wèn)題，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)經(jīng)典不等式時(shí)掌握認(rèn)識(shí)事物規(guī)律的方法、思維空間的拓展及思維能力的提升.

不等式在高中數(shù)學(xué)的必修與選修教材編寫(xiě)中，有意在教材編寫(xiě)時(shí)編排了一個(gè)“觀(guān)察”、一個(gè)“閱讀與思考”、三個(gè)“思考”和七個(gè)“探究”等欄目設(shè)置問(wèn)題，給學(xué)生課堂進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)提供了廣闊的平臺(tái)，涉及了一些新的知識(shí)，有利于學(xué)生的興趣培養(yǎng)、鉆研精神的培養(yǎng)，提升學(xué)生的閱讀能力和探究方向，讓學(xué)生從數(shù)、形兩個(gè)視角加深對(duì)經(jīng)典不等式的理解，也為教師因材施教配置更多的資源.如“觀(guān)察”欄目的安排，就是讓學(xué)生在平面直角系，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，從幾何視角發(fā)現(xiàn)二維形式的三角不等式，再進(jìn)一步地采用代數(shù)方法證明，體會(huì)二維柯西不等式的應(yīng)用.因此一旦學(xué)生選定“不等式選講”作為選修課程，教師就要通過(guò)簡(jiǎn)單不等式問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，積極探究，提升學(xué)生的思維能力.

3.仔細(xì)推敲教材，感悟思想方法

認(rèn)真閱讀教材，解讀教材編寫(xiě)脈絡(luò)，理清“一.2”中的“四、三、三、二”和本單元全部?jī)?nèi)容（包含習(xí)題、觀(guān)察和思考欄目，以及旁白內(nèi)容），深挖例（習(xí)）題功能，確立和把握教學(xué)設(shè)計(jì)思想，讀懂教材這樣編寫(xiě)的意圖以及對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)意義，弄清新課程中已刪去的內(nèi)容、清楚新課程中已降低難度的不等式內(nèi)容、明白哪些不等式內(nèi)容是新課程重視和加強(qiáng)的內(nèi)容、哪些不等式內(nèi)容是新課程關(guān)注的新增內(nèi)容，才能更好地對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行變式拓展（控制難度），才能感悟?qū)ｎ}中所含的豐富數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)用經(jīng)典不等式解決具體問(wèn)題時(shí)體現(xiàn)了優(yōu)化思想，在兩個(gè)經(jīng)典不等式的呈現(xiàn)過(guò)程中凸顯了數(shù)形結(jié)合思想、向量思想，在證明柯西不等式時(shí)體現(xiàn)了配方法等，對(duì)于這些數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)時(shí)一定要?dú)w納、總結(jié)，通過(guò)數(shù)學(xué)題的解答來(lái)加深理解和體會(huì).

對(duì)教材中的觀(guān)察”、“閱讀與思考”、“思考”和“探究”等欄目作深層次地解讀，弄清這些欄目設(shè)計(jì)的目的、意圖和作用，進(jìn)一步組織和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題提升課堂教學(xué)效益，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，主動(dòng)思維、從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)中增強(qiáng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和掌握，彰顯教材的每一塊地方所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

二、教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)

提高課堂效益，幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和提升學(xué)習(xí)能力，需要從每一節(jié)課做起.教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從整體上認(rèn)識(shí)章節(jié)內(nèi)容，把握教材的編寫(xiě)意圖，培養(yǎng)由特殊到一般規(guī)律并進(jìn)而證明一般規(guī)律的能力.教學(xué)中一定要狠抓“教材之脈絡(luò)”、緊扣“章節(jié)之主干”和把握“核心方法”，才能在教與學(xué)中注重概念發(fā)生、衍變過(guò)程，抓住“核心概念”，使得各概念融為一個(gè)整體，整體性和聯(lián)系性就會(huì)凸顯出來(lái)，達(dá)到數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的學(xué)習(xí)融會(huì)貫通.

1.教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)與難點(diǎn)

“柯西不等式與排序不等式”單元新課標(biāo)教學(xué)目標(biāo)定位：了解柯西不等式的三種不同形式，理解這些不等式的幾何意義，并會(huì)證明.用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況，會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式，能夠利用柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.根據(jù)教材和學(xué)情制定本單元的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過(guò)平方數(shù)a2≥0，引導(dǎo)學(xué)生親歷類(lèi)比（ac-bd）2≥0來(lái)推導(dǎo)二維柯西不等式，感悟a2≥0在不等式證明中的作用；再一次親歷采用向量的數(shù)量積推導(dǎo)柯西不等式，體會(huì)向量法在不等式證明的作用；從二次函數(shù)的視角推導(dǎo)柯西不等式的一般形式，進(jìn)一步凸顯了二次函數(shù)性質(zhì)的重要意義.

（2）學(xué)會(huì)類(lèi)比推理的思維方法，體會(huì)類(lèi)比思想，能夠演化柯西不等式從二維推廣到一般形式，掌握柯西不等式的三種不同形式，理解其幾何意義，深化理解數(shù)學(xué)的特殊性與一般性的關(guān)系.

（3）知道排序不等式的推導(dǎo)過(guò)程和推導(dǎo)方法，掌握和理解排序不等式及其簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

單元重點(diǎn)：

（1）二維、三維柯西不等式的推導(dǎo)過(guò)程及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，用向量遞推法討論排序不等式.

（2）運(yùn)用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決經(jīng)典問(wèn)題，體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的通性通法，即觀(guān)察、思考不等式問(wèn)題與經(jīng)典不等式聯(lián)系，再依據(jù)經(jīng)典不等式解決不等式問(wèn)題.

單元難點(diǎn)：柯西不等式的應(yīng)用，排序不等式的推導(dǎo)過(guò)程及簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

2.突破重點(diǎn)，分散難點(diǎn)

不等式的重點(diǎn)剖析：認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種形式，理解運(yùn)用幾何意義、用向量遞歸方法討論排序不等式、通過(guò)運(yùn)用這兩個(gè)經(jīng)典不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題、體會(huì)運(yùn)用經(jīng)典不等式的一般方法（尋找具體問(wèn)題與經(jīng)典不等式之間的聯(lián)系性，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儭靶巍保媒?jīng)典不等式結(jié)論解決具體問(wèn)題中的不等關(guān)系的系列方法），形成對(duì)不等式運(yùn)用經(jīng)典不等式解題的整體認(rèn)識(shí)和圍繞核心內(nèi)容（柯西、排序不等式）的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行深層次地理解.

不等式的難點(diǎn)剖析：抓住一般形式的柯西不等式和排序不等式的證明思路，掌握運(yùn)用兩個(gè)經(jīng)典不等式來(lái)證明不等式的方法處理策略和變形策略.注意把握問(wèn)題的難度，重點(diǎn)放在兩個(gè)經(jīng)典不等式的基本的、經(jīng)典的應(yīng)用，有意強(qiáng)調(diào)解決不等式問(wèn)題的通性通法，明確提出不要過(guò)分追求不等式求解、證明中的技巧.

3.重視引導(dǎo)教與學(xué)方式的改進(jìn)

教學(xué)時(shí)要重視引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進(jìn)，積極鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)探究，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比提出問(wèn)題、尋找解決問(wèn)題的策略和方法，對(duì)于兩個(gè)經(jīng)典不等式結(jié)論進(jìn)行特殊化、再作進(jìn)一步的推廣：對(duì)比二維形式、三維形式的柯西不等式，鼓勵(lì)學(xué)生猜一猜一般的n維形式的柯西不等式，如何應(yīng)用一般的n維形式的柯西不等式證明一般的n維形式的三角不等式？只有通過(guò)自己探究，才能深深體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的靈活性.

學(xué)習(xí)經(jīng)典不等式（柯西、排序）時(shí)要幫助學(xué)生認(rèn)清結(jié)構(gòu)特征，到達(dá)便于記憶，弄清本質(zhì).對(duì)柯西不等式要弄清對(duì)應(yīng)項(xiàng)“相乘”、“求和”和“平方”的順序特征：先自身“平方”、再“求和”、后“相乘”，結(jié)果不小于“配對(duì)積的和的平方”；對(duì)于排序不等式也要弄清“順序和”、“亂序和”和“反序和”的順序特征.其中的結(jié)構(gòu)特征表征：如“對(duì)應(yīng)配對(duì)”“妙湊系數(shù)”“因式配置”“數(shù)據(jù)大小”等充滿(mǎn)著數(shù)學(xué)機(jī)智.

在教學(xué)中，不僅要通過(guò)不等式的數(shù)學(xué)背景，而且要從本質(zhì)上幫助學(xué)生掌握重要的、經(jīng)典的不等式，切忌形式記憶和生搬硬套，更要做到：把握教學(xué)要求、重視思想方法和重視學(xué)生學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方式的改進(jìn).同時(shí)也要強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程和解題過(guò)程、強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、形成模型意識(shí)、關(guān)注經(jīng)典不等式解題運(yùn)用，更要注意：不隨意拓展和延伸；不隨意加深難度；不過(guò)于追求技巧性；抓住重點(diǎn)、難點(diǎn).

三、備考建議

選修4-5內(nèi)容屬于指定選考部分，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，依據(jù)自己的能力和特長(zhǎng)做出選擇.雖然柯西不等式、排序不等式在高考中屬于刪除部分，但這部分內(nèi)容確實(shí)能開(kāi)闊學(xué)生的不等式視野和提升對(duì)不等式的理解、認(rèn)識(shí)，只要能夠系統(tǒng)地學(xué)習(xí)不等式（含選修4-5），整體把握不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu)特征和相互（包含知識(shí)點(diǎn)、方法等）聯(lián)系，就會(huì)對(duì)不等式有了整體認(rèn)識(shí)和方法的系統(tǒng)聯(lián)系.高考考試說(shuō)明上有“會(huì)用不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題”，給各位教師提供了很大的空間，也給命題的形式提供了多樣性的呈現(xiàn)機(jī)會(huì).怎么考？只有在高考試題中，從不同的視角尋找答案.如2013年的全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ的不等式選講選考題采用柯西不等式或排序不等式證明起來(lái)很簡(jiǎn)單，足以說(shuō)明不等式教學(xué)一定要把握：整體性和聯(lián)系性，在不等式學(xué)習(xí)時(shí)盡量系統(tǒng)學(xué)習(xí).

“柯西不等式與排序不等式”雖然不屬于高考范疇（部分省市高考考試說(shuō)明明確刪除對(duì)此部分的考查），但在平時(shí)教學(xué)時(shí)狠抓教材中“柯西、排序不等式的脈絡(luò)”，弄清“柯西不等式與排序不等式的類(lèi)比和推理主干部分”和重點(diǎn)把握“不等式證明、求解的重要方法”，深刻體會(huì)教材編寫(xiě)不等式的意圖和新課標(biāo)對(duì)不等式的要求，形成不等式知識(shí)體系，強(qiáng)化凸顯不等式的整體性和聯(lián)系性，學(xué)生自然能夠領(lǐng)略柯西不等式、排序不等式的“奇異”作用，有利于高考時(shí)不等式問(wèn)題求解和證明.

四、教學(xué)思考與建議

柯西不等式與排序不等式是數(shù)學(xué)的重要工具，是本單元學(xué)習(xí)的重要知識(shí).結(jié)合教材內(nèi)容編排、高考考試說(shuō)明和高考試題來(lái)綜合思考.

1.高考考試說(shuō)明，為何刪除

高考考試說(shuō)明中將“柯西不等式與排序不等式、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式及貝努利不等式”等內(nèi)容刪除，其原因一方面是使用這些不等式時(shí)涉及的技巧性強(qiáng)，另一方面能夠用柯西不等式解決的最值問(wèn)題也可以用均值不等式來(lái)解決.考試說(shuō)明中刪除這部分內(nèi)容既降低了解題難度，又減輕了學(xué)生高考復(fù)習(xí)負(fù)擔(dān)，同時(shí)進(jìn)一步強(qiáng)化了基本不等式“重要”，需要在應(yīng)用過(guò)程中深層理解基本不等式解題和證明作用.由于選修4-5“不等式選講”是指定“三選一”的選考之一，自然是對(duì)選定的學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要加強(qiáng)和提升復(fù)習(xí)不等式的整體性和聯(lián)系性，注意解決數(shù)學(xué)問(wèn)題難度和不等式涉及的范圍.

2.高考試題出現(xiàn)，導(dǎo)向何方

3.選修選定之后，如何教學(xué)

選修4-5“不等式選講”一旦選定，其高考題就會(huì)與必考（必修五）中的不等式考查融合命制，其表征是明顯的，意圖也是清晰的.教學(xué)時(shí)，準(zhǔn)確把握教學(xué)要求，二維、三維柯西不等式的推導(dǎo)和應(yīng)用是重點(diǎn)解決的，還要讓學(xué)生熟悉柯西不等式的同維三種質(zhì)同形異表示形式，親歷柯西不等式從不同角度的解釋?zhuān)w會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展的認(rèn)識(shí)規(guī)律：從特殊到一般.

例題教學(xué)時(shí)，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)經(jīng)典不等式的結(jié)構(gòu)特征、關(guān)鍵（柯西不等式涉及指數(shù)“2”，排序不等式涉及大小“序”）和注意事項(xiàng)（柯西不等式涉及多項(xiàng)式乘積與不等號(hào)，排序不等式涉及順序和、反序和及亂序和）.柯西不等式與排序不等式又是不等式放縮的一種方式方法，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生適當(dāng)提高要求（補(bǔ)充課外題，能夠用兩個(gè)經(jīng)典不等式證明），提升學(xué)生的理解能力和欣賞水平.

重視著名不等式的應(yīng)用和背景：二維或三維柯西不等式（包含二維或三維均值不等式）應(yīng)用求最值問(wèn)題.明確提出對(duì)超過(guò)三維的均值不等式、柯西不等式；排序不等式和貝努利不等式的應(yīng)用不作要求.只要了解幾個(gè)著名不等式（柯西、排序）的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，力求直觀(guān)理解幾個(gè)著名不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì).總之，要抓住教學(xué)重點(diǎn)，抓住基本思想基本方法的教學(xué)，力求以簡(jiǎn)馭繁.

重視為優(yōu)等生提供發(fā)展平臺(tái)：部分學(xué)生對(duì)經(jīng)典不等式（柯西、排序）掌握的比較好時(shí)，對(duì)這些學(xué)生及時(shí)提供一些通過(guò)探究能夠弄懂的例題（能夠用柯西不等式和排序不等式可以解決的中檔問(wèn)題）拓展思維，或查閱資料、獨(dú)立思考，進(jìn)一步探討不等式的應(yīng)用，幫助學(xué)生搭建能力發(fā)展的平臺(tái).

認(rèn)真研究課程標(biāo)準(zhǔn)、弄清教材內(nèi)容、依學(xué)情定位教學(xué)目標(biāo)（包含重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)），制高點(diǎn)上抓知識(shí)重點(diǎn)的深度、強(qiáng)調(diào)核心概念的理解和深化、揭示新課標(biāo)關(guān)注的重要內(nèi)容和思想方法，讓教、學(xué)方法由“教”到“悟”自然過(guò)渡，概括數(shù)學(xué)本質(zhì)、總結(jié)方法、提煉思想，彰顯教學(xué)“藝術(shù)”魅力，充分體現(xiàn)新課程理念.只有讀懂、讀透、讀精教材，著眼于學(xué)科整體性和聯(lián)系性的高度俯瞰全局，才能對(duì)教材“深入”“淺出”，準(zhǔn)確把握教材，更好地“用教材”教學(xué)，真正讓教學(xué)從有效到達(dá)高效.