高鳳陽，王 珊，張 亞

（沈陽建筑大學(xué) 交通與機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

0 引言

機(jī)電一體化與機(jī)器人技術(shù)已成為高性能工程機(jī)械的發(fā)展方向，混凝土泵車作為現(xiàn)代建筑業(yè)有效的工具，其施工操作自動化已逐漸受到人們的重視。為實現(xiàn)混凝土泵車操作自動化，我們需解決：當(dāng)混凝土泵車臂架系統(tǒng)的關(guān)節(jié)角給定時，確定澆筑點的位置；當(dāng)澆筑點的位置給定后，經(jīng)逆運算反求出臂架系統(tǒng)的各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值。前者稱為混凝土泵車臂架系統(tǒng)關(guān)節(jié)角與末端位置的正解，后者稱為反解。另外，混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一具有冗余自由度的空間機(jī)構(gòu)，因此其反解不是唯一確定的解，需要采用某些方法使多節(jié)臂的臂架系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)控制，且其解是唯一反解。這一理論分析為進(jìn)一步實現(xiàn)混凝土泵車臂架系統(tǒng)的自動化和機(jī)器人化奠定了基礎(chǔ)，具有實際應(yīng)用意義和理論研究價值。

1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)位姿方程建立

混凝土泵車臂架系統(tǒng)基本是由底座、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、大臂、中臂（以2 個為例）、小臂和軟管等部分組成的串聯(lián)開鏈機(jī)構(gòu)。利用D-H 法建立混凝土泵車臂架系統(tǒng)的機(jī)器人化簡圖如圖1 所示, 其中Zi軸與關(guān)節(jié)軸重合，Xi軸為沿著臂架的方向，Yi軸根據(jù)右手定則確定；角度θi為繞Zi軸，Xi軸到Xi-1軸轉(zhuǎn)過的角度，規(guī)定順時針為正，逆時針為負(fù)。

圖1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的機(jī)器人化簡圖Fig.1 A simplified robot graphic of concrete pump truck boom syste

根據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型，可以得到混凝土泵車臂架系統(tǒng)末端的坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的位姿矩陣：

式中：s0=sinθ0；c0=cosθ0；s1234=sin（θ1+θ2+θ3+θ4）；

c1234=cos （θ1+θ2+θ3+θ4）；px=c0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；

py=s0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；pz=s1234l4+s123l3+s12l2+l1s1。

上述式（5）的位姿矩陣為混凝土泵車臂架系統(tǒng)運動學(xué)正解。

2 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運動學(xué)反解

假設(shè)混凝土泵車在工作時沒有障礙物，其臂架系統(tǒng)運動學(xué)反解是已知澆筑點位置，采用合理的解法，求解出臂架系統(tǒng)的各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值，并且保證解是唯一確定的，從而為混凝土泵車臂架系統(tǒng)的自動化奠定基礎(chǔ)。

根據(jù)混凝土泵車的實際工作特點和要求，本文提出兩種約束解決方案：其一、混凝土泵車在工作時，使四節(jié)臂的臂架整體近似呈弧形，這樣使得泵送混凝土過程中，混凝土流動基本連續(xù)，遇到的阻力最小，從而使得混凝土泵車有較小的能耗和較高的工作效率。其二、混凝土泵車在工作時，在臂架整體近似呈弧形的同時，使后兩節(jié)臂中的任意一節(jié)臂保持水平位置，這樣可以減弱泵管內(nèi)混凝土自由落體造成的臂架振動，避免臂架過早疲勞斷裂。兩種方案在某一時刻不同的臂架狀態(tài)如圖2、圖3 所示。

對于兩種約束方案而 言，關(guān) 節(jié) 角θ0的 大小是唯一確定的，根據(jù)式 （5），顯然，可先求得θ0的唯一解：

圖2 臂架整體近似呈弧形Fig.2 All the booms are similar arc

圖3 前三節(jié)臂近似呈弧形，第四節(jié)臂水平Fig.3 The Former three booms are similar arc,the fourth one is level

約束方案一：確定唯一反解的策略為首先假設(shè)臂架轉(zhuǎn)動的最小分辨角度為2°，規(guī)定關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系為90°-θ1=-θ2=-θ3=-θ4=θ，此為臂架整體近似呈弧形可能的條件，θ 的大小可由下面的公式求得：

這樣，先得到一組關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值θ1、θ2、θ3、θ4，為保證泵送過程中泵送順利，防止臂架振動，初步令θ1=70°，Δθ=（70°-θ）∕3，重新取θ20=θ30=θ40=-θ-Δθ，代入式（7），求得θ10的相應(yīng)值。觀察上述求出的θ10的相應(yīng)值是否滿足θ10∈[0，90°]，并且最接近70°，第一節(jié)臂架關(guān)節(jié)角θ1大一些，有利于操作。

其次，如果θ 無解，則說明此澆筑點無法到達(dá)；如果得出的θ10?[0，90°]，則令θ2n=θ3n=θ4n=θ2±2n°（n=0,1…），代入式（7），求解θ1的值，直到求得偏離70°最小的n值，如果出現(xiàn)θ10∈[0，90°]，偏離70°超過2°，則可根據(jù)θ2n=θ3n=θ4n=θ20±2n° （n=0,1…），代入式 （7），再次求解新的θ1n，直到求得偏離70°最近的n 值，即可得到相應(yīng)的θ2n、θ3n、θ4n的值。在上述的約束條件下，根據(jù)所列出的方程，可得出：

根據(jù)這樣的算法，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4已完全解出，混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運動學(xué)反解結(jié)束。

約束方案二：由于θ0唯一確定，可不考慮底座θ0的旋轉(zhuǎn)，混凝土泵車的四節(jié)臂在同一平面內(nèi)的運動方程：

由式（10）和（11）可知，px1、pz1為已知值，θ1、θ2、θ3、θ4為未知數(shù)，即兩個方程，四個未知數(shù)，所以機(jī)器人冗余自由度為2，因此關(guān)節(jié)角沒有唯一確定的解。

約束條件一：從大量事實來看，臂架的斷裂和應(yīng)力裂縫一般都出現(xiàn)在第四節(jié)臂上，因為在施工時這節(jié)臂是受振幅最大、受力變化最頻繁和擺動最大的位置。因此假設(shè)混凝土泵車的最后一節(jié)臂水平。

此時，臂架末端的坐標(biāo)系相對于機(jī)座處的基坐標(biāo)系繞X 軸轉(zhuǎn)了90°，所以式（10）中有s1234=0，c1234=1，即

約束條件二：根據(jù)約束方案一，使混凝土泵車除了第四節(jié)臂以外的前三節(jié)臂仍近似呈弧形，規(guī)定：

則有：

關(guān)節(jié)角θ1、θ2、θ3的具體解法與約束方案一中的求解過程類似，這里不再贅述，而θ4根據(jù)式（12）得到。直到求得θ1偏離70°最近的值，即可得到相應(yīng)的θ2、θ3、θ4的值。至此，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4完全解出?；炷帘密嚤奂芟到y(tǒng)的運動學(xué)反解結(jié)束。

3 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運動學(xué)反解算例

已知混凝土泵車臂架系統(tǒng)末端的位置：px=18.2m，py=10.5m，pz=16.6m，各個臂架的長度：l1=9.1m，l2=7.889m，l3=7.680m，l4=7.934m，求解各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值。兩種約束方案解答過程中的θ0、θ1、θ2、θ3、θ4如表1和表2 所示。根據(jù)式（6）可得：θ0=arctan（py，px）=30°。

表1約束方案一的反解過程Tab.1Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplanone

表2約束方案二的反解過程Tab.2Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplantwo

約束方案一和約束方案二的反解均符合混凝土泵車的工作特點和要求，也滿足反解的唯一確定性要求。

4 結(jié)束語

本文研究結(jié)果表明：根據(jù)D-H 法可以求解出滿足要求的混凝土泵車的正解和反解，并且兩種反解約束方案的算法均滿足混凝土泵車實際工作特點和要求以及反解的唯一性要求，容易在控制軟件中實現(xiàn)，提高了反解的運算速度，可以作為混凝土泵車臂架的智能化控制的理論基礎(chǔ)。

[1] 梁聰慧，黃浩軒，陶澤安，胡敏，曾楊.冗余自由度機(jī)械臂的逆運動控制、建模與仿真[J].建設(shè)機(jī)械技術(shù)與管理，2012，9.

[2] 凌志勇，付鵬飛，劉洪慶，李廣鑫.五臂混凝土泵車臂架變幅機(jī)構(gòu)的仿真研究[J].機(jī)械設(shè)計與制造，2011，5.

[3] 郭立新，張郭忠，郭詠梅.泵車布料機(jī)構(gòu)運動學(xué)分析及軌跡規(guī)劃控制建模與仿真[J].機(jī)械，2001，1.

[4] 萬佳先.混凝土泵車臂架D-H 矩陣分析和仿真[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2011，17.

[5] 謝志江，李誠，劉楠，倪衛(wèi).6 自由度裝校機(jī)器人逆解的確定[D].吉林大學(xué)學(xué)報，2012，6.