◆王海飛 馬德峰

基于Gumowski-Mira公式的分形圖實現(xiàn)算法的研究

◆王海飛 馬德峰

分形是生活中常見的現(xiàn)象。分形的內(nèi)容太多，只研究基于公式Gumowski-Mira的分形。通過介紹公式，然后用VC編程實現(xiàn)。通過這幾個參數(shù)的改變，研究圖形的變化，從而研究各個參數(shù)的物理意義。

分形；Gumowski-Mira公式；自相似

1 引言

分形是日常生活中常見的現(xiàn)象，本文只研究基于公式Gumowski-Mira的分形。通過對公式中參數(shù)的多次改變，研究圖形的變化，從而研究各個參數(shù)的物理意義。對于程序代碼，本文會著重講解其中的每個參數(shù)和變量對圖形的影響，從而把其中的物理意義進(jìn)行總結(jié)歸納，讓大家對分形以及在這個公式基礎(chǔ)上的分形有一個清楚、全新的認(rèn)識！

2 分形概述

分形的起源其實，分形的研究可以上溯到很久以前。大約100年前，分形的思想已經(jīng)開始出現(xiàn)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域。但是，就像其他的一些革命性的思想一樣，分形的研究受到主流學(xué)術(shù)的譴責(zé)，被人們認(rèn)為只是研究一些數(shù)學(xué)中的怪異現(xiàn)象。那時候著名的數(shù)學(xué)家Charles Hermit把分形稱為“怪物”，這代表了絕大多數(shù)人的觀點。

IBM公司的數(shù)學(xué)家Benoit B. Mandelbrot認(rèn)真地研究了分形與自然的關(guān)系，他向人們展示了分形廣泛地存在于身邊，一些現(xiàn)象都能夠用分形來進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，他和他的同事們用分形來描述樹和山等復(fù)雜事物。他還擴展了維數(shù)的概念，開創(chuàng)性地提出了分?jǐn)?shù)維的概念，并創(chuàng)造了“fractal”一詞?！癴ractal”就是人們所說的“分形”，也叫“分維”，臺灣的學(xué)者則稱之為“碎形”。為了褒獎Mandelbrot的突出貢獻(xiàn)，人們把他稱為“分形之父”[1]。

分形的概念Mandelbrot在解釋“分形”一詞時說：“我由拉丁語形容詞fractus創(chuàng)造了‘分形’（fractal）一詞。相應(yīng)的拉丁語動詞fragere意味著‘打破’和產(chǎn)生不規(guī)則的碎塊。從而可見，除了‘破碎的’（如像碎片或曲折），fractus也應(yīng)當(dāng)具‘不規(guī)則’的含義，這兩個含義都被保存在碎片（fragment）中?！盵2]有許多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是分形，如謝爾賓斯基三角形、科切雪花、皮亞諾曲線、曼德勃羅集、洛侖茲吸引子等。分形同樣可以描述許多真實世界的對象，如云彩、山脈、湍流和海岸線等，當(dāng)然它們不是單純的分形形狀。

Mandelbrot曾給出了一個分形的數(shù)學(xué)定義：一個幾何對象，它的豪斯道夫維數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)。這不僅有些抽象，而且也不是一個令人滿意的定義，因為還有好多分形沒有被該定義涵蓋。后來他又給出一個比較通俗的定義：部分與整體以某種形式相似的圖形。該定義仍然不能表達(dá)分形的全部意思，但會使很多初學(xué)者開始理解分形了，雖然還不能全部理解。

分形的幾何特征分形是破碎的、不規(guī)則的，其幾何性質(zhì)十分豐富，可以說，到目前為止它的幾何性質(zhì)還沒有完全被挖掘出來。這里只將分形最常見的一些性質(zhì)描述給大家：1）分形是破碎的，局部不能可微的不規(guī)則圖形；2）分形一般是自相似的，或是統(tǒng)計自相似的；3）分形有時也是自仿射的；4）分形的維數(shù)一般是分?jǐn)?shù)的，但也有整數(shù)維數(shù)的分形；5）分形圖形具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即無論局部放大多少倍數(shù)，仍然具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

3 典型分形圖形

圖3.1是比較典型的分形圖形，它們都具有自相似特性，但并不嚴(yán)格自相似，所以用“具有自相似”特性來定義分形已經(jīng)有許多局限了，在人們的知識中應(yīng)該繼續(xù)擴展分形的含義。

圖3.1

通過前面的介紹已經(jīng)知道：分形最明顯的特征是自相似性，其他的特征包括無限復(fù)雜、無限細(xì)致等。分形圖形圖3.1，它表現(xiàn)出自相似的特性。這里的自相似性體現(xiàn)在：每一個圖都是由它的更小版本組成，而整個圖形并沒有重復(fù)。也就是說，這時自相似的實質(zhì)應(yīng)該是某一個部分在其他地方重復(fù)出現(xiàn)。

圖3.2是真實拍攝的一張蕨類植物的圖片，它也具有自相似特性。在這棵蕨類植物中，枝杈是整個植物的小版本，而枝杈的枝杈則是更小的版本。這種特性可以無限地持續(xù)下去。但是，它并不像計算機生成的分形圖形那樣嚴(yán)格地自相似，這大概是因為在成長過程中受到許多外界因素的影響。正是因為分形具有的自相似特性，才使分形如此重要并且具有實際應(yīng)用意義。自然界中許多植物具有自相似特性。

圖3.2

圖3.3的風(fēng)景圖片是說明分形的另一很好的例子，這張美麗的圖片是利用分形技術(shù)生成的。在生成自然真實的景物中，分形具有獨特的優(yōu)勢，因為分形可以很好地構(gòu)建自然景物的模型。其實，分形應(yīng)用的領(lǐng)域很廣，周圍到處有分形應(yīng)用的實例。如微生物中，菌落均呈現(xiàn)共同的形態(tài)特征：以母細(xì)胞為中心的環(huán)狀層次結(jié)構(gòu)。為了抽取隆起部分，科學(xué)家已經(jīng)采用分形理論模型實現(xiàn)對菌落圖像的紋理分割[3]。只要注意觀察，就會注意到分形的應(yīng)用非常廣泛。

圖3.3

4 分形與Gumowski-Mira公式

Newton分形一個連續(xù)函數(shù)f(x)，如果取其Taylor展開前兩項作為它的近似，則有：

令f(x)=0，則函數(shù)f(x)的零點x可表示為：

于是有了求f(x)=0方程根的Newton迭代法：

當(dāng)n趨向于無窮大，極限x(n)存在，則序列{X(n)}平方收斂到f(x)的零點。

把復(fù)數(shù)Z運用到（4.1）式上，得到如下公式：

并運用逃逸時間法就畫得一幅Newton分形圖。

Gumowski-Mira公式Gumowski-Mira公式作為下面的迭代法出現(xiàn)：

式中b用于控制軌道是膨脹還是收縮，如果b稍大于1，比如1.004，則軌道就會膨脹；反之若稍小于1，比如0.998，軌道就會收縮。在對下面這些函數(shù)作圖時，大多數(shù)用的是1.005，一個經(jīng)典的函數(shù)是：

Mira公式算法Mira公式算法[4]（w代表函數(shù)，random是隨機數(shù)，0＜random＜1）：

計算軌道，在迭代100到20000次間，每次都畫（x，y）點，當(dāng)然也可加進(jìn)顏色：

5 基于Gumowski-Mira公式的分形圖生成

下面是根據(jù)Gumowski-Mira公式在VC環(huán)境下編寫的部分程序代碼[5-8]：

6 Gumowski-Mira公式參數(shù)的意義

主要通過對不同參數(shù)值的設(shè)置所對應(yīng)的圖形的不同來研究各個參數(shù)（即參數(shù)n，b，a）的物理意義。

通過圖6.1、圖6.2的對比可以看到參數(shù)n決定著圖像的清晰程度，因為參數(shù)n代表著循環(huán)的次數(shù)，即點的個數(shù)，所以n的值越大圖像越清晰。

通過圖6.3、圖6.4和圖6.5的對比可以看出，參數(shù)b是一個非常敏感的常數(shù)，通常非常接近于1.0。如果b有一個輕微增長，比如由0.99增大到0.999，軌跡會膨脹，或者螺旋向外至無限。如果b有一個輕微的減小，比如0.985，那么軌跡會收縮至奇異吸引子。

通過圖6.6、圖6.7、圖6.8、圖6.9可以看出，其實參數(shù)a也是一個很敏感的參數(shù)，a對圖形的舒展有很大影響，隨著a值的增大，圖形周圍的類似于翅膀的東西就會迅速收斂。

通過圖6.10和圖6.11可以看出，隨著y乘的倍數(shù)縮小，圖形會在縱軸即y軸方向變扁，也就是說這個系數(shù)控制著y軸方向舒展的程度。

通過圖6.10、圖6.12和圖6.13可以看出，隨著y軸偏移量的增大，圖形會往下面移動，說明坐標(biāo)y會隨著偏移量的增大而增大，所以偏移量增大，圖形會往下移動。

通過圖6.10、圖6.14和圖6.15對比可以看出，隨著x所乘倍數(shù)的變大，圖形就會在x方向舒展；相反，圖形就會在x方向上收斂。

通過圖6.16、圖6.17和圖6.18可以看出，隨著x坐標(biāo)偏移量的增大，圖形就會右移，即坐標(biāo)x會隨著偏移量的增大右移。

7 總結(jié)

圖6.1 n=10000

圖6.2 n=1000000

圖6.3 b=0.99

圖6.4 b=0.999

圖6.5 b=0.985

圖6.6 a=0.001

圖6.7 a=0.005

圖6.8 a=0.05

圖6.9 a=0.08

圖6.10

圖6.11

圖6.12

圖6.13

圖6.14

圖6.15

圖6.16

圖6.17

圖6.18

分別通過調(diào)用函數(shù)“pDC-＞SetPixel(x*30+280,300-y*30,n)”（n為顏色值），對n分別設(shè)置為RGB(255,0,0)、RGB(0,0,255)、RGB(0,255,0)，分別得到紅色、藍(lán)色、綠色的圖像。

通過上面的研究可以看出，各個參數(shù)具有敏感特性，因此通過對參數(shù)的多次改變，研究圖形的變化，從而研究各個參數(shù)的物理意義，以及函數(shù)中各個值的變化對整個圖形的影響，從而研究總結(jié)原因。

[1]金以文,魯世杰.分行幾何原理及其應(yīng)用[M].杭州∶浙江大學(xué)出版社,1998.

[2]Mandelbrot B B.大自然的分形幾何[M].上?！蒙虾＿h(yuǎn)東圖書發(fā)行部,1998.

[3]王永銘,等.分形模型用于菌落圖象的紋理分割[J].天津大學(xué)學(xué)報,1997(6).

[4]李水根.分形[M].北京∶高等教育出版社,2004.

[5]《電腦編程技巧與維護(hù)》雜志社.Visual C/C++圖形圖像與游戲編程典型實例解析[M].北京∶中國水利水電出版社,2006.

[6]勒濟芳.Visual C++小波變換技術(shù)與工程實踐[M].北京∶人民郵電出版社,2004.

[7]陸宗騏.C/C++圖象處理編程[M].北京∶清華大學(xué)出版社,2005.

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G434

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1671-489X(2014)17-0036-04

10.3969/j.issn.1671-489X.2014.17.036

作者：王海飛、馬德峰，鄒平縣第一中學(xué)（256200）。