張云鵬， 薛博文， 劉淑琴， 李紅偉

(1.山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，山東濟(jì)南250061;2.山東大學(xué)電網(wǎng)智能化調(diào)度與控制教育部重點實驗室，山東濟(jì)南250061)

0 引言

磁懸浮軸承又簡稱為磁軸承，是利用定轉(zhuǎn)子之間的磁力相互作用，支承轉(zhuǎn)子懸浮于空間的一種機(jī)電裝置。因具有無機(jī)械磨損、噪音小、壽命長、無需潤滑等優(yōu)點，廣泛適用于高速、真空、超潔凈和核電等應(yīng)用場合［1－2］。近年來，在人工心臟、飛輪儲能、航天航空等特殊領(lǐng)域，對磁軸承的體積、重量和功率損耗都提出了苛刻要求，因此低功耗和微型化是磁懸浮軸承研究與發(fā)展的重要方向［3－5］。

磁懸浮系統(tǒng)中轉(zhuǎn)子除了軸向轉(zhuǎn)動由電機(jī)控制外，其余空間五個自由度由磁懸浮系統(tǒng)控制。傳統(tǒng)的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由兩組徑向主動磁軸承和一組軸向主動磁軸承組成，每組主動磁軸承都配合各個自由度上的位移傳感器、控制器和功率放大器等器件，難以實現(xiàn)微型化和低功耗。減少主動控制自由度，簡化磁懸浮硬件系統(tǒng)，是實現(xiàn)磁軸承系統(tǒng)的微型化和低功耗主要途徑。四自由度和三自由度等多自由度主動控制的磁軸承系統(tǒng)，已被廣泛研究和實際應(yīng)用［6－7］。單自由度軸向混合磁軸承系統(tǒng)將主動控制自由度降到最低，最大限度降低了功耗和簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，近年來引起了廣泛的關(guān)注［8－9］。

在單自由度磁軸承實現(xiàn)五自由度懸浮系統(tǒng)中，軸向磁軸承氣隙處的磁通同時提供徑向承載力和軸向承載力，關(guān)鍵問題是求解徑向和軸向承載力與磁軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的解析模型。文獻(xiàn)［10－11］基于磁路分析法對軸向永磁軸承徑向磁力進(jìn)行了研究，得出徑向磁力的解析表達(dá)式。文獻(xiàn)［12］通過磁路分析，用虛位移法求解軸向混合磁軸承的徑向承載力，并對徑向承載力與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析，但模型中沒有計及氣隙磁通的邊緣效應(yīng)。利用氣隙磁通的邊緣效應(yīng)對電磁機(jī)構(gòu)進(jìn)行磁路分析，已應(yīng)用于帶氣隙的繼電器、開關(guān)磁阻電機(jī)等［13－14］。文獻(xiàn)［14］利用氣隙磁通的邊緣效應(yīng)分析了傾斜磁極結(jié)構(gòu)的徑向磁軸承的承載力，發(fā)現(xiàn)邊緣磁通對于磁軸承多自由懸浮具有關(guān)鍵作用，但未對軸向磁軸承系統(tǒng)做出分析。

本文在分析軸向混合磁軸承磁路以及氣隙磁通的空間分布的基礎(chǔ)上，對包括邊緣磁通在內(nèi)的各部分磁導(dǎo)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，用虛位移法分別得出了軸向混合磁軸承的軸向承載力和徑向承載力解析數(shù)學(xué)模型，分析了軸向力和徑向力與軸向氣隙和徑向位移之間的關(guān)系，并分析軸向力與徑向力的耦合特性，并得到兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過有限元仿真對結(jié)果進(jìn)行了驗證，為單自由度主動控制磁懸浮系統(tǒng)中軸向混合磁軸承的設(shè)計提供了一定的理論指導(dǎo)。

1 單自由度軸向混合磁懸浮結(jié)構(gòu)及工作原理

軸向單自由度磁軸承實現(xiàn)五自由度懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由兩側(cè)的定子部分和中間的轉(zhuǎn)子部分組成，兩側(cè)成對稱分布，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中陰影部分為軸向磁化的永磁體，產(chǎn)生永磁偏置磁通。永磁磁路經(jīng)過永磁體、定子鐵心、氣隙、轉(zhuǎn)子鐵心形成永磁磁通回路。電磁線圈置于定子鐵心中，通電后通過定轉(zhuǎn)子鐵心和永磁體，形成電磁磁通回路，磁路總磁通為永磁磁通和電磁磁通的疊加，永磁與電磁磁通疊加，通過氣隙磁場，提供轉(zhuǎn)子所需軸向和徑向懸浮力。

圖1 軸向混合磁軸承實現(xiàn)轉(zhuǎn)子五自由度懸浮結(jié)構(gòu)Fig.1 Five DOF suspension system supported by axial HMB

該系統(tǒng)軸向主動懸浮的工作原理與傳統(tǒng)磁單自由度懸浮系統(tǒng)原理相同，通過位移傳感器檢測轉(zhuǎn)子相對于參考位置的軸向偏移(z方向)，控制器通過功率放大器控制兩側(cè)磁軸承中的電流，從而控制兩側(cè)氣隙處的磁通，產(chǎn)生軸向恢復(fù)力，使轉(zhuǎn)子在軸向保持主動的穩(wěn)定懸?。?－2］。

除了軸向平動和沿軸向轉(zhuǎn)動兩個自由度外，其余四個自由度由氣隙處磁力的實現(xiàn)被動懸浮。當(dāng)轉(zhuǎn)子在徑向(x或y方向)有微小位移時，由于氣隙處磁通邊緣效應(yīng)，會產(chǎn)生與軸向有一定夾角，磁力的徑向分力，方向與徑向位移方向相反，指向軸心，將使轉(zhuǎn)子回到徑向平衡位置，從而保持轉(zhuǎn)子的徑向被動懸浮。當(dāng)轉(zhuǎn)子沿x軸或者y軸有微小轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)子兩端的磁力的徑向分力會形成一個恢復(fù)力矩，使轉(zhuǎn)子回到平衡位置，從而使轉(zhuǎn)子在沿x，y軸的轉(zhuǎn)動自由度實現(xiàn)被動懸浮。因此，兩端磁軸承的徑向分力是實現(xiàn)被動懸浮的關(guān)鍵，本文將重點分析氣隙處的磁通分布與徑向力的解析表達(dá)。

2 磁路模型與承載力分析

2.1 考慮氣隙磁通邊緣效應(yīng)的磁路模型與氣隙磁導(dǎo)計算

當(dāng)轉(zhuǎn)子無徑向位移時，兩側(cè)氣隙處磁通與磁場的空間分布均為軸對稱分布，因此磁軸承與轉(zhuǎn)子之間只存在軸向力，徑向力為零。當(dāng)轉(zhuǎn)子發(fā)生徑向位移時，氣隙處的磁通量與磁場分布不再是軸對稱，利用分割磁場法，將氣隙中的整個磁場分割為不同區(qū)域的磁通管G1－G8，圖中G1，G2為磁極重疊部分，磁力線仍與軸向平行;G3與G4部分串聯(lián)，代表中心磁極與側(cè)面之間的磁導(dǎo)，G5與G6串聯(lián)，G7與G8串聯(lián)代表了外側(cè)磁極表面與外側(cè)磁極內(nèi)外側(cè)面之間的磁導(dǎo)。利用各部分磁導(dǎo)之間的串并聯(lián)關(guān)系，建立對應(yīng)的磁路模型，如圖2所示。

圖2 氣隙磁場的空間分布及磁路模型Fig.2 Distribution of magnetic field in axial HMB and magnetic circuit model

G1～G8各部分磁導(dǎo)的具體表達(dá)式［15］為

內(nèi)側(cè)磁極氣隙的磁導(dǎo)Gi為

外側(cè)磁極氣隙的磁導(dǎo)Go為

根據(jù)圖2中磁路的各部分磁導(dǎo)串并聯(lián)關(guān)系得到磁路的總磁導(dǎo)Ga為

2.2 軸向力與徑向力的解析表達(dá)

按照電磁場理論，氣隙處磁場能表達(dá)式為

Fm為氣隙處磁壓降，在氣隙磁場能對軸向位移g和徑向位移e求偏導(dǎo)時，假設(shè)內(nèi)外磁極氣隙處的磁壓降Fmi和Fmo保持不變。根據(jù)虛位移法，可以得到軸向磁軸承的軸向與徑向承載力。軸向承載力為

磁極間徑向承載力為

根據(jù)式(13)，式(14)，可得磁軸承的軸向剛度與徑向剛度為

根據(jù)式(15)和式(16)，當(dāng)氣隙處磁壓降不變時，軸向自有剛度為負(fù)值，因此必須依靠控制器實時控制電磁線圈中的電流，改變兩側(cè)氣隙處的磁壓降Fmi和Fmo實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的軸向主動懸浮。徑向剛度始終為正，即混合磁軸承的徑向力指向平衡位置，因此可以實現(xiàn)徑向的被動懸浮。

2.3 承載力與軸向氣隙和徑向位移關(guān)系分析

根據(jù)式(17)，軸向磁軸承的軸向力除了與氣隙磁壓降有關(guān)，是結(jié)構(gòu)參數(shù)R1－R3、軸向氣隙g和徑向位移e的復(fù)雜函數(shù)，而磁軸承一旦設(shè)計加工完成，運行過程中只有軸向氣隙g和徑向位移e變化，因此主要研究軸向力和徑向力隨軸向氣隙和徑向位移的變化關(guān)系。由解析表達(dá)式可知，軸向力隨軸向氣隙g的增大而減小，當(dāng)磁軸承轉(zhuǎn)子沒有徑向位移，即e=0時，軸向力的表達(dá)式為

可知，軸向力與軸向氣隙g的平方成反比，與文獻(xiàn)結(jié)果一致［2］。

當(dāng)磁軸承轉(zhuǎn)子發(fā)生徑向位移，即e≠0時，設(shè)磁極厚度為 t，對于內(nèi)磁極 ti=R1，對于外磁極 to=R3－R2，根據(jù)式(13)，定義軸向力因子 Az為

內(nèi)外磁極的軸向力表達(dá)式可以簡化為

研究軸向力與軸向氣隙g與徑向位移e的關(guān)系時，只要考慮軸向力因子Az與g和e的關(guān)系。以設(shè)計的磁懸浮人工心臟泵用軸向混合磁軸承為例，圖3為軸向力因子Az與軸向氣隙g與徑向位移e的關(guān)系，由圖可見，軸向力因子Az隨著軸向氣隙g增大而迅速減小，這是由于軸向氣隙g增大導(dǎo)致氣隙磁阻增大，氣隙處的磁通密度減小所導(dǎo)致。當(dāng)徑向位移e的增大時，Az隨之而減小，近似成線性關(guān)系，這是由于徑向位移使定轉(zhuǎn)子磁極發(fā)生錯位，磁極的正對面積減小，氣隙邊緣處磁場分布不再為軸向，產(chǎn)生徑向分量，因此軸向力減小。同時由圖可知，軸向力主要受軸向氣隙g影響，隨徑向位移e變化不明顯。

圖3 軸向力因子Az隨軸向氣隙與徑向位移的變化關(guān)系Fig.3 Axial force factor Azdependence on axial gap and radial displacement

根據(jù)式(18)，徑向力除了與氣隙磁壓降和結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，與軸向氣隙g和徑向位移e的關(guān)系可以用徑向力因子Ar表示為

則徑向力可表示為

圖4為Ar與軸向氣隙g與徑向位移e的關(guān)系圖，徑向力隨著軸向氣隙g的增大而快速減小，隨著徑向位移e的增大而增大。

圖4 徑向力因子Ar隨軸向氣隙與徑向位移的變化關(guān)系Fig.4 Radial force factor Ardependence on axial gap and radial displacement

圖5 徑向力因子Ar隨徑向位移的變化關(guān)系Fig.5 Radial force factor Ardependence on radial displacement

圖5 為不同軸向氣隙時，徑向力因子隨徑向位移的變化關(guān)系，由圖可見，徑向力隨著徑向位移增加而先增加，然后趨于飽和，由式(14)知飽和值為

上式可作為混合磁軸承徑向被動懸浮的設(shè)計的最大徑向承載力。

2.4 徑向力與軸向之間的耦合特性

在單自由度磁懸浮系統(tǒng)中，軸向兩端磁軸承同時提供軸向力和徑向力。當(dāng)轉(zhuǎn)子軸向偏移平衡位置時，通過控制兩側(cè)磁軸承中的控制電流，改變兩側(cè)的氣隙中的磁通密度，實現(xiàn)軸向的主動懸浮。軸向混合磁軸承在控制軸向力的同時，改變了磁軸承對轉(zhuǎn)子的徑向力，影響徑向的被動懸浮剛度，因此必須研究徑向力與軸向力之間的耦合特性，才能夠同時實現(xiàn)軸向主動懸浮和徑向被動懸浮，實現(xiàn)軸向磁軸承軸向和徑向的解耦控制。

由式(13)，式(14)可知，內(nèi)外側(cè)磁極的徑向力與軸向力之比等于徑向力因子與軸向力因子之比，定義為徑向/軸向力系數(shù)X為

圖6所示為徑向/軸向力系數(shù)X隨軸向氣隙和徑向位移的變化關(guān)系圖。由圖可知，X隨軸向氣隙g增大而增大，同時隨徑向位移e的增大也增大。具體變化情況如圖7所示，徑向/軸向力系數(shù)隨徑向位移的增大，斜率變小，說明增大趨勢變緩，在徑向小位移時，可以通過提高兩側(cè)軸向力而提高徑向力，但在徑向位移較大時，效果不明顯。軸向氣隙g增大時，前面分析得到軸向力和徑向力均減小，由徑向/軸向力系數(shù)的變化可知，軸向力比徑向力減小的更快。

圖6 徑向/軸向力系數(shù)X隨軸向氣隙與徑向位移的變化關(guān)系Fig.6 Radial to axial force ratio factor X dependence on axial gap and radial displacement

圖7 徑向/軸向力系數(shù)X隨徑向位移的變化關(guān)系Fig.7 Radial to axial force ratio factor X dependence on radial displacement

3 仿真分析與結(jié)果

利用電磁場有限元仿真軟件，建立軸向混合磁軸承模型，對軸向混合磁軸承的徑向力和軸向力有限元仿真，并與理論結(jié)果進(jìn)行對照。為了研究磁通邊緣效應(yīng)對計算結(jié)果的影響，對未考慮邊緣效應(yīng)時軸向混合磁軸承的徑向力和軸向力也進(jìn)行了計算。

3.1 軸向承載力

圖8為當(dāng)磁軸承發(fā)生軸向位移時，磁軸承軸向力與軸向氣隙g之間的關(guān)系圖，可以看到考慮邊緣磁通前后，軸向承載力計算結(jié)果一致。這主要是由于磁極間主要為軸向磁通，邊緣磁通相對磁極間主磁通可以忽略。同時仿真值小于理論計算值，是由于忽略鐵心及永磁體的磁阻，導(dǎo)致理論計算的磁路總磁導(dǎo)偏大所致。

圖8 軸向力隨軸向氣隙的變化關(guān)系Fig.8 Axial force dependence on axial gap

3.2 徑向承載力

磁軸承的徑向承載力隨徑向位移的變化關(guān)系如圖9所示，在不計入邊緣效應(yīng)的磁路模型中，當(dāng)e=g/2時，徑向承載力達(dá)到最大值，與仿真值出現(xiàn)了較大偏差，主要是因為未考慮邊緣磁通的磁路模型過于簡單，不能夠反映氣隙磁場的復(fù)雜空間分布;計入邊緣效應(yīng)后，徑向承載力隨徑向位移增大而增大，與仿真結(jié)果符合較好，說明了在研究軸向混合磁軸承徑向承載力時，必須考慮氣隙磁通的邊緣效應(yīng)。徑向力與徑向位移的近似線性關(guān)系也為徑向被動懸浮的調(diào)節(jié)提供了理論基礎(chǔ)。

圖9 徑向力隨徑向位移的變化關(guān)系Fig.9 Radial force dependence on radial displacement

3.3 模型的局限性

在分析氣隙磁通的邊緣效應(yīng)時，圖2中所示的G1，G2，G3，G5，G7部分磁通為軸向磁通，G4，G6，G8為磁極側(cè)面的漏磁通，同時忽略了內(nèi)外磁極之間的磁導(dǎo)，在徑向位移e遠(yuǎn)小于磁極厚度的時候，以上氣隙磁通的空間分布模型成立。當(dāng)徑向位移大于磁極厚度時，以上的解析結(jié)果不再適用。在實際應(yīng)用中，磁軸承的最大可移動范圍(小于1 mm)遠(yuǎn)小于磁極的徑向厚度，因此解析式(13)～式(16)可以用于磁軸承實際設(shè)計的需要。

4 結(jié)語

通過基于氣隙磁通邊緣效應(yīng)的磁路模型，利用虛位移法推導(dǎo)了軸向磁軸承的軸向力和徑向力的解析表達(dá)。結(jié)果表明，軸向力隨軸向氣隙增加而迅速減小，隨徑向位移增大而近似線性減小。徑向力隨軸向氣隙增加而迅速減小，隨徑向位移增大而先增大，后趨于飽和。通過分析軸向力與徑向力的耦合特性發(fā)現(xiàn)，徑向/軸向力系數(shù)隨徑向位移的增大，斜率變小，說明徑向力增大趨勢變緩，在徑向小位移時，可以通過提高兩側(cè)軸向力而提高徑向力，但在徑向位移較大時，效果不明顯。軸向氣隙增大時，軸向力比徑向力減小的更快。以上分析磁懸浮系統(tǒng)軸向和徑向的解耦控制提供了理論依據(jù)。利用有限元方法對軸向力和徑向力進(jìn)行仿真計算，計入氣隙邊緣磁通的磁路模型結(jié)果與仿真結(jié)果符合較好，說明考慮氣隙磁通邊緣效應(yīng)是必要的。

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