段 玉，王敬童

(湖南商學(xué)院 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410205)

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)低年級(jí)普遍開設(shè)的基礎(chǔ)課。它對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)能力的提高都有著重要作用。學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)掌握的好壞還直接關(guān)系到對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)和掌握。但在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生普遍感到上課能聽懂，教材能讀懂，就是不太會(huì)做習(xí)題。盡管教師、學(xué)生都下了不少功夫，但到期末考試時(shí)，掛科率較高的大多是高等數(shù)學(xué)，研究生考試落選的大多也是因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)成績(jī)較低［1］。究其原因，除了高等數(shù)學(xué)本身較為抽象、學(xué)生對(duì)大學(xué)的學(xué)習(xí)還不適應(yīng)等因素以外，還與教師的教學(xué)理念、教學(xué)態(tài)度、教學(xué)方法、對(duì)教材的理解、課堂運(yùn)作能力、教學(xué)策略等因素有密切關(guān)系。教師必須結(jié)合高等數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，采用適當(dāng)?shù)牟呗赃M(jìn)行有效教學(xué)，才能達(dá)到良好的教學(xué)效果。

1 注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用與訓(xùn)練

任何一門數(shù)學(xué)課程都是一個(gè)特殊的符號(hào)系統(tǒng)，都有其相應(yīng)的語(yǔ)言與符號(hào)，微積分也不例外。學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)非常必要。

一方面，熟練使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)，可以表達(dá)深刻的數(shù)學(xué)思想與操作性的數(shù)學(xué)方法。例如，微積分的基本公式:，這個(gè)公式表明，一個(gè)連續(xù)函數(shù)在［a，b］的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在［a，b］上的改變量。它不僅揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)之間的聯(lián)系，也給定積分的計(jì)算提供了一個(gè)有效而簡(jiǎn)便的方法。

另一方面，熟練使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)，不僅對(duì)學(xué)生理解概念的內(nèi)涵與定理的作用大有幫助，而且在很大程度上決定了是否能順利地完成課后的作業(yè)。例如，不定積分的換元積分法，如果只按照教材講解，學(xué)生很難理解，更不知道如何將此法則與解題聯(lián)系起來(lái)。筆者在教學(xué)過(guò)程中根據(jù)換元積分法法則給出了一個(gè)清晰的用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的計(jì)算程序:

第一類換元積分法:

第二類換元積分法:

通過(guò)例題分析，學(xué)生很快掌握了換元法的基本思想與方法。

2 注重?cái)?shù)形結(jié)合在教學(xué)中的應(yīng)用

所謂數(shù)形結(jié)合，就是把數(shù)量關(guān)系的準(zhǔn)確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而充分揭示問(wèn)題的條件與條件、條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便可迎刃而解。要注意培養(yǎng)學(xué)生這種思想意識(shí)，爭(zhēng)取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓學(xué)生思維的視野，有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

例如，筆者在講解羅爾中值定理時(shí)，有意將此定理用幾何圖形進(jìn)行解釋，將定理的條件與結(jié)論直觀地表述、展現(xiàn)在學(xué)生面前，并由此證明此定理。學(xué)生很快就掌握了此定理、定理的證明及定理的應(yīng)用。同時(shí)特別提醒同學(xué)注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足，其結(jié)論可能不成立，定理的條件只是充分的。例如，以下三個(gè)函數(shù)［2］分別不滿足羅爾定理的三個(gè)條件:

圖1

圖2

(3)y=x，x∈［0，1］不滿足定理的第三個(gè)條件，其幾何圖形見圖3。

圖3

從以上三個(gè)函數(shù)的幾何圖形可以看到它們都不能在各自的定義域內(nèi)找到ξ，使f′(ξ)= 0;

而對(duì)于函數(shù)

圖4

3 注重適時(shí)展現(xiàn)各知識(shí)模塊的聯(lián)系

微積分的知識(shí)模塊較多，由于受編排體系的限制，許多重要概念之間的關(guān)系僅是單向的，逆向的聯(lián)系并沒(méi)充分反映出來(lái)。教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)?shù)卣故靖拍町a(chǎn)生的實(shí)際背景，一個(gè)概念與另一個(gè)概念的聯(lián)系與區(qū)別，將知識(shí)點(diǎn)編織成網(wǎng)，以點(diǎn)帶面，融會(huì)貫通。教一個(gè)概念時(shí)復(fù)習(xí)多個(gè)概念，教一個(gè)定理時(shí)復(fù)習(xí)多個(gè)定理。

4 注重概念的聯(lián)想訓(xùn)練

在教學(xué)中，筆者經(jīng)常讓學(xué)生進(jìn)行關(guān)于某一概念的聯(lián)想，以加深對(duì)這一概念的理解。弄清這一概念與其它概念的聯(lián)系與區(qū)別，提高應(yīng)用概念的靈活性。這樣做有助于從根本上解決不會(huì)做習(xí)題的問(wèn)題。比如，“函數(shù)的極限”能聯(lián)想到的知識(shí)點(diǎn)就有:

5 注重教學(xué)方法的總結(jié)

微積分涉及的計(jì)算較多，其中一些計(jì)算應(yīng)熟練掌握。教師在教學(xué)中應(yīng)對(duì)此有所側(cè)重，更應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生掌握計(jì)算原則與計(jì)算方法。例如，不定積分的分部積分法，若僅根據(jù)教材講解(一般教材在這一部分只給了幾個(gè)簡(jiǎn)單的例題)，學(xué)生只會(huì)知其然不知其所以然。筆者在教授不定積分的分部積分法時(shí)，通過(guò)例題引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):如何選擇u、v，將不易積的積分通過(guò)公式轉(zhuǎn)換成求積分。其原則:(1)v 要很容易求得;(2)轉(zhuǎn)換后的積分也要很容易求出，即直接利用基本的求導(dǎo)公式或者導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則就可求得。其方法:(1)若被積函數(shù)為多項(xiàng)式×指數(shù)函數(shù)，則選u 為多項(xiàng)式;(2)若被積函數(shù)為多項(xiàng)式×弦函數(shù)(正弦或余弦)，則選u 為多項(xiàng)式;(3)若被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)×弦函數(shù)，則選u 為指數(shù)函數(shù)或弦函數(shù)均可，但必須貫穿一致性原則;(4)若被積函數(shù)為多項(xiàng)式×反函數(shù)(lnx，arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx)時(shí)，則選u 為反函數(shù);(5)若被積函數(shù)含有 lnf(x)，arcsinf(x)，arccosf(x)，arctanf(x)，arccotf(x)時(shí)，選u = lnf(x)等。這樣，學(xué)生較容易地理解了部分積分公式并用此公式解題。

實(shí)踐證明，只要在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中主動(dòng)、適時(shí)采用上述策略，即注重?cái)?shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用與訓(xùn)練，注重?cái)?shù)形結(jié)合在教學(xué)中的應(yīng)用，適時(shí)展現(xiàn)各知識(shí)模塊的聯(lián)系，經(jīng)常進(jìn)行關(guān)于某一概念的聯(lián)想訓(xùn)練，注重教學(xué)方法的總結(jié)，加之教師對(duì)專業(yè)的熱愛和對(duì)本職工作、對(duì)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度，并不時(shí)地加入一點(diǎn)點(diǎn)風(fēng)趣幽默的元素，就會(huì)使得學(xué)生在輕松和諧中度過(guò)一堂緊張的數(shù)學(xué)課，就會(huì)取得良好的教學(xué)效果。

［1］段 玉.關(guān)于財(cái)經(jīng)類專業(yè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程體系改革探討［J］.教師，2009(3):15 －18.

［2］曹定華，李建平.微積分［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2011.