李 遠，李 振，喬 蘭，李 淼

（北京科技大學 金屬礦山高效開采與安全教育部重點實驗室，北京 100083）

1 引 言

強度理論是力學分析計算的基礎，也是確定工程體安全、穩(wěn)定和工程經(jīng)濟效益的依據(jù)。作為復雜應力狀態(tài)下材料屈服破壞的規(guī)律和計算準則，強度理論表現(xiàn)為應力、應變、時間和溫度的函數(shù)。針對不同材料的強度特性，各國學者提出了眾多的強度理論，其中Mohr-Coulomb 強度理論、Griffith 強度準則、Drucker-Prager 強度準則、統(tǒng)一強度理論和Hoek-Brown 強度準則在巖石力學中具有較大的影響。不同的強度理論一般只能適用于某一類特定的材料[1-5]，如1864年由屈瑞斯卡(Tresca)提出的屈瑞斯卡屈服準則只適用于剪切屈服極限為拉伸屈服極限1/2 的材料；1913年Mises 給出了屈服圓條件，只適用金屬材料；Mohr-Coulomb 強度理論在巖土抗拉強度計算中明顯偏離實際數(shù)據(jù)；Drucker-Prager準則與實驗結果不符[3,5-6]。

20 世紀60年代俞茂宏[6-8]建立了雙剪強度理論，并經(jīng)30年研究修正于1991年提出了統(tǒng)一強度理論（UST），統(tǒng)一強度理論包含了一系列有序變化的極限面和極限線，不僅具有重要的理論意義，而且與很多實驗結果相吻合。統(tǒng)一強度理論中包含了現(xiàn)有的Mohr-Coulomb 強度理論、雙剪強度理論等線性強度準則和Drucker-Prager 準則、Mises 準則等非線性強度準則，覆蓋了單剪強度理論、雙剪強度理論和八面體強度理論，但由于巖土材料由于原生裂隙、工程損傷而出現(xiàn)的非線性強度特性尚無法分析[9]。Hoek-Brown 強度準則是基于實驗擬合的經(jīng)驗性強度準則，其參數(shù)理論意義相比Mohr-Coulomb理論并不明確，但其理論值與試驗數(shù)據(jù)有良好的吻合性，體現(xiàn)了巖石材料非線性特征且結合巖體分級方法可獲得巖體強度參數(shù)等原因在國際巖石力學領域得到了普遍認可和廣泛應用[10-12]，由于Hoek-Brown 準則的參數(shù)理論意義不強和自身非線性等特征，統(tǒng)一強度理論中尚未包含該準則。

脆性剪切破壞是巖石中特有的一種破壞形式，是脆斷破壞與剪切破壞雙重機制作用的結果，兩種破壞機制既有區(qū)別又有聯(lián)系[13-14]。李遠等[13]、隋智力等[15]對水廠鐵礦、玲瓏金礦等深部巖樣進行試驗研究，根據(jù)脆性硬巖聲發(fā)射特征研究提出脆剪雙線性分析方法，研究發(fā)現(xiàn)雙線性脆剪強度曲線與Hoek-Brown 強度曲線具有極其相似的非線性強度特征，提出“Hoek-Brown 準則體現(xiàn)的是一種隨著巖石裂隙發(fā)展從常規(guī)脆-剪性到理想剪切的過渡過程”的觀點[13]。

基于脆性剪切強度的雙線性分析，采用雙線性函數(shù)表征巖體非線性強度變化特性，為實現(xiàn)巖體材料非線性的統(tǒng)一強度模式化提供了必要條件。

2 Hoek-Brwon 強度準則與統(tǒng)一強度理論關系

2.1 統(tǒng)一強度理論及其在巖石力學中的表達形式

統(tǒng)一強度理論認為，最大主剪應力恒等于另外2個主剪應力之和，即3個主剪應力中只有2個獨立分量，因此，選擇其中2個較大的主剪應力作為變量，并根據(jù)中間主應力變化提出一對單元體模型[6-8]。具體表達式為

式中：σ1、σ2、σ3為主應力；b為中間主剪應力及其法向正應力對巖石破壞的影響程度；α為材料單軸抗拉強度σt與抗壓強度比值σc：

雙剪統(tǒng)一強度準則由上下2個半式和相應的限制條件組成，使用時需根據(jù)應力狀態(tài)判斷公式的選擇。公式中應力符號按照彈性力學習慣規(guī)定與巖石力學中規(guī)定相反（拉力為負，壓力為正），需要將其進行變換：

2.2 Hoek-Brown 準則及其與統(tǒng)一強度理論的關系

Hoek-Brown 準則于1985年由霍克(Hoek)和布朗(Brown)根據(jù)各類巖石的試驗結果所提出[12]，其表達式為

式中：m、s為巖體性質(zhì)的常數(shù)（可根據(jù)巖體等級賦值），其他符號意義同前。

2002年Hoek 等[16]為提高準則的準確度和適用性將圍巖開挖擾動影響參數(shù)加入公式中，并討論了將Hoek-Brown準則與Mohr-Coulomb強度理論參數(shù)進行局部近似換算的方法。調(diào)整后的公式為

式中：a為巖體性質(zhì)的常數(shù)。當開挖擾動較小時式（5）與式（4）計算結果基本一致。Hoek-Brown準則與Mohr-Coulomb 理論的參數(shù)對應算法如圖1所示。

在Hoek-Brown 強度準則分析中，不僅考慮了巖體質(zhì)量折減因素，也體現(xiàn)了巖土材料特殊的非線性特征。從圖1 中可見，Hoek-Brown 與Mohr-Coulomb（統(tǒng)一強度理論中不考慮中主應力影響時的特例）兩種強度理論所得結果線形不重合，只能分段近似。

2002年俞茂宏教授等采用類似統(tǒng)一強度理論的變量替換方法將Hoek-Brwon 準則中的主應力變量進行參數(shù)替換（σ3替換成)或σ1替換成)），得到非線性統(tǒng)一強度理論[17]：

圖1 Hoek-Brown 強度準則與Mohr-Coulomb 強度理論主應力關系曲線對比圖[9]Fig.1 Relationships between major and minor principal stress for Hoek-Brown and equivalent Mohr-Coulomb criteria

式中符號意義同前。

替換后的Hoek-Brown 準則將第二主應力的影響考慮到強度計算中，但替換后的公式與原有統(tǒng)一強度理論公式互不相容，只是對統(tǒng)一強度理論變量替換思想的一次應用。2007年俞茂宏教授基于理論分析又提出了新的線性和非線性統(tǒng)一強度理論的形式[9]，但Hoek-Brown 準則已經(jīng)不被包含在內(nèi)。

因此，統(tǒng)一強度理論中目前尚未將巖石力學界廣泛應用的Hoek-Brown 準則及相關巖體非線性強度包含其中。

3 巖體非線性強度的脆剪分析

3.1 脆剪破壞的雙重機制分析

巖石材料存在脆斷和剪切2 種破壞模式，在實驗中表現(xiàn)為：類似劈裂的豎向裂紋破壞和類似剪切的斜裂紋破壞。產(chǎn)生脆斷破壞的巖樣其單軸強度嚴重偏離一般圍壓下的Mohr-Coulomb 強度理論值，而巖石材料隨著圍壓增大其破壞特征有向剪切破壞模式過渡的趨勢[13,18-19]。喬蘭等通過室內(nèi)試驗、理論分析和數(shù)值模擬等研究，提出了脆性硬巖的脆性剪切破壞分析方法[13,15]。脆剪破壞分析中認為，巖石材料的破壞是由脆斷、剪切兩種破壞機制相互作用結果，剪切破壞角度是脆斷破壞中的最優(yōu)開裂角度和剪切破壞時細觀脆斷破壞集群化體現(xiàn)。隨著圍壓的增大，脆斷開裂所需的表面能逐步增大，從而抑制了脆斷破壞的發(fā)展，整體破壞模式向理想剪切方向發(fā)展，因此，巖石材料的強度處于脆斷起始強度與理想剪切強度之間，其中脆斷裂隙擴展起始強度可由聲發(fā)射試驗確定，理想剪切破壞強度由試驗數(shù)據(jù)擬合得到。

脆性剪切破壞可以看作是兩種破壞模式綜合作用的結果，其強度分析公式可表示為

式中：S1為理想脆斷強度；S2為理想剪切強度。

理想脆斷是指材料顯示出類似玻璃的脆性破壞特征，不論在何種圍壓影響下都產(chǎn)生張性折拐裂隙貫通的脆斷破壞形式，不包含剪切破壞因素（裂隙沿原有走向發(fā)展）。理想剪切強度是指破壞中無裂隙的張性折拐破壞發(fā)展，材料破壞形式符合Mohr-Coulomb 理論，與水平呈（45°+φ/2）角度。

工程巖體破壞不只是幾條具有簡單組合關系的裂縫受力擴展的結果，所以斷裂力學的具體公式難以使用。巖石斷裂力學研究發(fā)現(xiàn)，雙裂縫、3 裂縫情況下強度會按比例折減[14]，Andersson 等也發(fā)現(xiàn)室內(nèi)巖樣的裂隙初始應力即呈線性發(fā)展的聲發(fā)射強度可作為現(xiàn)場巖體強度的下限值[20]，而從理論分析中也可以得到理想脆斷的最大、最小主應力是線性關系[14-15]，所以式（7）中的理想脆斷強度公式可取為

式中：C1、C2為待定參數(shù)。

理想剪切強度理論上的解釋：當圍壓大到一定程度，試樣中沒有脆性斷裂產(chǎn)生的理想破壞狀態(tài)。此時破壞面完全按照Mohr-Coulomb 強度理論的破壞角度破壞。具體形式可以選用Mohr-Coulomb 模型作為理想剪切強度：

式中：D1、D2為待定參數(shù)。

如上所述，理論上巖石破壞是兩種破壞模式綜合影響的結果，所以引入一個系數(shù)d 來描述整體破壞中脆斷破壞和剪切破壞的影響程度。混合強度公式為

式中：C1、C2、D1、D2為材料強度參數(shù)，由試驗獲得；d為表征脆性向剪切過渡的系數(shù)，數(shù)值大小為0～1。

脆剪d 系數(shù)呈現(xiàn)出隨圍壓的增長而近似雙曲線下降的規(guī)律，李遠等[12]提出d 系數(shù)與圍壓關系可采用e 指數(shù)關系擬合，將e 指數(shù)形式代入式（10），得到脆性剪切破壞模式下強度分析公式的完整形式：

式中：k1、k2均為計算系數(shù)；e為自然對數(shù)，其他符號意義同前。

式（11）中部分參數(shù)根據(jù)試驗數(shù)據(jù)擬合得到，其單位綱量在計算中容易產(chǎn)生混亂，因此參考Hoek-Brown 準則處理相關問題的方法，將式（11）進行無綱量標準化變形，可得

式中：σ1n=σ1/σc；σ3n=σ3/σc。

3.2 Hoek-Brown 準則的脆剪強度分析

在多組試驗數(shù)據(jù)的對比分析中，脆剪強度（見式（12））體現(xiàn)出與Hoek-Brown 準則極高的相關性?，F(xiàn)以Mine-by 隧道試驗數(shù)據(jù)[21-22]為例，進行Hoek-Brown 準則的脆剪擬合的線性分解。

如圖2 所示，Mine-by 實驗隧道現(xiàn)場及室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)顯示，巖體強度符合Hoek-Brown 準則規(guī)律。由脆剪破壞分析可知，式（12）中，第一項為理想脆斷破壞分量，其強度為脆性破裂起始強度，可采用聲發(fā)射法進行測定；第二項為理想剪切強度分項，其具體參數(shù)需要采用試驗數(shù)據(jù)的回歸分析得到。參數(shù)計算采用最小二乘曲線擬合算法，采用Matlab 語言計算。

具體步驟為

①由試驗數(shù)據(jù)得出Hoek-Brown準則相關參數(shù)，（見圖2），Mine-by 隧道試驗得到相關參數(shù)m=28.11，s=1，σc=224 MPa[16,18]。由此得到相應強度公式：

②根據(jù)聲發(fā)射試驗數(shù)據(jù)規(guī)律，確定脆剪分析第一項（見式（8））相關參數(shù)。如圖2 所示，Mine-by隧道裂隙初始強度（聲發(fā)射實驗中凱瑟點對應的應力值大小）可確定：C1=1.5，C2=71 MPa。

圖2 Lac du Bonnet 花崗巖Hoek-Brown 峰值強度及裂隙初始應力包絡線[16,18]Fig.2 Strength values of Lac du Bonnet granite under different stresses and curve is fitted by Hoek-Brown criterion[16,18]

③給出擬合數(shù)據(jù)：x=[0,1,2,…,10,20,…,150]（以第三主應力為自變量）；y=[… …],(以第一主應力為變量，計算公式采用Hoek-Brown 準則)。

④按照式（13）寫出擬合計算函數(shù)。

⑤循環(huán)迭代，逐次降低殘差，直至迭代精度滿足要求，此次計算迭代次數(shù)為1 000 次，迭代函數(shù)為lsqcurvefit，算法為最小二乘非線性擬合。

擬合可得Hoek-Brown 準則脆剪分解后相應的計算參數(shù)為：C1=1.500 0，C2=71.000 0 MPa，k1=-16.105 6，k2=-0.736 5，D1=5.863 5，D2=367.034 4 MPa。將其代入式（11）可得

或標準化格式（由圖2 可知單軸抗壓強度σc=224 MPa）：

將式（15）與原Hoek-Brown 強度公式計算結果進行對比，結果見表1。

Hoek-Brown 準則基于大量試驗數(shù)據(jù)的擬合、分析，提出了巖石、巖體相關系數(shù)折減折算方法，在巖石、巖體力學分析中具有其他強度理論缺少的量化處理材料尺度與強度關系的功能。采用脆剪強度分析，也可以對折算后的巖體強度關系進行過渡式雙線性分解。采用Lac du Bonnet 花崗巖實驗室完整巖塊強度數(shù)據(jù)，基于Hoek-Brown 準則的巖體強度折減算法給出相關巖體強度關系并進行脆剪分析，結果見表2。由表可知，巖體折減后脆剪分析仍然能得到與原Hoek-Brown 巖體準則強度值相關度較高的分解公式。但當巖體質(zhì)量較差時（表2 中質(zhì)量一般的巖體），巖體單軸抗壓強度已經(jīng)降低到裂隙初始強度（71 MPa）以下，在強度擬合時參數(shù)D2（上限強度線的截距）出現(xiàn)了負值，說明在質(zhì)量很差時巖體受宏觀裂隙切割，破壞時應力尚未使微裂隙擴展時宏觀裂隙已經(jīng)擴展至巖體破壞，此時無脆斷破壞產(chǎn)生。因此，脆剪分析適用于巖體單軸強度大于微裂隙擴展應力的情況。

3.3 基于脆剪分析的北山花崗巖強度試驗數(shù)據(jù)擬合實例

以北山花崗巖（埋深560～580 m）為研究對象，進行結合聲發(fā)射監(jiān)測的三軸強度試驗，得到巖石裂隙初始應力、裂隙貫通應力和峰值應力的強度包絡線。對試驗數(shù)據(jù)進行Hoek-Brown 準則和脆剪強度分解的數(shù)據(jù)分析，得到二者與實際數(shù)據(jù)的相關性指標。

表1 Hoek-Brown 強度與脆剪強度對比Table 1 Strength values comparison between Hoek-Brown criterion and brittle-shear strength

表2 脆剪分析擬合Hoek-Brown 準則巖體強度結果對比Table 2 Brittle-shear analysis fitting values based on rock mass strength given by Hoek-Brown criterion

圖3 基于脆剪分析強度分解結果與Hoek-Brown 強度比較Fig.3 Comparison between brittle-shear strength analysis and Hoek-Brown criterion curves

針對各圍壓條件下的實驗進行聲發(fā)射監(jiān)測，獲取各特征階段強度參數(shù)，曲線如圖4 所示，試驗結果如圖5 所示，擬合結果見表3。根據(jù)試驗結果，擬合得到Hoek-Brown 準則峰值強度函數(shù)關系式：

對裂隙初始強度進行線性回歸，可得

數(shù)據(jù)擬合后可得脆剪強度公式：

如表3 所到，針對試驗數(shù)據(jù)的脆性剪切強度擬合結果與Hoek-Brown 強度擬合結果具有很好的一致性，且均能體現(xiàn)巖石類材料強度上的非線性特征，均與實際試驗數(shù)據(jù)有很高的相關性，在相關試驗數(shù)據(jù)分析中具有可替代性。

圖4 圍壓為1 MPa時巖樣應力-應變曲線及累積聲發(fā)射事件數(shù)變化規(guī)律Fig.4 Curves of stress-strain and acoustic emission count vs.strain when confining pressure is 1 MPa

圖5 峰值強度數(shù)據(jù)擬合曲線對比Fig.5 Fitting curves comparison between brittle-shear strength and Hoek-Brown strength

表3 試驗數(shù)據(jù)擬合Table 3 Fitting values of Hoek-Brown strength and brittle-shear strength

4 基于脆剪分析的巖體非線性強度準則的統(tǒng)一強度形式

分析可知，脆剪強度為過渡式雙線性強度理論，類似Hoek-Brown 準則可以表征巖體非線性強度特性，同時具有線性強度理論的特征，因此可以將其整理為統(tǒng)一強度理論形式。由式（12）得到脆剪整體強度由理想脆斷強度和理想剪切強度組成，分別為

首先將f1改寫成統(tǒng)一強度理論形式，由式（3）可知，當時，σt1，兩邊同除以，α1可得σc1，所以，。對比式（17）可知，當b=0時，，代入后可得

同理，式（23）的統(tǒng)一強度理論形式為

將兩種強度公式的統(tǒng)一強度理論形式（即式（20）、式（21））代入式（12），可得

式（22）為脆剪分析后的統(tǒng)一強度理論形式，當中主應力影響系數(shù)b=0時，第二主應力對強度無影響，式（22）退化為式（12）。同理，當 σ2=σ1或σ2=σ3時，式（22）=式（12），此時應力強度等同于常規(guī)三軸試驗強度。當C1=D1，且C2=D2時，式（22）退化為線性統(tǒng)一強度理論。

5 結 論

（1）脆性剪切破壞分析包括了定性的理論分析和擬合的數(shù)學公式兩方面內(nèi)容，其中理論分析認為巖石、巖體材料破壞是脆斷與剪切破壞共同作用的結果。數(shù)據(jù)擬合分析認為，巖石、巖體的非線性特征是材料隨著圍壓增大而從一種強度逐漸向另一種強度過渡的過程。

（2）相關數(shù)據(jù)處理結果顯示脆剪強度與Hoek-Brown 準則在一定條件下具有較高一致性，能夠體現(xiàn)巖體非線性特征，是否具有等效關系需做進一步研究證明。脆剪強度分析與Hoek-Brown 強度準則均與實驗數(shù)據(jù)高度相關，計算中具有相互替代性，脆剪強度分析可針對具體的Hoek-Brown 準則進行過渡式雙線性分解。進行巖體強度折減時可將巖體的折減強度通過脆剪分析代入統(tǒng)一強度理論中，得到巖體在考慮中主應力影響下的強度特征，但脆剪分析僅適用于巖體單軸強度大于裂隙初始應力的情況。

（3）脆剪強度公式體現(xiàn)應力水平增長引起裂隙閉合而脆性破壞減少的規(guī)律，形式上由兩種線性強度與一個過渡參數(shù)組成，易于理解。具體參數(shù)可通過試驗數(shù)據(jù)的線性回歸和e 指數(shù)回歸一次得出。

（4）在進行巖體非線性準則的統(tǒng)一強度化過程中，由于目前缺少真三軸實驗條件，推導中假設脆剪分解后兩種強度均遵循與統(tǒng)一強度理論相一致的中主應力影響規(guī)律。

（5）當不考慮中間主應力影響（b=0）時，或假三軸條件時（σ2=σ1或σ2=σ3），脆剪分析后的統(tǒng)一強度化公式形式退化為常規(guī)脆剪強度公式；當兩種極限強度參數(shù)相同時，公式退化回線性統(tǒng)一強度理論。

脆剪分析實現(xiàn)了非線性強度理論的雙線性過渡式分解，實現(xiàn)了巖體非線性特征的強度理論統(tǒng)一化。使統(tǒng)一強度理論包含了經(jīng)驗性強度準則的非線性、巖體強度折減等特征，提高了統(tǒng)一強度理論在巖石、巖體強度尤其是硬巖破壞分析中的適用性和準確度。

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