方宏偉，李長(zhǎng)洪，李 波

（1.遼寧交通高等?？茖W(xué)校 道橋系，沈陽(yáng) 110122；2.北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083）

1 引 言

邊坡穩(wěn)定性分析主要是條分法和有限元法，包括計(jì)算安全系數(shù)和搜索臨界滑裂面兩方面[1]。條分法局限性是需假定滑裂面的位置[2]，有限元法分為滑裂面應(yīng)力分析法和強(qiáng)度折減法兩類，前者為有限元與極限平衡理論的結(jié)合，仍需假定和搜索臨界滑裂面，后者克服了前者的不足，但對(duì)邊坡臨界破壞的失效判據(jù)學(xué)術(shù)界尚無(wú)統(tǒng)一的意見[3]，而且不同程序計(jì)算的結(jié)果也不一致，因此有限元法還不能夠替代極限平衡法[4]。為解決上述問(wèn)題，學(xué)者們一方面努力尋找準(zhǔn)確可靠的搜索方法[5]，另一方面不斷提出新觀點(diǎn)，例如，朱大勇等[6]認(rèn)為直接求解最小安全系數(shù)是解決問(wèn)題的突破口，并提出了邊坡臨界滑動(dòng)場(chǎng)法。以上都是從力的角度進(jìn)行研究的，陳震[7]認(rèn)為可按邊坡變形發(fā)展過(guò)程定量估定穩(wěn)定性，提出可用破壞坡度與實(shí)際坡度之比作為安全系數(shù)，并指出聯(lián)系變形發(fā)展情況還可能有其他表達(dá)形式。

滑移線法在邊坡中的應(yīng)用主要是計(jì)算無(wú)重邊坡極限荷載[8]，近年來(lái)已有學(xué)者認(rèn)為滑移線具有更重要的意義，并且提出與有限元法結(jié)合確定滑裂面[9]，張?zhí)鞂毜萚10]認(rèn)為該理論對(duì)土石壩合理邊坡形狀設(shè)計(jì)具有啟發(fā)意義，并與高廣巖等[11]通過(guò)有限元論證堆石壩合理邊坡形狀是凹形曲面的結(jié)論相一致?；谝陨涎芯浚赃吰伦冃瘟吭u(píng)價(jià)其穩(wěn)定性為出發(fā)點(diǎn)，本文提出應(yīng)用滑移線場(chǎng)理論計(jì)算得到的極限坡面曲線分析邊坡穩(wěn)定性的新方法，稱極限曲線法。計(jì)算極限坡面曲線有2 種方法即Sokolovskii[7]研究得出的特征線法差分方程組和Cehkob 根據(jù)試驗(yàn)得到的極限穩(wěn)定邊坡曲線方程近似公式[10]，限于篇幅，本文不列出相關(guān)公式。對(duì)應(yīng)的極限曲線法也分為稱S曲線法（S curve method，SCM）和稱C 曲線法（C curve method，CCM），采用Matlab 編程計(jì)算，筆者可提供源程序。通過(guò)經(jīng)典考題與典型算例及34個(gè)邊坡樣本[2]的驗(yàn)算考察方法合理性和結(jié)果可靠性，進(jìn)行因素敏感性分析，并應(yīng)用于露天礦邊坡穩(wěn)定性和最終邊坡角的分析與確定。

2 極限曲線法簡(jiǎn)介

2.1 基本概念與公式

滑移線法已計(jì)算得到了無(wú)重度邊坡極限荷載，對(duì)于有重度邊坡則要求坡面為凹形曲面才能求得解析解[8]，本文采用該計(jì)算逆過(guò)程。對(duì)于有重度邊坡，在極限荷載作用下坡面形狀應(yīng)為凹形曲面，二維坐標(biāo)下為凹形曲線，需要說(shuō)明的是，即使邊坡所受荷載不是極限荷載也可以求得極限坡面曲線，這條曲線是將現(xiàn)有荷載定義為極限荷載后邊坡極限平衡狀態(tài)下的坡面形狀。將地基線以上邊坡體放入第一象限，以坡腳為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)坡高為H,F1(x)為極限坡面曲線擬合二次函數(shù)，當(dāng)F1(x)與正x 軸的交點(diǎn)x11＞0時(shí)，將坡面線與極限坡面曲線之間的面積S1和坡面線與正x 軸所成面積S2之比定義為安全度（degree of safety，DOS），見圖1。設(shè)坡腳到坡頂橫坐標(biāo) x22，S2=x22H/2，極限坡面曲線與正x 軸所成面積，則S1=S2-S3，DOS=S1/S2，DOS 越大穩(wěn)定性越好，值域?yàn)?0,1)，以極限坡面曲線與坡面線相交為變形破壞準(zhǔn)則，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1與x22之比的負(fù)值定義為破壞度DOF，見圖2。此時(shí)，x11＜0，DOF=-x1/x22，DOF 越小，穩(wěn)定性越差，值域?yàn)?-1,0)。由以上分析可知，x11為變形破壞準(zhǔn)則判斷值。

強(qiáng)度折減法構(gòu)筑一個(gè)與真實(shí)邊坡相同輪廓的“虛擬”邊坡，強(qiáng)度指標(biāo)縮減，縮減的系數(shù)即安全系數(shù)。極限曲線法正好是這個(gè)方法的對(duì)偶過(guò)程，即強(qiáng)度指標(biāo)不變，但坡面縮減變形，按其變形量評(píng)價(jià)穩(wěn)定性，因此不必假設(shè)和搜索臨界滑動(dòng)面。

圖1 DOS 計(jì)算示意圖Fig.1 Calculation sketch of DOS

圖2 DOF 計(jì)算示意圖Fig.2 Calculation sketch of DOF

2.2 算法函數(shù)與流程

極限曲線法函數(shù)：

式中：γ為重度(kN/m3)；c為黏聚力(kPa)；φ為內(nèi)摩擦角(°)；α為坡度(°)；N1為主動(dòng)區(qū)邊界步長(zhǎng)數(shù)；N2為過(guò)渡區(qū)邊界步長(zhǎng)數(shù)；Δx為SCM（S 曲線法）主動(dòng)區(qū)邊界步長(zhǎng)(m)，CCM（C 曲線法）時(shí)將Δx改為 Δy=H/N1，其中N1為H 剖分?jǐn)?shù)，無(wú)N2；f1為SCM/CCM，F(xiàn)0(x)為邊坡坡面函數(shù)（本文為過(guò)原點(diǎn)的一次函數(shù)）；f2為章節(jié)2.1 求DOS、DOF 的方法。

采用準(zhǔn)確率最高的3 次樣條差值[12]計(jì)算x11，該法可以回避插值問(wèn)題的Runge 現(xiàn)象，又是連續(xù)光滑的。為保證F1(x)與x 軸有交點(diǎn)，要求F1(x)縱坐標(biāo)最小值ymin＜-1。對(duì)SCM 法，從理論上講，應(yīng)x11＞0時(shí)，x1＜0；x11＜0時(shí)，x1＞0，但由于F1(x)隨著取點(diǎn)變化而發(fā)生多項(xiàng)式擺動(dòng)[13]，會(huì)產(chǎn)生x11＜0時(shí)x1＜0的情況，此時(shí)DOS/DOF=0，當(dāng)坡面無(wú)荷載時(shí)，滿足計(jì)算條件的坡頂最小荷載[7]Pmin=ccot φ·(1+sinφ)/(1-sinφ)，此時(shí)無(wú)過(guò)渡區(qū)，則N2=0，而CCM法不存在上述2個(gè)問(wèn)題，計(jì)算流程見圖3。

圖3 算法流程圖Fig.3 Algorithm flow chart

3 考題和算例驗(yàn)算與樣本分析

王國(guó)體[2]建立了邊坡穩(wěn)定性應(yīng)力狀態(tài)法，引用了其他文獻(xiàn)的大量例題，為便于比較，本文例題皆取之于該文獻(xiàn)，不同之處是用陳祖煜[1]的經(jīng)典考題b 代替c。

3.1 經(jīng)典考題與典型算例的驗(yàn)算

考題a 的參數(shù)為γ=20 kN/m3，c=3 kPa，φ=19.6°，α=27°，H=10 m。考題b 的參數(shù)為γ=20 kN/m3，c=32 kPa，φ=10°，α=27°，H=10 m。檢驗(yàn)有限元強(qiáng)度折減法的典型算例參數(shù)為γ=20 kN/m3，c=42 kPa，φ=17°，α為變化范圍為[30°，50°]，均分5個(gè)區(qū)間計(jì)算，H=20 m。

由于SCM 法采用特征線差分法，而擬線性雙曲型微分方程組沒(méi)有惟一解[14]，相應(yīng)的數(shù)值方法也具有類似的特點(diǎn)，即SCM 計(jì)算的DOS、DOF 會(huì)隨著邊界條件不同而發(fā)生變化。為考察該法穩(wěn)定性，采用不同的Δx 和N1及節(jié)點(diǎn)數(shù)k 計(jì)算分析，結(jié)果見表1、2。隨著Δx 的減小和N1與k 的增加，計(jì)算精度隨之增加，計(jì)算結(jié)果表明SCM 法穩(wěn)定。計(jì)算范圍影響分析見表3、4。當(dāng)Δx 不變，N1增加時(shí)k 變多，對(duì)函數(shù)擬合有影響，DOS、DOF 會(huì)發(fā)生變化，但x11不變，說(shuō)明解的變化完全是由于擬合振蕩產(chǎn)生的，對(duì)邊坡穩(wěn)定性的判斷不會(huì)產(chǎn)生影響。由于計(jì)算機(jī)性能的限制，N1不可能取得很大，本文計(jì)算N1≤999。CCM 法沒(méi)有穩(wěn)定性問(wèn)題。

表1 經(jīng)典考題SCM 法穩(wěn)定性分析Table 1 Stability analysis of SCM

表2 典型算例SCM 法穩(wěn)定性分析(不同坡度)Table 2 Stability analysis of SCM(different slope)

表3 經(jīng)典考題SCM 法計(jì)算范圍的影響分析Table 3 Calculation influence range of SCM

表4 典型算例SCM 法計(jì)算范圍的影響(Δx=0.02 m)Table 4 Calculation influence range of SCM(Δx=0.02 m)

不同坡度SCM 法(Δx=0.02 m)計(jì)算圖如圖4 所示，其中的三角形為原邊坡體，陰影區(qū)域?yàn)橛?jì)算得到的極限穩(wěn)定狀態(tài)邊坡體，CCM 法(Δy=0.001 m)計(jì)算圖例如圖5 所示，其中上側(cè)邊線包含的三角形為原邊坡體，下側(cè)邊線包含的是極限穩(wěn)定狀態(tài)邊坡體，隨著邊坡角增大，安全系數(shù)逐漸變小，邊坡穩(wěn)定性變差，DOS、DOF 也在變小，x11由大于0 變?yōu)樾∮?，即極限坡面曲線與x 軸的交點(diǎn)逐漸向左偏移；當(dāng)x11＜0時(shí)，極限坡面曲線與坡面相交，且安全系數(shù)越小，x11越小，極限坡面曲線與坡面相交點(diǎn)x1越大，由此證明了變形破壞準(zhǔn)則的正確性。

DOS、DOF 與安全系數(shù)對(duì)比見表5。安全系數(shù)較大時(shí)，SCM 法、CCM 法與其具有可比性；當(dāng)安全系數(shù)變小時(shí)，SCM 法、CCM 法偏于保守，且CCM法保守程度大于SCM 法，原因應(yīng)該是相對(duì)于坡頂無(wú)荷載的初始條件，SCM 法計(jì)算時(shí)在坡頂附加了最小荷載值，而CCM 法將坡頂以下部分邊坡體自重作為外荷載。

3.2 樣本計(jì)算與正確率分析

圖4 不同坡度的SCM 計(jì)算圖(典型算例)Fig.4 SCM diagram in different angles(typical example)

圖5 不同坡度的CCM 計(jì)算圖(典型算例)Fig.5 CCM diagram in different angles(typical example)

取文獻(xiàn)[2]中（去掉c=0 和φ=0 的實(shí)例）共34個(gè)邊坡樣本并按原序列重新排序，計(jì)算結(jié)果見表6。分析可知，安全系數(shù)法計(jì)算正確率為67.7%，應(yīng)力狀態(tài)法為73.5%，CCM 法為79.4%，SCM 法為70.6%，SCM 法判斷錯(cuò)誤的樣本安全系數(shù)法也都判斷錯(cuò)誤，CCM 法判斷錯(cuò)誤最少。

4 因素敏感性分析

按王國(guó)體[2]的作法，分析SCM 法、CCM 法在不同坡度下各因素變化對(duì)DOS、DOF 的敏感性，增加了坡高H 一項(xiàng)，計(jì)算結(jié)果分別見表7、8。安全系數(shù)法中各因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響趨勢(shì)是[15]：?jiǎn)我粎?shù)變化而其他參數(shù)固定，重度γ、邊坡角α、坡高H 增加時(shí)，邊坡穩(wěn)定性降低，而黏聚力c 和摩擦角φ增加時(shí)，邊坡穩(wěn)定性增大。由各個(gè)表格數(shù)據(jù)可知SCM 法、CCM 法因素敏感性結(jié)論與安全系數(shù)法完全一致。

5 露天礦邊坡工程應(yīng)用

鞍鋼集團(tuán)鞍山礦業(yè)公司大連石灰石礦（原名大連甘井子石灰石礦）是鞍鋼主要的輔料基地，在進(jìn)行-50 m 深部開拓和南幫擴(kuò)采2 項(xiàng)工程中，南幫擴(kuò)采后最終邊坡角等參數(shù)的確定是保證礦山安全生產(chǎn)的前提，因此邊坡穩(wěn)定性及參數(shù)研究成為礦山公司立項(xiàng)研究的重要內(nèi)容[16]。通過(guò)工程類比分析，臨界安全系數(shù)值確定為1.20～1.25，考慮爆破和地下水時(shí)安全系數(shù)為1.40～1.45。石灰?guī)r巖體參數(shù)：重度γ=26.5 kN/m3，黏聚力c=225 kPa，內(nèi)摩擦角為φ=36°，坡高H 的敏感度分析選用135 m，設(shè)最終邊坡角為α0，其敏感度分析選用50°、55°、60°、65°，計(jì)算結(jié)果見表9，其中SCM 法邊界參數(shù)為Δx=0.5 和N1=100，CCM 法邊界參數(shù) Δy=0.013 5 和N1=10 000，SCM 法和CCM 法α=65°時(shí)為DOF 情形，則最終邊坡角應(yīng)α0＜65°，這與原報(bào)告初步確定最終邊坡角α0=55°～60°的結(jié)論一致。選擇不同高度4個(gè)剖面進(jìn)行穩(wěn)定性分析，計(jì)算結(jié)果見表10，可知SCM 法、CCM 法與安全系數(shù)法結(jié)論一致，即在上述參數(shù)條件下邊坡處于穩(wěn)定狀態(tài)。

當(dāng)巖體強(qiáng)度參數(shù)取最小值 cmin=200 kPa 和φmin=33°時(shí)，原報(bào)告推薦最終邊坡角 α0=55°～58°，且局部會(huì)有滑坡風(fēng)險(xiǎn)。4個(gè)剖面在邊坡角為55°～60°時(shí)，安全系數(shù)法和SCM 法計(jì)算結(jié)果見表11，可知當(dāng)α=60°時(shí)，H=128 m 剖面對(duì)應(yīng)SCM法為DOF 情形，說(shuō)明最終邊坡角應(yīng)為α0＜60°，SCM 法結(jié)論與原報(bào)告一致，即α0=55°～58°。由表11 分析可知，按臨界安全系數(shù)值為1.40，則由安全系數(shù)確定的最終邊坡角，除H=106m 剖面為α0=58°，其余均應(yīng)α0＜55°，CCM 計(jì)算結(jié)果見表12。由表可知不同高度剖面具有不同α0，如H=128 m時(shí)，α0=55°，H=116 m時(shí)，α0=57°，H=106 m時(shí)，α0=59°，H=120 m時(shí)，α0=56°，可見CCM 法更有利于工程實(shí)踐，且各剖面α0普遍提高了1°～2°。

表5 DOS 法、DOF 法與安全系數(shù)的對(duì)比Table 5 Comparison of DOS/DOF and safety factor

表6 樣本分析與結(jié)果對(duì)比Table 6 Sample analysis and result comparison

表7 SCM 參數(shù)敏感性計(jì)算(不同坡度)Table 7 SCM parameter calculation(different slopes)

表8 CCM 參數(shù)敏感性計(jì)算(不同坡度)Table 8 CCM parameter calculation(different slopes)

表9 坡高(135 m)與最終邊坡角敏感性分析Table 9 Sensitivity calculation of slope high(135 m)and ultimate pit slope

表10 不同剖面穩(wěn)定性計(jì)算Table 10 Stability calculation of different profiles

表11 最小參數(shù)不同剖面SCM 穩(wěn)定性計(jì)算Table 11 Different profile stability SCM calculation of the minimum parameters

表12 最小參數(shù)不同剖面穩(wěn)定性CCM 法計(jì)算Table 12 Different profile stability CCM calculation of the minimum parameters

6 討 論

對(duì)滑移線場(chǎng)理論，有學(xué)者認(rèn)為其計(jì)算復(fù)雜，通用性差，在邊坡工程中無(wú)實(shí)用價(jià)值。實(shí)際上，數(shù)值方法普遍具有復(fù)雜性，這就需要計(jì)算機(jī)軟件和編程語(yǔ)言的支持[17]。本文采用Matlab 編程，盡管節(jié)點(diǎn)數(shù)量巨大，但時(shí)間成本很低，對(duì)于SCM 法，采用有限差分法，在N1=999時(shí)第一次運(yùn)算40 min 左右，由于計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存功能二次計(jì)算N1不超過(guò)第一次則1 min 以內(nèi)便可完成。CCM 法為試驗(yàn)方程近似公式，當(dāng)N1=104時(shí)運(yùn)算時(shí)間也只要1 min 左右。近40 多年來(lái)，學(xué)者們一直沒(méi)有停止過(guò)對(duì)滑移線場(chǎng)理論的研究，在不同工程領(lǐng)域不斷提出新觀點(diǎn)，如在土壓力中的應(yīng)用[18]，在地基承載力中的應(yīng)用[19-20]等。本文通過(guò)大量例題和露天礦邊坡工程的計(jì)算數(shù)據(jù)證明了基于滑移線場(chǎng)理論的均質(zhì)邊坡穩(wěn)定性極限曲線法的合理性和實(shí)用性。

7 結(jié) 論

（1）以邊坡坡面變形量評(píng)價(jià)其穩(wěn)定性為出發(fā)點(diǎn)，提出了基于滑移線場(chǎng)理論的均質(zhì)邊坡極限曲線法，由理論分析可知，該法是求有重邊坡極限荷載逆過(guò)程，也是強(qiáng)度折減法對(duì)偶過(guò)程。根據(jù)計(jì)算極限坡面曲線方法的不同，將其分為基于特征線法差分方程組的SCM 算法和基于試驗(yàn)極限穩(wěn)定邊坡曲線方程近似公式的CCM 算法。以極限坡面曲線與坡面相交為變形破壞準(zhǔn)則，定義了安全度（DOS）和破壞度（DOF）2個(gè)穩(wěn)定性評(píng)價(jià)指標(biāo)。

（2）由經(jīng)典考題和典型算例的驗(yàn)算說(shuō)明SCM法穩(wěn)定，典型算例的計(jì)算數(shù)據(jù)與圖例證明了變形破壞準(zhǔn)則的正確性，以上2個(gè)例題的計(jì)算結(jié)果表明，安全系數(shù)較大時(shí)，SCM 法和CCM 法與其具有可比性，由于計(jì)算時(shí)增加了外荷載，故安全系數(shù)變小時(shí)，SCM 法和CCM 法偏于保守。34個(gè)樣本正確率：安全系數(shù)法為67.7%，應(yīng)力狀態(tài)法73.5%，CCM 法為79.4%，SCM 法為70.6%，表明該法正確率較高，計(jì)算結(jié)果可靠。

（3）SCM 法和CCM 法因素敏感性分析結(jié)論與安全系數(shù)法一致。應(yīng)用于露天礦邊坡穩(wěn)定性和最終邊坡角的分析與確定，兩種計(jì)算結(jié)果與原報(bào)告結(jié)論一致，當(dāng)參數(shù)變小時(shí)，CCM 法更有利于工程實(shí)踐，表明該法具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

（4）SCM 法和CCM 法采用Matlab 編程，時(shí)間成本低廉，且不必假設(shè)和搜索臨界滑動(dòng)面。對(duì)c=0和φ=0 的情況尚需研究并編入程序，對(duì)非均質(zhì)情形，筆者已完成了成層土質(zhì)邊坡穩(wěn)定性極限曲線法的研究工作，對(duì)更加一般的非均質(zhì)情形尚需進(jìn)一步研究。本文的極限曲線法具有探索性，需要更多的工程實(shí)踐檢驗(yàn)。

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