周曉龍，馬 亢，錢(qián) 明，劉德穩(wěn)，趙 琦

（1.杭州科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院 城市建設(shè)學(xué)院，杭州 311402；2.廈門(mén)大學(xué) 土木工程系，福建 廈門(mén) 361005；3.中國(guó)石油天然氣華東勘察設(shè)計(jì)研究院 巖土工程處，山東 青島 266071；4.西南林業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，昆明 650000；5.北方工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100144）

1 引 言

計(jì)算擋土墻被動(dòng)土壓力的2個(gè)參數(shù)是被動(dòng)土壓力系數(shù)Kawn和豎向平均應(yīng)力。眾多的室內(nèi)試驗(yàn)及模型測(cè)試表明[1-3]，擋土墻被動(dòng)土壓力呈非線性分布，并且與墻體的位移模式有較大的關(guān)系，傳統(tǒng)的Rankine 及Coulomb 理論無(wú)法解釋這種現(xiàn)象，為了解釋這種現(xiàn)象及找到合適的計(jì)算理論，林宇亮等[4]、王元戰(zhàn)等[5]分別采用水平層分析法對(duì)其進(jìn)行了研究，但假定基底應(yīng)力是均勻分布，未考慮主應(yīng)力旋轉(zhuǎn)的影響即土拱效應(yīng)的影響。

土拱效應(yīng)作為自然界常見(jiàn)的一種現(xiàn)象，自Terzaghi 通過(guò)著名的活動(dòng)門(mén)試驗(yàn)后[6]，許多學(xué)者都致力于將土拱效應(yīng)原理應(yīng)用于求解擋土墻被動(dòng)土壓力，如彭述權(quán)等[7]、李永剛等[8]、吳明等[9]、侯鍵等[10]、王立國(guó)等[11]，這些研究主要集中于土拱效應(yīng)在砂性土中的研究。

被動(dòng)土壓力系數(shù)的影響因素主要有土拱形狀和滑裂面傾角。關(guān)于土拱現(xiàn)狀的討論于20 世紀(jì)80年代曾進(jìn)行過(guò)較為詳盡的討論[12]，普遍認(rèn)為土拱形狀與圓弧均較為接近[13-14]。而滑裂面傾角的選擇上多數(shù)學(xué)者[7,9,13-14]傾向于選擇朗肯滑裂面傾角。豎向平均應(yīng)力的求解主要有兩種方法：一種是采用Rankine 的應(yīng)力狀態(tài)思想，類(lèi)似于求解主動(dòng)土壓力時(shí)，如PAIK 等[13]、涂兵雄等[14]基于滑裂面處點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)來(lái)計(jì)算。另一種方法采用Coulomb 的靜力平衡思想，即基于水平微分層靜力平衡法[7-11]。為了研究這兩種方法的適用性，對(duì)比研究考慮土拱效應(yīng)后的兩種方法求解結(jié)果是必要的。

基于前面所述2個(gè)參數(shù)的計(jì)算方法，即可得到考慮土拱效應(yīng)的擋土墻被動(dòng)土壓力計(jì)算方法，并可推導(dǎo)出被動(dòng)土壓力合力，作用點(diǎn)高度求解公式。

2 被動(dòng)土壓力系數(shù)

如圖1 所示，坐標(biāo)平移的方式，新舊坐標(biāo)系的關(guān)系為

式中：σ′、σ 分別為正應(yīng)力在新舊坐標(biāo)系的值；σ0為黏結(jié)應(yīng)力。

圖1 擋土墻后土體應(yīng)力摩爾圓Fig.1 Mohr circle for stress behind wall

大主應(yīng)力軌跡線如圖2 所示，分析時(shí)需要做如下假定：

（1）A 點(diǎn)處墻土摩擦力滿足：

式中：cw為墻土黏聚力；c為黏聚力；φ為內(nèi)摩擦角；δ為墻土摩擦角。

即滿足：

（2）滑裂面為直線，且傾角為滿足朗肯分析結(jié)果，滑裂面β=π/4-φ/2。

被動(dòng)土壓力側(cè)向土壓力系數(shù)定義為

根據(jù)文獻(xiàn)[9]的分析，點(diǎn)A 的應(yīng)力狀態(tài)為小主應(yīng)力的偏轉(zhuǎn)角：

水平力在變換坐標(biāo)系下

豎向力在變換坐標(biāo)系下

圖2 擋土墻后大主應(yīng)力軌跡線Fig.2 Trajectory of major principal stresses behind retaining wall

任意一點(diǎn)D 的豎向應(yīng)力在變換坐標(biāo)系下有

如圖2 所示，D 點(diǎn)取寬度為dL，其豎向力為

土拱的半徑R為

則可知豎向平均應(yīng)力在變換坐標(biāo)系下有

式中：Kp為朗肯被動(dòng)土壓力系數(shù)，大小為tan2(π/4+φ/2)。由式（11）可知砂性土被動(dòng)土壓力側(cè)向土壓力系數(shù)定義為

退化為砂土?xí)r被動(dòng)土壓力側(cè)向土壓力系數(shù)為

砂土與黏性土最大的區(qū)別在于黏性土側(cè)向土壓力系數(shù)沿著墻高不變，而黏性土是變化的。

3 豎向平均應(yīng)力求解

3.1 應(yīng)力狀態(tài)法求解

應(yīng)力狀態(tài)法分析時(shí)將右側(cè)三角形區(qū)域單獨(dú)拿出來(lái)分析，右側(cè)三角形區(qū)域已平衡，針對(duì)左側(cè)建立微分方程式（14）即可。

已知滑裂面傾角即已知該點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，可知圖3、4 中：

本文假定滑裂面為朗肯滑裂面β=π/4-φ/2，因而τf為0。

由于Kawn是關(guān)于z 的函數(shù)，而式（13）定義砂性土被動(dòng)土壓力系數(shù)，事實(shí)上也滿足：

二者滿足下面的關(guān)系：

定義下式：

式（14）可寫(xiě)為

圖3 水平微分單元應(yīng)力狀態(tài)法模型Fig.3 Analysis model for horizontal differential element behind retaining wall using stress state method

3.2 靜力平衡法求解

水平向微分方程為

于彤在今年體重增加了20公斤，作為一名產(chǎn)后媽媽?zhuān)_(kāi)始尋求各種能夠迅速瘦身的方式?！吧嬍场?，引起了她的注意。理論上，生酮飲食是高脂肪、低碳水化合物的配方飲食。上世紀(jì)20年代，美國(guó)醫(yī)生通過(guò)禁食但不禁水的方法治療癲癇患兒，有不少患兒長(zhǎng)時(shí)間沒(méi)有再發(fā)作。這被認(rèn)為模擬了饑餓的代謝效果而被用于臨床醫(yī)療。這樣的飲食方式后來(lái)被移植到減肥領(lǐng)域。只吃瘦肉和蔬菜，不吃含有碳水化合物的主食，以此產(chǎn)生大量酮體，迫使身體燃燒脂肪。“不用吃藥，吃的都是很正常的食物。”于彤說(shuō)。

豎向微分方程為

式中：切應(yīng)力計(jì)算公式為

由式（20）可得

將式（22），（23）代入式（21），可得

定義下式：

式（24）也可寫(xiě)為

圖4 水平微分單元水平靜力平衡法模型Fig.4 Analysis model for horizontal differential element behind retaining wall using horizontal static equilibrium method

3.3 基于統(tǒng)一表達(dá)式下的解

根據(jù)式（27），平均豎向應(yīng)力乘以側(cè)向土壓力系數(shù)可得任意深度z 處的水平向主動(dòng)土壓力為

式中：a為內(nèi)摩擦角的影響；b為黏聚力的影響。

3.4 基于統(tǒng)一表達(dá)式下的被動(dòng)土壓力合力及其作用點(diǎn)高度公式

根據(jù)式（28）可推出水平主動(dòng)土壓力合力為

擋土墻總壓力為

傾覆力矩為

合力作用點(diǎn)高度可求得

本文給出了分別基于應(yīng)力狀態(tài)法和水平靜力法兩種方法的統(tǒng)一表達(dá)式被動(dòng)土壓力解，區(qū)別主要體現(xiàn)在參數(shù)a、b 的取值上，其中a 代表土的內(nèi)摩擦角的影響；b 表示黏聚力的影響。當(dāng)b 取為0時(shí)即c=0 kPa，本文給出的公式便可退化為砂土。

從式（29）～（32）可知，a 的范圍在0～1。若a ＜ 0，求出來(lái)的應(yīng)力分布為上大下小，與實(shí)際不符；a ＞ 1，則所求出來(lái)的合力為無(wú)窮大，無(wú)法求出合力，這與實(shí)際也不相符。這條也是衡量土拱理論對(duì)求解被動(dòng)土壓力適用范圍的一條準(zhǔn)則，當(dāng)a 超過(guò)上述范圍，則無(wú)法應(yīng)用。

4 算例研究

4.1 砂性土土壓力計(jì)算研究

選用文獻(xiàn)[2]的試驗(yàn)結(jié)果，土工試驗(yàn)參數(shù)為q=0 kN/m，γ=15.64 kN/m3，c=0 kPa，δ=2/3φ，φ=34.2°，擋土墻高H=1 m。

圖5 和表1 表明，靜力平衡法得到的被動(dòng)土壓力分布與侯鍵法求得的結(jié)果在0.95H 高度范圍內(nèi)較為相似，因?yàn)槎叩谋举|(zhì)都是基于土楔形體靜力平衡，區(qū)別在于兩者采用的滑裂面不同。應(yīng)力狀態(tài)法較前面這種方法計(jì)算結(jié)果小一些。表1為4 種方法總壓力及其作用點(diǎn)高度計(jì)算結(jié)果，應(yīng)力狀態(tài)法給出的結(jié)果與Rankine 相近。應(yīng)用文獻(xiàn)[10]的方法無(wú)法求得合力大小，其原因是其系數(shù)a ＞ 1，其合力趨于無(wú)窮大。

圖5 不同方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison among experimental results and different results by different theory

表1 各種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison with results of active pressure behind retaining wall

4.2 黏性土土壓力計(jì)算研究

圖6 的算例條件為：擋土墻高H=1 m，超載q=0 kN/m，黏聚力c=20 kPa,內(nèi)摩擦角φ=30°，墻土摩擦角δ=0.8，φ=24°，土體重度γ=18 kN/m3。由圖可見(jiàn)，黏性土填料下的擋土墻被動(dòng)土壓力分布也呈現(xiàn)上小下大的指數(shù)型形狀，并且靜力平衡法求得結(jié)果較應(yīng)力狀態(tài)法求得的結(jié)果更大。

圖6 黏性土被動(dòng)土壓力計(jì)算比較Fig.6 Comparison with results of passive earth pressures behind retaining wall of cohesive clay

圖7 的算例條件除了墻土摩擦角為一變值外，其他條件均與圖6 的條件一致。由圖可見(jiàn)，從作用點(diǎn)高度來(lái)看，隨著δ/φ 的增大，土拱效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，下部土體應(yīng)力比重越來(lái)越大，土體合力點(diǎn)逐漸下降。采用靜力平衡法求得的土壓力作用點(diǎn)高度隨著δ/φ 的增大，作用點(diǎn)高度逐漸趨于0，其原因就在于a 值趨于1。

圖7 黏性土被動(dòng)土壓力作用點(diǎn)高度計(jì)算比較Fig.7 Comparison with heights of resultant passive earth pressure behind retaining wall of cohesive clay

5 結(jié) 論

（1）基于圓弧土拱及朗肯滑裂面，本文給出了考慮土拱效應(yīng)的被動(dòng)土壓力側(cè)向土壓力系數(shù)，分別基于滑裂面處應(yīng)力狀態(tài)及土楔形體靜力平衡給出了擋土墻豎向平均應(yīng)力分布公式。

（2）得到了擋土墻被動(dòng)土壓力膜分布規(guī)律及土壓力合力，傾覆力矩及作用點(diǎn)高度計(jì)算公式，不管是黏性土，還是砂土，擋土墻被動(dòng)土壓力分布都呈上小下大的指數(shù)型形狀。

（3）隨著δ/φ 的增大，土拱效應(yīng)逐漸增大，土體下部應(yīng)力逐漸增大，擋土墻作用點(diǎn)高度逐步下降。

（4）判斷土拱理論求解擋土墻被動(dòng)土壓力的標(biāo)準(zhǔn)為：0 ＜ a ＜ 1。若a ＞ 1，則所求得擋土墻被動(dòng)土壓力合力為無(wú)窮大，而作用點(diǎn)高度趨于0。

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