林智勇 ，戴自航

(1.福州大學 巖土工程研究所，福州 350108；2.福建工程學院 土木工程學院，福州 350108；3.臥龍崗大學 土木、采礦與環(huán)境工程學院，新南威爾士洲，澳大利亞 2522)

1 引 言

群樁基礎的沉降計算是一個非常復雜的問題，受到土體性質(zhì)、樁長、樁徑、樁間距、樁的布置方式以及上部結(jié)構(gòu)的剛度等眾多因素的影響。目前，除了數(shù)值分析方法外，其他方法如彈性理論法、荷載傳遞法、剪切變形法、等代墩基法等均未能涵蓋上述各種因素[1-2]。數(shù)值分析法因建模復雜，巖土本構(gòu)的合理確定困難，計算參數(shù)多，計算量大，難以在實際工程中得到廣泛應用。因此，出現(xiàn)了眾多的簡化分析法，其中以Poulos 相互作用系數(shù)法最為典型[3]。該法基于單樁彈性理論法，考慮幾何尺寸、材料和受荷條件完全相同的兩樁，引入兩樁相互作用系數(shù)αij的概念來表征兩樁之間的相互影響，并利用疊加原理將其推廣至群樁計算。這個概念被后來的許多分析方法所采用[4-8]。

兩樁相互作用系數(shù)αij的定義為

利用式（1）求解時，只是簡單地將兩樁的變形疊加至群樁中，認為樁側(cè)土體的位移是自由的，即未考慮樁體本身的存在對地基土位移傳遞的折減限制作用，忽略了樁群在地基土中的加筋與遮簾效應，夸大了樁間的相互作用，以致計算結(jié)果偏大[1-2]，大量的現(xiàn)場測試及有限元分析結(jié)果均反映出該現(xiàn)象[9-10]，因此，兩樁相互作用系數(shù)的合理與否直接關系著群樁沉降計算的精度。Mylonakis[11]最早根據(jù)剪切變形法原理[7]，提出了兩樁間相互作用的新模型，將無荷樁的存在假定為彈性地基梁，受荷樁對該樁的作用視為對地基梁的激勵，建立力學平衡方程，較系統(tǒng)地分析了樁的相互作用。閆綱麗等[6]則進一步將受荷樁本身的存在對地基土變形的影響也考慮進來。WANG Zhongjin 等[8]更進一步考慮了樁端間的相互影響，同時也考慮了樁側(cè)土發(fā)生塑性變形的情況。

利用兩樁相互作用系數(shù)αij公式求解時，對于某根分析樁來說，只考慮了鄰樁的存在對其沉降的折減（即加筋與遮簾效應）。事實上，該樁應是同時受到影響范圍內(nèi)其他所有基樁的存在所帶來的綜合影響，且該影響應隨著其平面所處位置而異，同時該公式的計算僅在地基中只有該兩根樁下才合理、適用。顯然，實際群樁中如果兩樁連線中間還有其他樁甚至多根樁時，該相互作用應該減弱甚至消失，這一點在眾多理論計算中均未被加以考慮，實際群樁的任意兩樁相互作用系數(shù)應進一步減小。對此，趙明華等[12]直接考慮群樁中所有基樁的存在對分析樁的影響，并引入Mylonahis[11]的兩樁相互作用模型采用類似分析方法，求出了均質(zhì)土中沉降計算公式。戚科駿等[9]采用考慮土體彈塑性特征和樁土界面接觸的三維有限元方法計算相互作用系數(shù)，應用至高承臺群樁沉降計算中。

本文以剪切變形法為基礎，先計算群樁中各基樁在自身樁頂荷載下的沉降，包括該樁受到其他各基樁在無荷下的存在對其的沉降折減以及其引起的鄰樁的附加沉降，由此定義新的樁間相互作用系數(shù)。與此同時，建立各基樁在自身樁頂荷載下樁身力學平衡方程，導出樁頂沉降、軸力和樁底沉降、軸力的遞推關系，從而求解群樁沉降。

2 分析模型的建立

群樁基礎由N 根基樁組成，各基樁的尺寸、材料均相同。先考察任意兩根基樁i 樁、j 樁之間的加筋與遮簾效應，如圖1 所示。圖中，kzii為i 樁z 深度處抗側(cè)土彈簧剛度；kb為樁端土彈簧剛度；sa為樁間距。j 樁的樁頂荷載為Qi（Qj），則i 樁的沉降si可以分為三部分：（1）i 樁在Qi作用下在自由位移場內(nèi)產(chǎn)生的沉降si0；（2）j 樁在樁頂無受荷載作用下，其存在阻礙了土的自由變形，引起鄰樁i 樁沉降的折減Δsi0，即為樁的加筋與遮簾效應；（3）j樁在Qj作用下引起鄰樁i 樁的附加沉降sij，其中前兩部分沉降可以合并起來一起考慮，記為sii。

圖1 群樁沉降計算模型Fig.1 Settlement calculation model of pile groups

2.1 樁間相互作用系數(shù)推導

i 樁在樁頂荷載Qi作用下，在深度z 處的側(cè)摩阻力為qsi，根據(jù)剪切變形法原理[1,7]，其引起樁周土產(chǎn)生剪切變形，在i、j 樁側(cè)處的沉降分別為

式中：r0為樁半徑；saij為i 樁和j 樁的樁間距；Gz為z 深度處土的剪切模量，Gz＝E0/2(1+μ)；E0為土的彈性模量，計算時可按變形模量計算，即E0=(1+μ)(1-2μ)/(1-μ)Es計算，μ為泊松比，Es為壓縮模量；rm為樁側(cè)土體剪切變形最大影響半徑，可按實測經(jīng)驗[7,10]取為(12～24)r0，或按Randolph[4]建議公式取值，rm=2.5lρm(1-μ)，l為樁長，ρm為不均勻系數(shù)，對于均勻土，取為1.0，對于剪切模量隨深度線性增大的土，取為0.5。

同時，i 樁側(cè)摩阻力qsi沿徑向向外遞減，傳遞至j 樁側(cè)同一深度處為

由于j 樁的存在，阻止了樁周土的剪切變形，故該側(cè)摩阻力qsij方向與樁周土剪切變形方向相反，即其方向向下可以認為是負摩阻力作用。由于不考慮樁側(cè)樁土的滑移，該負摩阻力全部作用于j 樁樁身。同樣，該負摩阻力反過來沿徑向向外傳遞，亦產(chǎn)生位移場，其在i、j 樁樁側(cè)處的位移量分別為

式（5）、（6）位移方向均向上，式（5）位移可認為是考慮j 樁的加筋與遮簾效應后對i 樁沉降的折減量，則考慮j 樁的存在后，i 樁在z 深度處的沉降量為式（2）與式（5）的疊加，當存在多根基樁的共同作用時，有

式中：N′為有效計算樁數(shù)，以沉降計算點為圓心；rm計算值為半徑的水平面影響圓范圍內(nèi)的基樁數(shù)，若計算點與j 樁連線中間存在其他樁，則不計j 樁引起的折減。

同樣，可求得j 樁側(cè)由于i 樁荷載引起的沉降，為式（3）與式（6）的疊加，有

對于j 樁，同樣有

故，群樁中i 樁的沉降量為

參照式（1），定義新的樁間相互作用系數(shù)α：

式（10）可以改寫為

即為考慮各樁的加筋與遮簾效應時的群樁沉降計算公式。可見，與式（1）傳統(tǒng)的兩樁相互作用系數(shù)不同，引入的新的相互作用系數(shù)，考慮了群樁中各樁的相互綜合影響，且僅與樁的所處的平面位置及其本身幾何尺寸有關，與深度、土體性質(zhì)無關，求解方便，可直接用于多層地基的情況。對于式(12)，只需分別先求出第i 根樁的沉降量sii(i=1,2,…,N)。

2.2 計算sii

將式（7）改寫，并定義為i 樁z 深度處樁側(cè)土彈簧剛度為

由荷載傳遞法原理[1-2]，可得樁身應變與軸力間的關系以及樁身單元的平衡方程：

式中：Ep為樁身彈性模量；Ap為樁身截面面積；u為樁身周長。

樁身位移方程為

該方程的通解為

由式（16）代入式（14）所得到樁身軸力方程：

將式（16）、（17）合并寫成矩陣形式，可得z深度處的軸力和沉降矩陣：

當存在成層地基時，若樁長范圍內(nèi)有n 層地基土，則將樁按土層厚分成n 段。下面討論第m 段樁身（長度為lm）情況。

第m 段樁樁頂：

第m 段樁樁底：

聯(lián)立式（19）和式（20），消去A、B，可得

式中：

這樣可求得樁頂沉降、軸力和樁端沉降、軸力之間的遞推關系：

式中：sbii為樁端沉降；Qbi為樁端壓力。

樁端位移采用深度修正的Boussinesq 解計算[1]：

式中：η為樁入土深度影響系數(shù)，一般取0.84～1.00；Gb為樁端土剪切模量。

定義樁端土的彈簧剛度：

聯(lián)立式（23）和式（25），便可求得考慮各樁的加筋與遮簾效應的i 樁樁頂沉降sii，即

3 公式的應用

（1）高承臺或承臺底土不分擔荷載的低承臺樁基

對于柔性承臺基礎，有

式中：P為作用在承臺上的總荷載；N為總樁數(shù)。

對于剛性承臺基礎，認為各基樁的沉降量相等，荷載由各基樁共同承擔，即有

由此建立N+1個方程，可求得N+1個未知數(shù)，進而求得群樁基礎沉降量。

(2)承臺底土分擔荷載的低承臺樁基

假定承臺底土反力為均布荷載pc，其分擔的總荷載為Qc，則其引起的沉降量可由基于地表的Boussinesq 位移解求得，即[12]

式中：sc為承臺的平均沉降；ω為沉降影響系數(shù)；b為矩形承臺的寬度或圓形承臺的直徑；Esp為承臺底樁土復合模量，Esp=(EsAs+EpApa)/(As+Apa)，Es、Ep分別為承臺底土、樁的彈性模量，As、Apa分別為承臺底土的總面積、各基樁的截面積之和；pc為承臺底土反力，可根據(jù)實測數(shù)據(jù)確定，若無實測資料，可按式pc＝ηcfak計算[1-2]，ηc為承臺底板的承臺效應系數(shù)，fak為承臺底地基承載力特征值。

4 工程算例分析

算例1[13-15].Koizumi和Ito在現(xiàn)場進行了3×3群樁基礎載荷試驗，場地樁長范圍內(nèi)地層簡化為 2層：①含貝殼砂質(zhì)粉土，厚1.65 m；②含貝殼粉質(zhì)黏土，厚3.90 m。采用鋼管樁，底端為閉合錐形，樁徑為300 mm，壁厚3.2 mm，樁長5.55 m，樁間距為3d（d為樁直徑），如圖2所示，樁身彈性模量為200 GPa。9 根樁的頂部與鋼筋混凝土承臺剛性連接，承臺底與地基土相連。按照Cairo等[14]、Chow等[15]對該試驗實測不排水抗剪強度所選用的反算方法估算，將土的彈性模量分別取11.7、16.9 MPa。各層土的泊松比均取0.35。工作荷載P下（P=Pu/2，Pu為極限荷載）實測承臺底土分擔荷載較小，本文忽略不計。

圖2 群樁平面布置圖Fig.2 Sketch of piles group

按文中上述方法求得工作荷載作用下基礎的荷載-沉降曲線如圖 3 所示。由圖可見，工作荷載下本文計算結(jié)果與實測值吻合較好，后期二者偏差較大。這是因為上部荷載超過一定值（臨塑荷載）后，地基土發(fā)生塑性變形，而本文方法僅限于彈性變形階段計算，未能考慮地基土的塑性變形。

圖3 工作荷載下群樁基礎荷載與沉降曲線Fig.3 Load-settlement curves of piles group at working loads

算例2[2,6,16].中國建科院等在山東洛口鎮(zhèn)進行了一系列原型樁基試驗，試驗樁為鉆孔灌注樁，在工作荷載P下試驗，以其中 1 組試驗G16（高承臺）進行分析比較。土層分布為：地表至地下8.0 m稍密～中密粉土，黏聚力為4 kPa，內(nèi)摩擦角為33°，變形模量為8.2 MPa；8.0 m以下為可塑～軟塑粉質(zhì)黏土。樁數(shù)為3×3，其平面布置同算例1（見圖2），樁徑為250 mm，樁長4.5 m，樁間距為3d，承臺寬度與樁長比為0.5，樁身彈性模量取為20 GPa，土的泊松比取為0.35。

承臺頂荷載為940 kN時，按本文方法求得G16高承臺群樁沉降5.08 mm，略大于實測值4.10 mm。筆者認為，閆細麗等[6]所述現(xiàn)場試驗時間較短，沉降尚未完全完成即已進入下一級荷載。同時，可由式（11）求得群樁中任意兩基樁間的相互作用系數(shù)αij，計算結(jié)果見表1。由表可見，本文計算值與實測值比較接近，且明顯小于彈性理論值[16]，說明考慮了樁間的加筋與遮簾效應后，樁間的相互作用明顯減弱了。群樁中，任意 2 根基樁間的相互作用是不一致的，如α12≠α21，這主要是由于其處于的位置不對稱使得受到其他樁的綜合影響也不一樣，顯然實際情況亦應如此。

表1 任意 2 根基樁之間的相互作用系數(shù)αijTable 1 Interaction coefficients between any two piles

5 結(jié) 語

本文的相互作用系數(shù)考慮了樁群中各基樁的共同影響，且公式簡單，應用簡便，算例結(jié)果表明，按本文公式計算的相互作用系數(shù)明顯小于彈性理論解，且與實測結(jié)果接近，計算的群樁沉降值也與實測值吻合，表明本文方法的可靠性。

地基土的剪切模量、樁側(cè)土剪切變形影響最大半徑rm對計算結(jié)果影響較大，能否正確合理地確定該值，對群樁沉降計算的精度尤為重要。

本文方法僅適用于地基土彈性變形階段的沉降計算（即工作荷載下），尚不能考慮地基土產(chǎn)生塑性變形的情況，且推導的相互作用系數(shù)也未能計及樁、土性質(zhì)的影響，公式也未能考慮樁端壓力或樁端位移的相互作用，這些都有待進一步研究。

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