郭新偉，呂延芳，齊海濤

(山東大學(威海)數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東威海264209)

0 引言

Markov算子的遍歷理論尤其是點態(tài)遍歷定理的研究絕大多數(shù)都是考慮存在不變測度這一基本假設條件下展開的，因此Markov算子不變測度的存在性與唯一性一直是Markov過程的遍歷理論研究的一個基本且重要的問題之一，它是進一步作漸近分析的基礎.對于由緊空間上連續(xù)變換導出的Markov-Feller算子，文獻［1］證明了此類算子存在唯一不變測度的充分必要條件，文獻［2-4］分別利用Riesz表示定理和廣義Farkas引理給出了局部緊的可分距離空間上的Markov-Feller算子存在不變測度的充分必要條件，文獻［5］基于概率論中測度列的緊性概念，研究了完備可分距離空間上一類特殊的Markov算子即非擴張的Markov-Feller算子的漸近穩(wěn)定性，文獻［6］利用概率論中的鞅論方法證明了具有唯一不變測度的非擴張Markov算子軌道的稠密性質(zhì).對于比非擴張Markov算子更為一般的算子，如具有等度連續(xù)的對偶算子的Markov-Feller算子以及漸近強Feller算子，文獻［7-8］分別給出了此類算子存在唯一不變測度的充分條件，此外文獻［8］給出了該條件在隨機2維Navier-Stokes方程中的應用.

本文將繼續(xù)上述問題的研究，其主要目的是給出完備可分距離空間上具有等度連續(xù)的對偶算子的Markov-Feller算子存在不變測度以及唯一不變測度的條件，推廣和改進了文獻［6-7，9］的主要結(jié)果.

1 定義及其記號

設(X，ρ)是1個完備可分的距離空間，對任何X的子集A以及ε ＞0，用ρ(y，A)表示y到A的距離，Aε={y∈ X:ρ(y，A)＜ ε}，χA表示A 上的特征函數(shù).

B(X)表 示 X 的 Borel σ-代數(shù)，(Msig(X)，‖·‖TV)表示(X，ρ)上的有限實值Borel符號測度全體組成的Banach空間，其范數(shù)‖·‖TV為通常的全變差范數(shù).M(X)和M1(X)分別表示(X，ρ)上的有限實值Borel測度以及概率測度全體組成的Msig(X)的子空間.對μ∈M(X)，supp［μ］表示μ的拓撲子集［9］.(Bb(X)，‖·‖∞)表示X上的有界可測函數(shù)全體組成的Banach空間，其范數(shù)‖·‖∞為通常的上確界范數(shù).Cb(X)表示X上的有界連續(xù)函數(shù)全體組成的Bb(X)的子空間.給定算子P:M(X)→M(X).若T滿足下列2個條件:

(i)?λ1，λ2∈ R+以及 μ1，μ2∈ M(X)，

P(λ1μ1+ λ2μ2)= λ1Pμ1+ λ2Pμ2;

(ii)?μ ∈ M(X)，‖Pμ‖TV= ‖μ‖TV，即

P(μ(X))= μ(X)，則稱P為Markov算子.

由符號測度的 Jordan分解定理，Msig(X)={μ1-μ2:μ1，μ2∈ M(X)}，因此，對 每 個 γ ∈Msig(X)，γ=μ1- μ2，令Pγ=Pμ1-Pμ2.易證P 是Msig(X)上的有界線性算子，且‖P‖≤1.因此，每個Markov算子都可以線性延拓到符號測度空間Msig(X)上.

?f∈ Bb(X)，μ ∈ Msig(X)，記

對Markov算子P，若存在線性算子U:Bb(X)→Bb(X)，使得 ?f∈ Bb(X)，μ ∈ M(X)，〈f，Pμ〉=〈Uf，μ〉，稱U為 Markov算子 P的對偶算子.若U(Cb(X))?Cb(X)，則稱P為Markov-Feller算子(或 Feller算子)，(U，P)為 Markov-Feller偶［10］.

給定1個映射π:X×B(X)→R，若π滿足下列條件:

(ⅰ)對任意給定的 x∈ X，定義集映射 μx:B(X)→R，μx(A)= π(x，A)，?A∈B(X)，其中μx是(X，ρ)上的Borel測度概率測度;

(ⅱ)對任意給定的A∈B(X)，定義函數(shù)gA:X→R，gA(x)= π(x，A)，?x∈X，其中gA是(X，ρ)上的Borel可測函數(shù)，則稱π是(X，ρ)(或X)上的1個轉(zhuǎn)移概率或轉(zhuǎn)移函數(shù)［7，11］.

設π是X上的1個轉(zhuǎn)移概率.定義線性算子P:M(X)→M(X)以及U:Bb(X)→Bb(X)，P(μ(A))= ∫Xπ(x，A)dμ(x)，?A ∈B(X)，μ ∈M(X)，

U(f(x))= ∫Xf(y)dπ(x，dy)，?f∈ Bb(X)，易證(U，P)是Markov偶，稱(U，P)是由轉(zhuǎn)移π定義的Markov偶.若P為Markov-Feller算子，此時稱π是X上的1個Feller轉(zhuǎn)移函數(shù).

設BL(X)表示X上的有界Lipschitz函數(shù)全體，對于f∈BL(X)，令‖f‖L表示f的(全局)Lipschitz常數(shù)，即，在BL(X)上定義范數(shù)‖·‖BL:

由文獻［12］知，(BL(X)，‖·‖BL)是1個Banach空間.

由文獻［13］知，在 Msig(X)上可賦予范數(shù)‖·‖，即對μ∈Msig(X)，

此外，在Msig(X)上也可以賦予下列Fortet-Mourier范數(shù)‖·‖F(xiàn)［6］:

注意范數(shù)‖·‖和Fortet-Mourier范數(shù)是等價的.

給定測度序列{μn}?M(X)以及1個測度μ ?M(X)，若，則稱{μn}弱收斂于μ.

實際上測度列的弱收斂即為{μn}(?M(X)?(X))按對偶空間(X)上的弱*拓撲收斂于μ.

關于測度的弱收斂，有下列結(jié)果.

定理1［14］測度序列{μn}弱收斂于μ的充分必要條件為{μn}依范數(shù)‖·‖收斂于μ，即

設P為 Markov-Feller算子，A∈ B(X)，使得U(χA(x))=χA(x)，則稱A是P的不變集.設μ∈M1(X)，若Pμ=μ，則稱μ是關于P不變的概率測度.若μ是關于P不變的概率測度，且對P的任一不變集A，μ(A)=0或μ(A)=1，則稱μ是關于P遍歷的概率測度.若P存在唯一的不變概率測度，則稱P是唯一遍歷的.

設A∈B(X)，若對P的任一不變的概率測度μ，μ(A)=1，則稱A是極大概率集.

對每個f∈BL(X)，若函數(shù)列{Unf}限制在X中的每個緊集上是等度連續(xù)的，則稱U是等度連續(xù)的.易證U是等度連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)列{Unf}在X中的每一點都是等度連續(xù)的［10-11］.

關于 Markov算子的遍歷理論，可參見文獻［10-11，14］.

2 不變概率測度的存在性與唯一性

除非另有說明，以下均假設(X，ρ)是完備的可分距離空間，(U，P)是Markov-Feller偶，且U是等度連續(xù)的.令

定義下列集合:

Δt={μ∈M1(X):測度列{An(P)μ}是緊性測度列}，Γt={x∈ X:δx∈ Δt};

Δc={μ∈M1(X):測度列{An(P)μ}弱收斂}，Γc={x∈ X:δx∈ Δc}.

對x∈Γc，則測度列{An(P)δx}弱收斂于某個不變概率測度，記為εx.

在Γc上定義1個等價關系‘～’:對x，y∈Γc，x～y?εx= εy.

若x∈Γc，用［x］表示x所在的等價類，Γte={x∈ Γc:εx(［x］)=1}.

首先需要下列結(jié)果，其證明參見文獻［15］.

引理1 Δt= Δc，Γt= Γc.

引理2 (i)Γte是閉的極大概率集，且是P-不變集;(ii)對每個x∈Γte，［x］是閉集.

引理3 μ是P的遍歷概率測度的充分必要條件是?x∈Γte，使得μ(［x］)=1，且在此種情形下，μ=εx.

此外，關于等度連續(xù)性，有下列結(jié)果.

引理4 U是等度連續(xù)的充分必要條件是P限制在(M1(X)，‖·‖)上是等度連續(xù)的.

證 充分性 若P限制在(M1(X)，‖·‖)上是等度連續(xù)的，從而對任意給定的x∈X，T在點δx∈M1(X)是等度連續(xù)的，所以任給的 ε＞0，?δ1＞ 0，當‖μ -δx‖＜ δ1(μ∈M1(X))時，?n∈N，

作映射 δ:(X，ρ)→(M1(X)，‖·‖)，δ(y)=δy，?y∈X，則δ是連續(xù)的.因此，?δ2＞ 0，當‖yx‖＜ δ2(y ∈ X)，‖δy- δx‖＜ δ1.

由(1)式知，?n∈N，

由范數(shù)‖·‖的定義和(2)式知，對任一g∈BL(X)，‖g‖BL≤1以及?n∈N，

從而對任一g∈BL(X)，‖g‖BL≤1，{Ung}是等度連續(xù)的，由此可得:對任一f∈BL(X)，{Unf}是等度連續(xù)的，即U是等度連續(xù)的.

必要性若U是等度連續(xù)的，假設P限制在M1(X)上不是等度連續(xù)的，從而存在某個 μ0∈M1(X)，使得{Pn}在μ0處不是等度連續(xù)的，則存在某個ε0＞0及子列{rn}，以及μn∈M1(X)，

對任一g∈BL(X)，‖g‖BL≤1，{Ung}是一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)列，由文獻［13］及(3)式得

定理2 設(X，ρ)是完備的可分距離空間，P是X上Markov-Feller算子，若P有等度連續(xù)的對偶算子U，則下列條件等價:

(i)存在P的不變概率測度;

(ii)?z∈X和x∈X，使得對z的任一開鄰域B(z，δ)(δ＞ 0)，

(iii)?z∈X以及概率測度λ∈M1(X)，使得對z的任一開鄰域 B(z，δ)(δ＞ 0)，

證(i)?(ii) 若存在P的不變概率測度，從而由遍歷分解定理知，存在P的遍歷測度［15］.記μ為P的遍歷測度.由引理3知，?x∈Γte，使得μ=εx.取z∈supp［μ］，由εx的定義由Portmanteau定理知，對z的任一開鄰域B(z，δ)，

(ii)?(iii)取λ=δx.

(iii)?(i)假設z?Γc=Γt，由文獻［7，16］知，對某個0＜ε0＜1/2，存在子列{tn}以及X中的緊集列

由引理4，P限制在(M1(X)，‖·‖)上是等度連續(xù)的，因此，?δ0＞ 0，使得對任一 y∈ B(z，δ0)，

令 gn(x)=0∨(1- ε0ρ(x，Kn)/3)，則 χKn≤從而由(6)式和(7)式，對任一 y ∈ B(z，δ0)，

對任一n∈N，由(8)式得

由于

所以

由上式得

從而由(9)式和(10)式得

由于 n≠m，Kε0/3n∩ Kε0/3m= ?(n，m ∈ N)，由(11)式和(12)式得，對任一m∈N，

上式不可能對一切的m∈N成立，與假設z?Γc= Γt矛盾.從而z∈Γc= Γt.由Γc的定義，φz是T的不變概率測度.

注意在定理2 的(iii)?(i)證明過程中僅用到了對每個f∈BL(X)，{Unf}在點z的等度連續(xù)性即{Tnδx}在點z的等度連續(xù)性，從而證明了

推論1 設(X，ρ)是完備的可分距離空間，(U，P)是Markov-Feller偶.若?z∈X，使得{Unf}在點z是等度連續(xù)的，則存在P的不變概率測度的充分必要條件是下列條件之一成立:

(i)?x∈ X，使得對 z的任一開鄰域 B(z，δ)(δ ＞ 0)

(ii)存在1個概率測度λ∈M1(X)，使得對z的任一開鄰域 B(z，δ)(δ＞ 0)，

特別地，若λ=δx，推論1就是文獻［9］的命題2.1.因此，推論1將文獻［9］的命題2.1中的特殊單點測度推廣為一般的概率測度以及上極限改進為下極限.

下面討論Markov-Feller的不變測度的唯一性.為此需要下列定義［7］.

設P:M(X)→M(X)是1個Markov算子，若對任一 x，y∈ X，?n0∈ N，使得

則稱T有相交支集.

關于Markov-Feller的不變測度的唯一性，有下列結(jié)果.

定理3 設(X，ρ)是完備的可分距離空間，P是X上Markov-Feller算子，且P有等度連續(xù)的對偶算子U.若對任一x，y∈X，?z∈X，使得對每個δ＞ 0，?n1，n2∈ N，使得

則P至多有1個不變概率測度.

證若P至少有2個不變概率測度，則P至少有2 個遍歷的概率測度εx，εy，此處x，y∈Γte且x≠y，由已知條件得?z∈X，使得對每個δ＞0，?n1，n2∈ N，使 Pn1δx(B(z，δ)) ＞ 0，Pn2δy(B(z，δ)) ＞0，從而

由于 x，y ∈ Γte且 εx≠ εy，所以

而εx［x］=1，εy［y］=1 且［x］和［y］為閉集，所以

顯然supp{δx}?supp{εx}?［x］，supp{δy}?supp{εy}?［y］，由文獻［10］得

從而結(jié)合(13)式和(15)式得z∈supp{Tn1δx}∩ supp{Tn2δy}?［x］∩［y］= ?.與(14)式矛盾.因此，P至多有1個不變概率測度.

特別地，在定理3中，若n1=n2，則推得到下列結(jié)果.

推論2 設(X，ρ)是完備的可分距離空間，P是X上Markov-Feller算子，且P有等度連續(xù)的對偶算子U;若P有相交支集，則P至多有1個不變概率測度.

設(U，P)是由轉(zhuǎn)移函數(shù) π定義的 Markov-Feller算子偶，由文獻［17］知，對任一μ∈M1(X)，存在 1個概率空間(Ω，F(xiàn)，Prob)以及 Markov鏈{xn}n≥0，使得

稱 Markov鏈{xn}n≥0為對應于 P的 Markov鏈{xn}n≥0.

關于具有等度連續(xù)的Markov-Feller算子的軌道性質(zhì)，有下列結(jié)果.

定理4 設(U，P)是由轉(zhuǎn)移函數(shù)π定義的Markov-Feller偶且U是等度連續(xù)的.假設P存在遍歷的不變概率測度μ.令A*=supp［μ］，{xn}n≥0是對應于P的Markov鏈.若Prob(x0∈A*)=1，則

證因為μ是T的遍歷測度，所以由引理3知，?x∈ Γte，使得 μ(［x］)=1，且 μ= εx.由于A*=supp［μ］，而［x］為閉集，所以A*?［x］.對任一y∈A*?［x］，則x～y.由定義知，

對A*中任一開集U，由Portmanteau定理得

若滿足下列條件:‖Tμ1-Tμ2‖F(xiàn)≤‖μ1- μ2‖F(xiàn)，?μ1，μ2∈ M(X)，則稱T是非擴張的.

推論3 設P是非擴張的Markov-Feller算子.假設P存在唯一不變的概率測度 μ.令A*=supp［μ］，{xn}n≥0是對應于 P 的 Markov 鏈. 若Prob(x0∈A*)=1，則

證若P是非擴張的，因此，對任一n∈N，

由于M(X)上的范數(shù)‖·‖F(xiàn)和‖·‖是等價的，從而由(16)式知P是等度連續(xù)的.因此，由引理4知，U是等度連續(xù)的.

又因為μ是T的唯一不變的概率測度，從而μ是遍歷的.由定理4 知

推論3即是文獻［6］中的定理3.2.因此，定理4是對文獻［6］中定理3.2的改進和加強，并且與文獻［6］所用的鞅定理的證明方法不同.

［1］Walters P.An introduction to Ergodic theory［M］.Berlin:Springer-Verlag，2003:146-153.

［2］王明文.一類Markov過程不變測度的存在性及應用［J］.江西師范大學學報:自然科學版，1991，15(4):306-312.

［3］Lasserre J B.Invariant probabilities for Markov chains on ametric space ［J］.Stat Probab Lett，1997，34(3):259-265.

［4］ Lasserre J B.Existence and uniqueness of an invariant probability for a class of Feller-Markov chains［J］.Theoret Probab，1996，9(3):595-612.

［5］ Szarek T.The stability of Markov operators on Polish spaces［J］.Stud Math，2000，143(2):145-152.

［6］ LastoA，Myjak J，Szarek T.Markov operators with a unique invariantmeasure ［J］.J MathAnalApp，2002，276(1):343-356.

［7］Szarek T.The uniqueness of invariantmeasures for Markov operators［J］.Stud Math，2008，189(3):225-233.

［8］Hairer M，Mattingly J.Ergodicity of the 2D Navier-Stokes equations with degenerate stochastic foring ［J］.Ana Math，2006，164(3):992-1032.

［9］Szarek T.Feller processes on nonlocally compact spaces［J］.TheAnnals of Probability，2006，34(5):1849-1863.

［10］Zaharopol R.Invariant probabilities of Markov-Feller operators and their supports［M］.Basel:Birkhǎuser-Verlag，2005.

［11］Lemma O H，Lasserre J B.Markov chain and invariant probabilities［M］.Basel:Birkǎuser-Verlag，2003.

［12］Weaver N.Lipschitz algebras［M］.New York:World Scientific Publishing Co Pte Ltd，1999.

［13］Dudley R M.Real analysis and probability［M］.Beijing:China Machine Press，2006.

［14］ Fougel S R.The Erdodic theory of Markov processes［M］.New York:Vas Nostrand Reihold Co，1969.

［15］郭新偉，喻建華，齊海濤.一類 Markov的遍歷性［J］.江西師范大學學報:自然科學版，2013，37(2):183-186.

［16］Ethier S N，Kurtz T G.Markov process characterization and convergence［M］.New York:John Wiley ＆ Sons，1983.

［17］Meyn S P，Tweedie R L.Markovchains and stochastic stability［M］.Berlin:Springer-Verlag，1993.