楊碧瓏，易才鳳

(江西師范大學數學與信息科學學院，江西南昌330022)

0 引言與結果

本文使用Nevanlinna值分布理論的標準記號［1-2］，以 T(r，f)記亞純函數f(z)的特征函數，N(r，f=a)表示函數f(z)的a值點的密值量，ρ(f)和μ(f)分別表示f(z)的級與下級，用δ(a，f)表示函數f(z)在點a的虧量等.

關于亞純系數高階線性微分方程

非零解在全平面上的增長性已有很多研究，本文主要討論此類方程的解在某些角域上的增長性.

論文的證明需要用到角域上特征函數的相關性質［3-4］.

假設f(z)是角域Ω(α，β)上的亞純函數，其中

亞純函數f(z)在角域Ω(α，β)上的增長級和下級依次定義為

下面定義角域上的Ahlfors-Shimizu特征函數［5］，令

定義

并運用Ahlfors-Shimizu特征函數定義了f(z)在角域Ω(α，β)上的級和下級:

然而這2種不同定義的增長級存在一定的聯(lián)系，根據文獻［6］中證明的不等式

其中 Ω= Ω(α，β)，ω= π(β - α)，容易知道，若則σαβ(f)＜∞.若{αj，βj}(j=1，2，…，q)為 q 組實數，滿足

定理A［7］設A0(z)于開平面亞純，具有非零的增長級ρ(0＜ρ≤∞)，其下級μ=μ(A0)＜∞，在∞的虧量δ= δ(∞，A0)＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)為滿足(3)式的 q組實數，并且，其中σ ＞ 0，μ≤σ≤ρ.若A(z)(j=j1，2，…，k)于開平面亞純且 T(r，Aj)=o(T(r，A0))，則方程

的每1個非零解f(z)有σX(f)=+∞，其中αj≤argz≤βj}.

自然會問:當A0(z)為具有有限虧值的亞純函數時，方程(1)是否也有相同的結論?下面的定理回答了上述問題.

定理1 設A0(z)為ρ=ρ(A0)級亞純函數，其下級μ=μ(A0)＜∞，極點收斂指數λ=λ(1/A0)＜ρ，存 在 有 限 虧 值 a，δ= δ(a，A0) ＞ 0.{αj，βj}(j=1，2，…，q)為滿足(3)式的 q組實數，令ω=max{π/(β1-α1)，…，π/(βq-αq)}，且ω＜ρ，，其中 σ＞ 0，max{ω，μ，λ}＜ σ≤ρ.若Aj(z)(j=1，2，…，k-1)于開平面亞純且ρ(Aj)=0，則方程

1 引理

為了證明定理，還需要下面的相關記號和引理.

引理1［8］設f(z)為角域上的有限ρ級亞純函數，令 Γ={(n1，m1)，(n2，m2)，…，(nj，mj)}表示滿足ni＞mi≥0(i=1，2，…，j)的不同整數對的有限集合，設ε＞0及δ＞0為給定的正常數，則存在只與f，ε，δ有關的常數k＞0，使得

對所有(n，m)∈Γ 成立，其中z=reiφ∈Ω(α +δ，β-δ)且z?D，D為由半徑之和為有限的可數個圓盤構成的R-集，其中kδ=π/(β-α-2δ).

引理2［6，9］設f(z)為開平面上的超越亞純函數，下級μ和級ρ分別滿足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，則對任意滿足μ≤σ≤ρ的正數σ和1個線性測度為有限的集合E，存在1個正數序列{rn}滿足以下條件:

(iii)T(t，f)≤(1+o(1))(2t/rn)σT(rn/2，f)，t∈［rn/n，nrn］，并稱滿足上述條件的序列{rn}為f(z)在除集E外的σ級Pólya峰序列.

設f(z)為開平面上的亞純函數，a為復常數，令

引理3［10］設f(z)為開平面上的超越亞純函數，下級μ和級ρ分別滿足μ＜∞ 和0＜ρ≤∞，若f(z)具有虧值a∈c^=c∪{∞}，δ= δ(a，f)＞0，則對f(z)的任一σ(μ≤σ≤ρ)級Pólya峰序列{rn}有

引理4［11］設f(z)為開平面上的亞純函數，Ω(α，β)為開平面上的任一角域，0＜β-α≤2π，則對任意復數a≠∞，有Sαβ(r，1/(f-a))=Sαβ(r，f)+ε(r，a)，其中 ε(r，a)= Ο(1)(r→∞).

引理5［12］設f(z)為開平面上的亞純函數，當f(0)≠∞時，

當f(0)=∞時，

其中C-m表示f(z)在z=0點鄰域內展式中的首項非零系數.

2 定理的證明

由方程(1)有

(i)若max{ω，μ，λ}＜σ＜ρ.

由引理1可知，對上述ε和對給定的ε0＞0以及充分大的N，對每個j存在ηj滿足

和只與 f，ε0，ηj有關的常數 h ＞ 0，使得當 z=reiφ∈Ω(αj+ηj，βj-ηj)，z? D 時，對所以的(n，m)∈ Γ有

其中kδ= π/(βj-αj-2ηj)，D為引理1給出的R-集.

特別地，當z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)時上式成立，且φ-αj-ηj＞ηj＞0，此時l(l為某一常數)，所以當z=reiφ∈Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)，z?D時，?M ＞ 0，不依賴z，使得

對A0(z)應用引理2，?σ+2ε級Pólya峰序列{rn}，使

其中rn?F.

由引理3，對充分大的n有

但由0＜δ＜1，1/2≤ω＜σ可知，

則可得

不妨設對所有n都成立，若不然只須取其子列代替.當n充分大時，有

令 Dn=(αj0+ ε，βj0- ε)D'(rn)，En=D(rn，a)∩ Dn，由 D(rn，a)的定義可知

又設 B1:argz= αj0+ ε'，B2:argz= βj0- ε'為由原點發(fā)出的2條半直線，當rn充分大時，取ε'∈(ε/3，2ε/3)使得B1，B2只與 D 中的有限個圓盤相交，令B2∩D}，則measM1＜+∞，measM2＜+∞.

由 Bαβ(r，f)的定義可得

即得

其中ωj0= π(βj0-αj0-2ε').

又由引理4可得

由rn?F及B1，B2只與D中的有限個圓盤相交可得

又由于

由(5)式，令 z=rei(αj0+ε')，當 r∈［1，rn］M1時，有

即可得

同理可得

即得

又由z=rneiθ∈Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')?Ω(αj+2ηj，βj-2ηj)可知，有，則可得Bαj0+ε'，βj0-ε'(rn，f(j)/f)=O(1)，即得

對Aj(z)(j=1，2，…，k)應用不等式(2)

其中 Ω= Ω(αj0+ ε'，βj0- ε')，ω= π/(βj0-αj0-2ε')，由引理5 可知 T0(r，f)=T(r，f)+O(1)，則Dαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)≤Sαj0+ε'，βj0-ε'(rn，Aj)=O(T0(rn，Ω，Aj))=O(T0(rn，Aj))=O(T(rn，Aj)).

從而

則

將(11)～(12)代入(10)式，再由(9)式可得

再聯(lián)立(8)式可得

因

由(6)式及(13)式可得

矛盾.

(ii)若σ=ρ時，對A0(z)應用引理2，存在σ級Pólya峰序列{rn}，使

其中rn?F.

在(4)式和(7)式處用σ代替σ+2ε，其余過程同(i)得σ＜σ矛盾.故綜合(i)、(ii)，定理1得證.

關于方程的無窮級解的研究，還有許多有意義的結果.如文［13-14］等就是對方程的某些系數給定一定的條件，證明了方程的非零解為無窮級.

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