趙秀蘭，劉 潔

(黃河科技學院數(shù)理部，河南鄭州450063)

0 引言

1個偽補代數(shù)(簡稱p-代數(shù))指的是1個代數(shù)(L;∨，∧，*)，L具有1個最小元0及1個映射*:.p-代數(shù)的基本性質請參見文獻［1-3］.文獻［4］在德摩根代數(shù)和Stone代數(shù)的基礎上抽象出MS-代數(shù)，MS-代數(shù)是指1個有界配格被賦予1個1元運算x→x°使得x≤x°°且有(x∧y)°=x°∨y°，1°=0.方捷［5］在p-代數(shù)與MS-代數(shù)的基礎上引入1類新的代數(shù)，稱為偽補 MS-代數(shù)(L;∨，∧，*，°，0，1)(簡稱 pMS-代數(shù)).pMS-代數(shù)指的是1個有界分配格，被賦予2個1元運算*和°，即(L;*)是1個p-代數(shù)，(L;°)是1個MS-代數(shù)，且運算*和°滿足交換律.文獻［5］從pMS-代數(shù)的運算屬性，同余關系及其次直不可約代數(shù)的角度研究了代數(shù)的結構.

理想是研究代數(shù)結構的一個重要工具.目前，有些學者借助理想已經(jīng)刻畫了部分代數(shù)的結構.如文獻［6］研究了偽補Ockham代數(shù)上的理想與濾子，構造出了具有核理想與余核濾子的最小同余關系和最大同余關系.2007年，方捷等［7］刻畫了平衡擬補Ockham代數(shù)的理想格的性質，將理想格構造成了一個偽補代數(shù).王雷波等［8］研究了雙重偽補代數(shù)的假值理想和假值同余.文獻［9］研究了雙重偽補Ockham代數(shù)上的理想與濾子的性質，結論是雙重偽補Ockham代數(shù)上的理想格與其濾子格同構.文獻［10］對于BR0代數(shù)中的*理想及其誘導的商代數(shù)給出了特征刻畫.在此研究工作的基礎上，本文主要討論pMS-代數(shù)的理想格及核理想的性質與特征，并刻畫由pMS-代數(shù)的核理想生成的同余關系.

設I是格L的子格，如果x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，則稱子格I是格L的理想.對于L的理想I，若存在L的1個同余關系φ使得I=Kerφ，其中Kerφ=，稱理想I為L的核理想.假定L是pMS-代數(shù)，設θ是L的1個格同余，且?a，b∈L，(a，b)∈ θ蘊涵(a*，b*)∈ θ及(a°，b°)∈θ，則稱θ是L的1個同余.設a，b是L中的元素，又F是L的1個子集.將用符號θ(a，b)和θlat(a，b)分別表示由a，b所生成的主同余和格主同余;用θ(F)和θlat(F)分別表示由F所生成的主同余和格主同余;符號ConL表示L的所有同余所組成的同余格.

1 核理想的性質

核理想是1類特殊的理想［11］，理想若要轉化為核理想，在pMS-代數(shù)中需有如下性質.

定理1 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個 pMS-代數(shù)，I是L的理想，則I是L的核理想，當且僅當(a∈L)a∈I?{a＊＊，a*°}?I.

證充分性設I是L的核理想，則?φ∈ConL 使得I=Kerφ.令 a ∈I，則有 a ≡0(φ)，從而a＊＊≡0(φ)，a*°≡0(φ)，于是由核理想的定義知{a＊＊，a*°}?I.

必要性設?a∈L，a∈I蘊涵a＊＊，a*°∈I.在L上定義等價關系RI如下:

(x，y)∈ RI?(?i∈I)x∨i=y∨i.易見，RI是1個格同余.

下證RI∈ConL.事實上，若(x，y)∈ RI，則?i∈I使得x∨i=y∨i.從而有x*∧i*=y*∧i*，故(x*∧i*)∨i＊＊=(y*∧i*)∨i＊＊.即(x*∨i＊＊)∧(i*∨i＊＊)=(y*∨i＊＊)∧(i*∨i＊＊).

由文獻［2］知i*∨i＊＊=1，因此，x*∨i＊＊=y*∨i＊＊.又由已知得i＊＊∈I，所以(x*，y*)∈RI.

另一方面，由x∨i=y∨i得x°∧i°=y°∧i°.故有(x°∧i°)∨i*°=(y°∧i°)∨i*°，從而得(x°∨i*°)∧(i°∨i*°)=(y°∨i*°)∧(i°∨i*°).

由文獻［5］知 i°=i＊＊°，于是得 i°∨i*°=i＊＊°∨i*°=(i＊＊∧i*)°=0°=1，故x°∨i*°=y°∨i*°.又由已知得 i*°∈I，因此(x°，y°)∈ RI.所以RI∈ConL.

下證KerRI=I.若x∈KerRI，即(x，0)∈RI，則?i∈I使得 x∨i=i.從而 x≤i∈I，故 x∈I，因此KerRI?I.

另一方面，設i∈I，由已知得i＊＊∈I.又由文獻［2］知 i≤i＊＊，故 i∈ KerRI，從而有I? KerRI.所以KerRI=I.

由定理1知，RI是具有核理想I的1個同余關系.同時，RI具有下面的性質.

推論1 RI是具有核理想I的最小同余關系.

證由定理1的證明過程知，RI是具有核理想I的同余關系.設φ∈ConL且具有核理想I，即I=Kerφ.?i∈I有 i≡0(φ).若(x，y)∈ RI，則 ?i∈I使得x∨i=y∨i.于是得x≡x∨i(φ)，y≡y∨i(φ)，從而有(x，y)∈ φ，所以 RI≤φ.

設(L;∨，∧，*，°，0，1)是 1 個 pMS-代數(shù)，記I(L)，KI(L)分別為L的所有理想與所有核理想構成的集合.

定理2 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個 pMS-代數(shù)，則KI(L)是I(L)的子格.

證若I，J∈ KI(L)，易得I∧J∈ KI(L).

下證I∨J∈KI(L).令x∈I∨J，由文獻［3］知，?i∈I及j∈J使得x≤i∨j.從而由文獻［5］知x＊＊≤i＊＊∨j＊＊，x*°≤i*°∨j*°.又因為I，J∈KI(L)，根據(jù)定理 1 知 i＊＊∈I，i*°∈I，j＊＊∈ J，j*°∈J.所以x＊＊，x*°∈I∨J.又由定理1得I∨J∈KI(L).因此KI(L)是I(L)的子格.

定理3 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是1個 pMS-代數(shù)，令，其中RI如定理1中定義，則C*(KI(L))是ConL的子格.

證易得R{0}=ω(相等關系)及RL=ι(泛同余關系).

先證 ?I，J ∈ KI(L)，有 RI∧RJ=RI∧J.

由定理2 知I∧J∈KI(L).設(x，y)∈RI∧RJ，由文獻［3］知(x，y)∈RI且(x，y)∈RJ.因此?i∈I，j∈ J使得 x∨i=y∨i，x∨j=y∨j，從而有x∨(i∧j)=y∨(i∧j).又因為i∧j∈I∧J，所以(x，y)∈ RI∧J.故 RI∧RJ≤RI∧J.

另一方面，設(x，y)∈ RI∧J，則 ?i∈I∧J使得x∨i=y∨i，又因為i∈I且i∈J.于是得(x，y)∈RI，(x，y)∈ RJ，因此(x，y)∈ RI∧RJ，從而 RI∧J≤RI∧RJ.所以 RI∧RJ=RI∧J.

下證 ?I，J ∈ KI(L)，有 RI∨RJ=RI∨J.

由定理2 知I∨J∈KI(L).設(x，y)∈RI∨J，則?h∈I∨J有 x∨h=y∨h.由文獻［3］知，?i∈I，i∈J使得h≤i∨j.于是得x∨i∨j=y∨i∨j，所以有

因此(x，y)∈ RI∨RJ，從而有 RI∨J≤RI∨RJ.

另一方面，設(x，y)∈ RI∨RJ，則 ?x=x0，x1，…，xn-1=y且(xi，xi+1)∈ RI或者(xi，xi+1)∈ RJ.不失一般性，假設 x=x0≡RIx1≡RJx2≡RIx3≡ … ≡ xn-1=y，則 ?i1，i2，…，it∈I，j1，j2，…，js∈ J，使得

x∨i1=x1∨i1，x1∨j1=x2∨j1，x2∨i2=

x3∨i2，….

令i=i1∨i2∨…∨it∨j1∨j2∨…∨js，顯然有i∈I∨J.因此x∨i=x1∨i= …=y∨i，即(x，y)∈ RI∨J.故 RI∨RJ≤RI∨J.

2 核理想的同余關系

定理4 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則θ(I)=θlat(I)∨θlat(Io).

證設a，b∈L且a≤b，易得a*，b*∈Io.由定理1知a°*，b°*∈I.又由文獻［5］知，a°=a°＊＊，b°=b°＊＊，從而有 a°，b°∈Io. 所以 θlat(a，b)≤θlat(I)，θlat(b°，a°)≤θlat(Io)，θlat(b*，a*)≤θlat(Io).由文獻［5］知，若L∈pMS，a，b∈L且a≤b有θ(a，b)= θlat(a，b)∨θlat(b°，a°)∨θlat(b*，a*).所以 θ(a，b)≤θlat(I)∨θlat(Io).由文獻［3］知，于是可得 θ(I)≤θlat(I)∨θlat(Io).

另一方面，設a，b∈Io，a≤b，由Io的定義知，?c∈I使得b≥a≥c*.由于(0，c)∈θ(I)，因此(c*，1)∈ θ(I).又因為(a，a)，(b，b)∈ θ(I)，故(a∨c*，a∨1)∈θ(I)，(b∨c*，b∨1)∈θ(I)，即(a，1)∈ θ(I)，(b，1)∈ θ(I)，從而得(a，b)∈θ(I).結合，故有θ(Io)≤θ(I)，所以 θlat(I)∨θlat(Io)≤θ(I).

定理5 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，則

(x，y)∈ θ(I)?(?a，b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*.

證在L上定義1個等價關系φ如下:

(x，y)∈ φ?(?a，b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*.

易見，φ是1個格同余.

先證φ∈ConL.設(x，y)∈φ，則?a，b∈I使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*.故

(x°∧a°)∨b*°=(y°∧a°)∨b*°，從而有(x°∨b*°)∧(a°∨b*°)=(y°∨b*°)∧(a°∨b*°).

又因為a°∨b*°≥a°，于是(x°∨b*°)∧a°=(y°∨b*°)∧a°.由文獻［5］知 a°=a°＊＊=(a°*)*，故(x°∨b*°)∧(a°*)*=(y°∨b*°)∧(a°*)*.由定理1 知 b*°，a°*∈I，故(x°，y°)∈ φ.

另一方面，由(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*得(x*∧a*)∨b＊＊=(y*∧a*)∨b＊＊，即

(x*∨b＊＊)∧(a∧b*)*=(y*∨b＊＊)∧

(a∧b*)*.

又由定理1知b＊＊∈I且a∧b*≤a∈I，故由φ的定義得(x*，y*)∈φ.因此φ∈ConL.

下證φ= θ(I).設(x，y)∈φ，則?a，b∈I使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*.因為(a，0)∈θlat(I)，(b*，1)∈ θlat(Io)，所以(x，x∨a)∈θlat(I)，((x∨a)∧b*，x∨a)∈ θlat(Io)，因此

(x，(x∨a)∧b*)∈ θlat(I)∨θlat(Io).

同理可得(y，(y∨a)∧b*)∈ θlat(I)∨θlat(Io).所以(x，y)∈ θlat(I)∨θlat(Io)，即 φ≤θlat(I)∨θlat(Io)，結合定理4知φ≤θ(I).

另一方面，設(x，y)∈ θ(I)= θlat(I)∨θlat(Io)，則 ?x=x0，x1，…，xn-1=y 且(xi，xi+1)∈θlat(I)或者(xi，xi+1)∈ θlat(Io)(i=0，1，2，…，n-2).不失一般性，假設

則 ?i1，i2，…，it∈I，j1，j2，…，js∈I，使得x∨i1=x1∨i1，x1∧j1*=x2∧j1*，x2∨i2=x3∨i2，x3∧j2*=x4∧j2*，….

因此(x，y)∈ φ，故 θ(I)≤φ.

推論2 設(L;∨，∧，*，°，0，1)是pMS-代數(shù)，I是L的核理想，x，y∈L，則下列命題等價:

(i)(x，y)∈ θ(I);

(ii)(?i∈I)x∨i=y∨i;

(iii)(?i，j∈I)(x∨i)∧j*=(y∨i)∧j*.

證顯然有(ii)?(iii).

由定理5知，(i)?(iii).

只需證(iii)?(ii).設?i，j∈I使得(x∨i)∧j*=(y∨i)∧j*.因此((x∨i)∧j*)∨j＊＊=((y∨i)∧j*)∨j＊＊，即 x∨(i∨j＊＊)=y∨(i∨j＊＊).又由定理1知j＊＊∈I，i∈I，故i∨j＊＊∈I，于是(ii)得證.

3 結論

本文將核理想的概念引入到偽補MS-代數(shù)上，通過構造具有核理想的同余關系，利用偽補MS-代數(shù)主同余表示定理，獲得了理想成為核理想的充要條件以及核理想所生成的同余關系的代數(shù)表達式.所得結果豐富了格序代數(shù)理論［12］.

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