朱長青，田德生

（1湖北工業(yè)大學工程技術(shù)學院，湖北 武漢430068；2湖北工業(yè)大學理學院，湖北 武漢430068）

近年來，重合度理論廣泛應(yīng)用于研究生態(tài)方程的周期解問題［1］，本文就是考慮如下的一類比率依賴Holling－Ⅲ的食餌－捕食者模型

其中g(shù)為連續(xù)的ω－周期函數(shù)。

首先，引入重合度理論中的延拓定理［6］。

設(shè)X，Z是賦范向量空間，L:DomLX→Z為線性映射，N:X→Z為連續(xù)映射。稱L為指標為零Fredholm算子，如果dim Ker L＝codimImL＜ ’且ImL為Z中的閉集。如果L為指標為零Fredholm算子，又存在連續(xù)投影P:X→X和Q:Z→Z滿足ImP

其中參數(shù)的生物意義參見文獻［2］。環(huán)境變化對很多生物種群產(chǎn)生有著重要影響［3－4］，特別是周期變化的環(huán)境帶來的生物種群數(shù)量的周期波動，這促使我們考慮系統(tǒng)（1）中的參數(shù)都屬于周期函數(shù)的情況。因此，假設(shè)a（t），b（t），c（t），d（t），β（t），m（t）是正的連續(xù)ω－周期函數(shù)，實際上這種假設(shè)與環(huán)境的周期變化（如氣候的季節(jié)因素、食物的供給、生殖習慣等）相一致。本文研究系統(tǒng)（1）的周期解的存在性，與一般生態(tài)方程周期解的存在性研究［3－6］比較，在處理這些問題時用了新技巧，得到了新的結(jié)果。目前，運用重合度理論研究比率依賴Holling－Ⅲ的捕食－食餌系統(tǒng)周期解的存在性問題似乎尚不多見。

引理 設(shè)L是指標為零Fredholm算子，N在Ω是L-緊的，假設(shè)

（ⅰ）對任意的λ∈ （0，1），x∈Ω∩domL，都有Lx≠λNx；

（ⅱ）對任意的x∈Ω∩Ker L，都有QNx≠0；

（ⅲ）deg ｛JQN，Ω ∩ Ker L，0｝ ≠0。

則方程Lx＝Nx在DomL∩Ω珚至少存在一個解。

應(yīng)用重合度理論中的延拓定理討論系統(tǒng)（1），得到如下結(jié)果。

證明 系統(tǒng)（1）過點 （x（0），y（0））的正軌線可寫為

可見，當x（0）＞0，y（0）＞0，t≥0時，總有x（t）＞0，y（t）＞0。這表明從（x（0），y（0））出發(fā)的正軌線總停 留 在 第 一 象 限。 因 此，＝｛（x，y）x≥0，y≥0｝ 是系統(tǒng)（1）的正不變集。令

于是，系統(tǒng)（1）變?yōu)?/p>

由變換（2）知，若 （u＊（t），v＊（t））為系統(tǒng)（3）的一個ω－周期解，則

必為系統(tǒng)（1）的正ω－周期解。

故為證定理，只需證明系統(tǒng)（3）存在一個周期解即可，考慮輔助系統(tǒng)

其中λ∈ （0，1），假設(shè)（u（t），v（t））是系統(tǒng)（4）的一個ω－周期解。對式（4）兩端從0到ω積分得

由式（4）—（6）得

選擇ti，si∈ ［0，ω］，i＝1，2，滿足

由（5）和（9）得

即

或者

由（7）和（11）得 t∈ ［0，ω］，有

由不等式a2＋b2≥2ab和式（5）、式（9）得

因此

或

由（7）和（13）得，t∈ ［0，ω］，有

即

由第二積分中值定理得

解這個不等式，得

或

由（8）和（15）得

有

類似的，由式（6）、式（8）、式（10）和式（14）得

取

定義如下范數(shù)

則X是Banach空間。

令 L:domL X → X，L （u（t），v（t））T＝（u′（t），v′（t））T，其中

再令N:X→X，則

再定義兩個投影P和Q，即

2） 修繕后的礦化床在前期（0～15 d） 對進水COD、NH3-N和TN均有較好的去除效果，COD最為明顯，去除率＞90%；隨著運行時間的延長，去除效果呈下降趨勢，推測由于礦化床靠微生物和吸附作用，受外界影響變化大，且易堵塞孔隙，極大影響礦化床的處理效果。

顯 然，Ker L ＝ ImP ＝ R2，ImL ＝ Ker Q ＝｛（u（t），v（t））T∈X:u珔＝v珔＝0｝ 是X中的閉集，且dim Ker L ＝dim（）＝2。

因此，L是指標為零的Fredholm算子，又定義L的廣義逆如下:

不難驗證QN 和Kp（I－Q）N連續(xù)，取

由式（12）、式（14）、式（16）和式（17）可知

設(shè)

則Ω為X中的有界開集，根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，可知QN和Kp（I－Q）N是連續(xù)的；進一步根據(jù) Arzela-Ascoli 定 理 可 知 QN（Ω）和 Kp（I －Q）N（Ω）是緊集，因此，N 在Ω是L－緊的。

由式（12）、式（14）、式（16）、式（17）和式（18）可知，對 任 意 的 λ ∈ （0，1），（u（t），v（t））T∈ Ω ∩domL，都有L（u（t），v（t））T≠λN （u（t），v（t））T，即已經(jīng)證明了引理中的條件（ⅰ）是滿足的。

下面來證明引理中的條件（ⅱ）和（ⅲ）也是滿足的。

設(shè) （u，v）T∈Ω∩Ker L＝Ω∩R2，即（u，v）T∈R2且 ‖ （u，v）T‖ ＝ M 。

首先，證明QN （u，v）T≠0，即引理中的條件（ii）成立。若不然，即

由式（19）的第二式得

這可以推得

即

其中q為常數(shù)。代入式（19）的第一式可得

這和ev＝qeu一起表明式（19）有唯一的解組（u，v）T，且

又類似于式（14）、式（16）、式（17）可證u＞A2，v＜B1，v＞B2。因此

相矛盾，所以引理中的條件（ii）也是滿足的。

最后，證明引理中條件（iii）也滿足，為此，作同倫變換

其 中μ∈ ［0，1］。Φ（u，v，μ）≠0。若Φ（u，v，μ）＝0，則類似的可驗證A2＜u＜A1，B2＜v＜B1，且Φ（u，v，μ）＝0有唯一的解

進一步，令

J ＝I:ImL → Ker L，J （u，v）T＝ （u，v）T計算得

至此已經(jīng)證明了對于有界開集Ω，引理中所要求的條件都是滿足的，因此，系統(tǒng)（4）在Ω上至少存在一個ω－周期解，故系統(tǒng)（1）至少存在一個正的ω－周期解，定理得證。

推論 在系統(tǒng)（1）中，假設(shè)2aL＞和βL＞dM，則系統(tǒng)（1）至少存在一個正的ω－周期解。

證明由已知2aL＞和βL＞dM，得

［1］ Arditi R，Ginzburg L R.Coupling in predator-preg dynamics:ratio-dependence［J］.Theor.Biol，1989（139）:311-326.

［2］ 馬知恩.種群生態(tài)學的數(shù)學模型與研究［M］.合肥:安徽教育出版社，1996.

［3］ TIAN De-sheng，ZENG Xian-wu.Periodic solutions of a class of predator-prey model exploited with functional responses［J］.J of Math（PRC），2005（25）:480-484.

［4］ Zhang Zhengqiu，Wang Zhichen.Periodic solution of a two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment［J］.Anziam J，2003，45:233-244.

［5］ Tian Desheng，Zeng Xianwu.Existence of at least two periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey model with exploited term［J］.Acta Math.Appl.Sinica，English series，2005，23（03）:489-494.

［6］ Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence degree and non-linear differential equations［M］.Berlin:Springer，1977.