費(fèi)彥宏，李 茜

(山西運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044000)

1 分段函數(shù)的定義

有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示，這種在自變量的不同變化范圍中，對(duì)應(yīng)法則用不同式子來(lái)表示的函數(shù)，通常稱(chēng)為分段函數(shù).

若分段函數(shù)在點(diǎn)x0兩側(cè)的表達(dá)式不同，則將點(diǎn)x0稱(chēng)為分段點(diǎn)，也可稱(chēng)為分界點(diǎn).

例如，函數(shù)

函數(shù)

注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).

2 分段函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值

結(jié)論：要求分段函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，應(yīng)先確定點(diǎn)x0所在的自變量的取值范圍，再按相應(yīng)的表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算.

例1 設(shè)函數(shù)

解：顯然，f(0)=1

∵-1<0,∴f(-1)=(-1)2=1

∵1>0,∴f(1)=2×1+3=5

3 分段函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限

結(jié)論：要求分段函數(shù)在點(diǎn)x0處的極限，應(yīng)首先判斷x0是否為分段點(diǎn)

(Ⅰ)若x0是分段點(diǎn)，則應(yīng)先求出x0處的左、右極限，再根據(jù)極限存在的充 要條件，從而得出在x0處的極限

(Ⅱ)若x0不是分段點(diǎn)，有兩種情況[1]94-95：

a.先確定x0所在的自變量的取值范圍，再利用相應(yīng)的表達(dá)式求出在x0處的極限

b.直接利用極限的定義求

例2 函數(shù)

解：(Ⅰ)顯然，x0=0是分段點(diǎn)

(Ⅱ)顯然，x0=-1不是分段點(diǎn)

(Ⅲ)顯然，x0=1不是分段點(diǎn)

例3 設(shè)函數(shù)

解：顯然，x0=0不是分段點(diǎn)

4 分段函數(shù)在點(diǎn)x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性

由上述定義可得以下結(jié)論[2]35-37

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必連續(xù).

另一方面，一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).

由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，可得下面結(jié)論，

結(jié)論：要討論函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的可導(dǎo)性與連續(xù)性，可先判斷在x0處的連續(xù)性，再判斷可導(dǎo)性. 具體如下：

(Ⅰ) 若在x0處不連續(xù)，則在x0處不可導(dǎo).

例4 討論例2中函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性與連續(xù)性

例5 討論例3中函數(shù)f(x)在x=0處的可導(dǎo)性與連續(xù)性

∴f(x)在x=0處可導(dǎo).

例6 討論函數(shù)

解：顯然，f(x)在x=0處連續(xù)，而x=0是分段點(diǎn)，

5 分段函數(shù)的不定積分

結(jié)論：要求分段函數(shù)的不定積分，應(yīng)先分別求出自變量的各取值范圍上的不定積分，再根據(jù)連續(xù)性確定各積分常數(shù).

6 分段函數(shù)的定積分

結(jié)論：要求分段函數(shù)的定積分，應(yīng)先進(jìn)行分段積分，然后相加.

解：

=1-(-1-1)-(-1)

=4

[1] 王曉東. 分段函數(shù)在教學(xué)過(guò)程中的問(wèn)題探析[J]. 漯河職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，7(2).

[2] 何 波,岳衛(wèi)芬. 試論分段函數(shù)的特征[J]. 高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，17(6).