牛華偉，白二彪

(1.平頂山教育學院 數(shù)學系,河南 平頂山 467000； 2.鄭州大學 數(shù)學系，河南 鄭州 450001)

在研究發(fā)展方程對稱的過程中，人們發(fā)現(xiàn)在物理中提煉出來的非線性發(fā)展方程及其所屬的方程族(例如KdV[1]1-7，[2]51-57和AKNS[3]，[4]方程族)都有無窮多對稱這樣的一個共性.由此，人們認為發(fā)展方程具有無窮多對稱是方程可積的一個特征.如此推來，關于發(fā)展方程對稱的研究必將推動代數(shù)幾何中發(fā)展方程可積性質的發(fā)展，也正是基于這樣的原因，對稱的研究得到了相當?shù)闹匾?通過研究人們發(fā)現(xiàn)，可積發(fā)展方程同時具有K對稱和τ對稱，并且這些K對稱和τ對稱通常還能構成一個向量場Lie代數(shù)的Lie子代數(shù),他們具有簡潔的統(tǒng)一形式.人們進一步認識到對稱與發(fā)展方程具有深層次的聯(lián)系.在孤立子發(fā)展方程蓬勃發(fā)展的過程各種研究對象及其討論的范圍得到了大力的擴充，其中超空間超變量是其中的一方面，超空間是歐式空間的一種推廣，包含兩種變量，這兩種變量分別刻畫了量子力學中的波色子和費米子的性質，這個研究方向創(chuàng)世于上世紀中葉，后來形成了超對稱理論.經(jīng)過幾十年的發(fā)展，形成了尋找方程的對稱并構建其Lie代數(shù)結構的理論體系.理論研究中大部分只研究一般方程的對稱，或只研究超方程的性質而沒有將兩者結合起來.本文正是基于這種情形，研究了超AKNS方程族和AKNS方程族的對稱及其Lie代數(shù)結構，發(fā)現(xiàn)他們的一致性[1]1-7,[2]51-57,[3]15，[4]4.

考慮如下3×3的Lax對的特征值問題：

其中ξ是一個特征參數(shù)，q,r,α,β,A,B,C,ρ,δ是變量x,t的函數(shù).其中函數(shù)q,r, A,B,C是偶的，α,β,ρ,δ是奇的.通過相容性原理，可以得到超AKNS方程族：

其中

定理2 超AKNS方程族的方程ut=φnKo，l=0,1,2,…有對稱：

(Ⅱ)φm'[τln]=[τl'n,φm]+mφm+n-1，n=0，1，2，….，m=0,1,2,…，

定理3 超AKNS方程族(2)的對稱(5)構成一個Lie代數(shù)：

[Km,Kn]=0，

[Km,τln]=mKm+n-1，

[τlm,τln]=(m-n)τlm+n-1，

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…，

當取2×2的Lax對:

相應可得到AKNS方程族：

其中

l=1，2，3，…,m,n=0,1,2,…

通過上面的討論可以發(fā)現(xiàn)，超變量的引入沒有影響超AKNS方程族對稱及其Li代數(shù)結構的討論，從而超AKNS方程族和AKNS方程族的對稱和Lie代數(shù)結構在形式上是一致的.

[1] 王寶勤，張飛軍.源于KdV方程的延拓結構的方程與對稱[J].新疆師范大學學報(自然科學版)，1998,17(02).

[2] 斯仁道吉爾.組合KdV方程的強對稱、對稱及其Lie代數(shù)[J].內(nèi)蒙古師大學報(自然科學漢文版)，1992,(s1).

[3] 陳守婷.半離散AKNS系統(tǒng)的對稱及代數(shù)結構[D].上海：上海大學，2011.

[4] 袁洪芬.超空間上Dirac型方程解的性質[D].石家莊：河北師范大學，2012.