張 淼

(長春工程學院 理學院，吉林 長春 130012)

0 引言

系統(tǒng)的運動方程總是在一定的坐標系中用坐標的微分方程[1]來描述的，設法使一組本來耦合的方程組變?yōu)橐唤M無耦合的方程組，使每一個方程中只有一個待求的坐標，每個微分方程便可獨立求解,稱為工程結構振動微分方程的解耦[2]．

若系統(tǒng)的特征值全不相同，則稱為單頻結構系統(tǒng)，若系統(tǒng)有重特征值，但重特征值的幾何重數與代數重數相符，則對應的振動系統(tǒng)稱為重頻完備系統(tǒng)，若系統(tǒng)有重特征值，但重特征值的幾何重數小于代數重數，則對應的振動系統(tǒng)稱為重頻虧損系統(tǒng)．在很多結構系統(tǒng)中即使出現(xiàn)密頻或重頻的問題，在討論中一般都假定系統(tǒng)為完備系統(tǒng)從而進行動特性分析[3-6]．但在虧損振動系統(tǒng)，這個過程的研究發(fā)生了困難，如非比例阻尼矩陣，或在非保守力作用下的結構動力問題，氣動彈性顫振分析，以及結構和控制系統(tǒng)相耦合的問題，其相應的矩陣可能是虧損的[7]．對虧損系統(tǒng)目前較好的方法是利用廣義模態(tài)理論[8-9]實現(xiàn)非經典系統(tǒng)的優(yōu)化與控制．本文考慮引入廣義模態(tài)的伴隨向量系[10]，從而滿足一定程度的規(guī)范正交化條件，來求解簡諧激勵下虧損結構振動方程的穩(wěn)態(tài)響應．

1 基本理論

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動方程為

(1)

相應地其強迫振動方程為

(2)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質量、阻尼和剛度矩陣，它們?yōu)榉菍ΨQ矩陣．結構有限元分析時，作拉普拉斯變換x(t)=uest=ueiωt(s=iω)代入(1)式可得(s2Mu+sCu+Ku)est=0．考慮阻尼系統(tǒng)復特征對(si,ui)(i=1,2,…，2N)滿足方程

(3)

對于N自由度振動系統(tǒng)，特征方程det[s2M+sC+K]=0有2N個呈復共軛對出現(xiàn)的特征值s1,s2，…，s2N(si∈C，其中si+1為si的共軛(i=1，3，…，2N-1))，稱為系統(tǒng)的復頻率．這些頻率對應著一組呈復共軛對出現(xiàn)特征向量u1，u2，…，u2N(ui∈CN，其中ui+1為ui的共軛(i=1,3,…，2N-1))稱為系統(tǒng)模態(tài)向量．

對線性振動系統(tǒng)的運動方程(1)式，設

(4)

代入方程(1)，則該二階系統(tǒng)將轉化為如下一階系統(tǒng)：

(5)

其中

稱為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣．

在A的Jordan標準形中，設對應于si(i=1，2，…，r)的Jordan塊有r種不同的階數，即

J=diag(J1,J2，…，Jr) (1≤r

(6)

式中

則A矩陣對應的Jordan特征問題為

AY=YJ

(7)

其中Y=[y1,y2，…y2N]，稱為A的廣義狀態(tài)向量矩陣，它的列向量組稱廣義狀態(tài)向量，又可稱為廣義模態(tài)向量．為了方便表述，設虧損系統(tǒng)的特征分布情況為s1=s2=…=sm=s(2≤m<2N)，而其余基頻sm+1sm+2，…，s2N均為單頻的情形．由(7)式可得方程組

(8)

根據文獻[2]，由方程組(8)解得的y1,y2，…，y2N是線性無關的．若x1,x2，…，x2N為A的廣義狀態(tài)向量系的伴隨向量系，記X=[x1,x2,…，x2N]，則必有

XHY=E

(9)

其中(·)H表示共軛轉置．用XH左乘(7)式并利用(9)式即可得到廣義狀態(tài)向量及其伴隨向量系關于矩陣A的加權規(guī)范正交化條件為

XHAY=J

(10)

2 虧損系統(tǒng)振動方程穩(wěn)態(tài)響應求解

下面利用這些正交性(9)和(10)式，來解耦虧損系統(tǒng)的振動方程，并求解其穩(wěn)態(tài)響應的解析解．對方程(2)建立狀態(tài)方程

(11)

其中

引入坐標變換

y(t)=Yq(t)

(12)

其中q(t)=(q1(t),q2(t),…，q2N(t))T為模態(tài)坐標向量，將(12)式代入狀態(tài)方程(11)并左乘XH，則有

(13)

假定s1=s2=s3，而其余基頻s4,s5，…，s2N均為單頻的情形，由(6)式可知

根據正交關系(9)和(10)式，將(13)式化為

即

(14)

(15)

(16)

(17)

其中{·}i代表向量{·}的第i維分量．若解出q(t)，然后代入(12)式獲得y(t)，并由(4)式可知取前N維即為響應x(t)．現(xiàn)在考慮如何求解q(t)．

對微分方程(17)式，為了表達方便，記si=a,qi(t)=y(t)，{XHf′(t)}i=b(t),(17)式可表達為

y′(t)-ay(t)=-b(t)

e-aty′(t)-ae-aty(t)=-e-atb(t)

即為

[e-aty(t)]′=-e-atb(t)

兩邊積分得

因此可解得

即

(18)

(16)式與(17)式的解法相同.若考慮簡諧激勵下的強迫振動響應，那么{XHf′(t)}i中的各分量不是零，就是正弦函數，因此(18)式是一個關于正弦與指數乘積形式的典型分部積分問題，在數學的計算上不存在困難，具體結果視{XHf′(t)}i的形式而定．將q3(t)代入(15)式，它仍然是一階線性微分方程，與(17)式的解法類似．同樣將(15)式中解出的q2(t)代入(14)式，它還是一階線性，仍然與(17)式的解法類似．由此可見，已全部求解出q(t)．

3 結論

在工程領域中，特征向量最大的功能就是使系統(tǒng)的性質矩陣對角化，從而解耦系統(tǒng)的振動方程，以便求得工程師們最為關心的響應問題，這也是之所以振型迭加法廣為應用的主要原因．而虧損系統(tǒng)的最大特點是重頻，且其重頻率所對應的特征向量的個數發(fā)生縮減，使之由特征向量構成的無關的狀態(tài)向量的個數少于系統(tǒng)的自由度的2倍，導致系統(tǒng)的狀態(tài)空間的基底，不能完全滿足特征方程．換而言之，由于狀態(tài)向量的缺失，使狀態(tài)向量對狀態(tài)矩陣的對角化性能變得不完整，特征向量的解耦性能退化．本文針對這個問題，引入虧損矩陣的Jordan特征方程和Jordan標準形理論，建立廣義狀態(tài)向量系來構成狀態(tài)空間的基底，雖然沒有將狀態(tài)矩陣完全對角化，但其部分對角化的程度并未對解耦后的振動方程的求解帶來太大的影響，因此通過廣義狀態(tài)向量及其伴隨向量系的雙正交性，推導出虧損結構振動方程的穩(wěn)態(tài)響應，使目前對虧損系統(tǒng)的研究又向前推進了一步．

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