程 霄

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆維吾爾自治區(qū) 烏魯木齊 830052)

多屬性決策是一種在多個(gè)屬性條件下選擇最佳備選方案或進(jìn)行方案排序的決策問題，是現(xiàn)代決策科學(xué)的重要組成部分．由于客觀事物的復(fù)雜性和隨機(jī)性、模糊性等不確定性影響，往往很難用一個(gè)精確的數(shù)值對屬性值、偏好信息進(jìn)行描述和評(píng)價(jià)，常用模糊數(shù)(如：區(qū)間數(shù)，三角模糊數(shù)等)描述屬性特征．因此，模糊多屬性決策問題研究已漸漸成為一個(gè)研究熱點(diǎn)[1-5]．尤其是三角模糊數(shù)，在決策領(lǐng)域的應(yīng)用受到學(xué)者們的普遍關(guān)注．

針對三角模糊數(shù)上的多屬性決策問題研究，已取得了大量的研究成果．許葉軍等[5]通過定義三角模糊數(shù)正、負(fù)理想方案，提出了三角模糊數(shù)多指標(biāo)決策問題的理想點(diǎn)方法；楊靜等[6]提出一種基于線性規(guī)劃和模糊向量投影的三角模糊數(shù)多屬性決策方法；劉秀梅等[7]基于聯(lián)系數(shù)提出了一種新的三角模糊數(shù)多屬性決策模型；蘭蓉[8]等對三角模糊數(shù)上的多屬性決策問題，利用三參數(shù)區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)的截集信息，定義了三角模糊數(shù)之間一個(gè)新的距離，給出一種基于理想點(diǎn)的決策方法；龔艷冰[9]對方案偏好已知、屬性值以三角模糊數(shù)形式給出且屬性權(quán)重信息不能完全確知的多屬性決策問題提出了基于模糊比例值的決策方法和基于模糊偏差度的決策方法；張市芳等[10]針對各決策時(shí)段的時(shí)間權(quán)重，且屬性權(quán)重已知、屬性值以三角模糊數(shù)形式的動(dòng)態(tài)多屬性決策問題，提出了一種基于多準(zhǔn)則妥協(xié)解排序拓展的決策分析方法．

本文在已有的研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論屬性指標(biāo)值和屬性權(quán)重均為三角模糊數(shù)時(shí)的模糊多屬性決策問題．利用區(qū)間數(shù)的距離度量，利用三角模糊數(shù)的水平集信息，定義了三角模糊數(shù)上一個(gè)新的距離度量，并給出詳細(xì)的證明．此外，基于該距離度量，根據(jù)模糊理想點(diǎn)思想，提出了一種三角模糊數(shù)多屬性topsis決策方法．最后，以實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性和合理性[12]．

1 三角模糊數(shù)及其新的距離度量

定義1設(shè)X是一個(gè)非空集合，?x,y∈X，給定一個(gè)實(shí)數(shù)d(x,y)與之對應(yīng)．若d(x,y)滿足：

(1)非負(fù)性：d(x,y)≥0，且d(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；

(2)對稱性：d(x,y)=d(y,x)；

(3)三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(z∈X)．

則稱d(x,y)是X上的一個(gè)距離．

定義3設(shè)Ii=[ai,bi]，i=1，2為任意的兩個(gè)區(qū)間數(shù)，如果a1=a2，b1=b2，則稱區(qū)間數(shù)I1與I2相等，記作I1=I2．

證明：假設(shè)區(qū)間數(shù)I1=I2，則由定義3有：a1，a2，b1=b2，顯然m1=m2，Δ1=Δ2成立；

定義4設(shè)I=[a,b]為任一區(qū)間數(shù)，?θ∈[0,1]，稱I(θ)=(1-θ)a+θb為區(qū)間數(shù)I的θ點(diǎn)．

命題2設(shè)I=[a,b]為任一區(qū)間數(shù)，?θ∈[0，1]，則區(qū)間數(shù)I的θ點(diǎn)為I(θ)=m+(2θ-1)Δ，其中，m和Δ分別為區(qū)間數(shù)的中心、半寬度．

定義5設(shè)Ii=[ai,bi]，i=1，2為任意的兩個(gè)區(qū)間數(shù)，定義

(1)

則稱d(I1,I2)為區(qū)間數(shù)I1與I2之間的距離．其中mi，Δi分別為區(qū)間數(shù)I1，I2的中心和半寬度；I1(θ)，I2(θ)，分別為區(qū)間數(shù)I1，I2的θ點(diǎn)．

可以驗(yàn)證，定義5中區(qū)間數(shù)的距離d(I1,I2)滿足定義1中的三個(gè)條件：

(2)對稱性：顯然成立；

成立，即d(I1,I2)≤d(I1,I3)+d(I3,I2)成立．

(2)

(3)

下面，本文利用區(qū)間數(shù)的距離定義5和三角模糊數(shù)的水平集信息，定義三角模糊數(shù)上一種新的距離度量．

(4)

(2)對稱性：顯然成立；

由區(qū)間數(shù)的距離定義5的三角不等式性質(zhì)知：

從而，

(5)

證明：根據(jù)式(4)通過簡單的積分運(yùn)算即可證明，在此略．

(6)

下面，基于三角模糊數(shù)的距離度量和期望定義，根據(jù)模糊理想點(diǎn)思想，提出一種多屬性topsis決策方法．

2 模糊多屬性topsis決策方法

對此，根據(jù)模糊理想點(diǎn)思想，本文提出一種基于新的距離度量的模糊多屬性topsis決策方法，具體步驟如下：

1) 構(gòu)建模糊決策矩陣Z．

(i)當(dāng)uj屬性為效益型指標(biāo)，則

(7)

(ii)當(dāng)uj屬性為成本型指標(biāo)，則

(8)

3) 確定模糊多屬性決策問題的正理想方案Z+和負(fù)理想方案Z-，即：

4) 屬性權(quán)重向量的解模糊化處理和歸一化處理．

(9)

(ii)進(jìn)行歸一化處理，即：

(10)

進(jìn)而歸一化的屬性權(quán)重向量記為ω′=(ω1,ω2，…，ωn)．

5) 利用本文定義的三角模糊數(shù)的距離度量，分別計(jì)算各備選方案Ai與正、負(fù)理想方案之間的距離，即

(11)

(12)

6) 計(jì)算各備選方案的相對貼近度，即：

(13)

最后，根據(jù)所有備選方案的相對貼近度進(jìn)行排序，從而確定最優(yōu)方案．

3 應(yīng)用實(shí)例

例1 考核選拔干部是一個(gè)多因素的決策問題，決策者一方面要把德才優(yōu)秀的人才選拔到領(lǐng)導(dǎo)崗位；另一方面，也希望在條件相當(dāng)?shù)那闆r下任用自己所偏愛的人才．某單位在對干部進(jìn)行考核選拔時(shí)，首先制定了6項(xiàng)考核指標(biāo)(即決策屬性)：思想品德(u1)、工作態(tài)度(u2)、工作作風(fēng)(u3)、文化水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)(u4)、領(lǐng)導(dǎo)能力(u5)和開拓能力(u6)．然后，根據(jù)群眾推薦、評(píng)議，對各項(xiàng)指標(biāo)分別打分，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，從中確定了5名候選人：Ai(i=1,2,…，5)．每一個(gè)候選人的各屬性指標(biāo)值以三角模糊數(shù)形式給出，見表1．已知屬性權(quán)重向量ω=((0.1，0.15，0.20)，(0.05，0.10，0.15)，(0.20，0.25，0.30)，(0.05，0.10，0.15)，(0.15，0.20，0.25)，(0.10，0.15，0.20))．

表1 候選人的屬性指標(biāo)值

如下，基于本文的topsis決策方法，具體計(jì)算如下：

(1)根據(jù)表1構(gòu)建模糊決策矩陣：

(2)因各屬性指標(biāo)均為效益型，利用(7)式對模糊決策矩陣Z進(jìn)行規(guī)范化處理，得規(guī)范化模糊決策矩陣：

(3)根據(jù)3)，確定正、負(fù)理想方案，得

Z+=[(0.19,0.20,0.21),(0.19,0.20,0.20),(0.19,0.20,0.20),(0.19,0.20,0.21),(0.20,0.21,0.21),(0.20,0.20,0.21)]，

Z-=[(0.17,0.18,0.19),(0.18,0.18,0.19),(0.18,0.18,0.19),(0.18,0.19,0.19),(0.18,0.19,0.19),(0.18,0.18,0.19)]．

(4)利用(9)式對屬性權(quán)重向量ω進(jìn)行解模糊化處理得

進(jìn)一步，利用(10)式計(jì)算得歸一化權(quán)重向量：

ω′=(0.16，0.11，0.26，0.11，0.21，0.16)．

(5)根據(jù)(11)(12)式計(jì)算各備選方案與正理想方案、負(fù)理想方案的距離，見表2的第三、四行．

(6)根據(jù)(13)式計(jì)算各備選方案的相對貼近度，見表2的第五行．為方便比較，將文獻(xiàn)[5][8]的排序結(jié)果也列入表2的最后兩行．

表2 各備選方案與正、負(fù)理想方案的距離、相對貼近度及排序

由表2知，利用本文提出的方法，得5個(gè)候選人的排序?yàn)锳2?A1?A3?A5?A4，故A2為最佳候選人．而文獻(xiàn)[5]的候選人排序?yàn)椋篈2?A5?A3?A1?A4，最佳候選人為A2；文獻(xiàn)[8]的候選人排序?yàn)椋篈2?A1?A5?A3?A4，最佳候選人也為A2．從最佳候選人的確定結(jié)果看，本文的方法與文獻(xiàn)[5][8]的結(jié)果一致；說明本文提出的方法是合理有效的．但從5個(gè)候選人的最終排序看，本文的方法與文獻(xiàn)[5][8]的排序卻不同，其主要不同在于候選人A1、A3和A5的排序．導(dǎo)致這種分歧的主要原因在于三角模糊數(shù)上的距離度量不同．在此，本文是借助區(qū)間數(shù)基于中心和半寬度的距離度量，利用三角模糊數(shù)的水平集信息定義的一個(gè)新的距離度量．

4 結(jié)語

針對屬性權(quán)重和屬性指標(biāo)均為三角模糊數(shù)時(shí)的模糊多屬性決策問題，本文提出了一種基于新的距離度量的多屬性topsis決策方法．其關(guān)鍵在于，本文融合區(qū)間數(shù)的一種距離度量和三角模糊數(shù)的水平集信息，定義了三角模糊數(shù)的一種新的距離度量，該距離滿足非負(fù)性、對稱性和三角不等式性質(zhì)．并且，該距離具有通用性，可以類似地定義其他類型模糊數(shù)上的距離，并應(yīng)用于決策領(lǐng)域．

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