王晶昕,郭麗霞,張嘉洋

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

0 引言

曲線的生成以及形狀調(diào)整是計算機(jī)輔助幾何設(shè)計領(lǐng)域一個重要課題.有理Bézier曲線以及有理B樣條曲線就是為了這一目的通過將基函數(shù)變?yōu)閹в袡?quán)因子的有理多項式(分片有理多項式)的方法來實現(xiàn)的(參見文[1]).但這種方法存在一些弱點,譬如計算復(fù)雜、權(quán)因子的幾何意義不直觀等.

我們的研究是從另一個角度入手的,即仍使用眾所周知的Bernstein基函數(shù)、B樣條基函數(shù),但通過帶形狀調(diào)整參數(shù)的控制點變換矩陣生成一組與原來給定的控制點相關(guān)聯(lián)的新控制點,進(jìn)而生成相應(yīng)的曲線曲面,以達(dá)到調(diào)整曲線曲面形狀的目的.

本文是文[2]研究工作的繼續(xù),該研究的重要性在于基函數(shù)未改變,使得調(diào)整后曲線的幾何性質(zhì)可根據(jù)控制點的位置及已知基函數(shù)的性質(zhì)來確定.且其中的參數(shù)與控制點位置相對應(yīng),幾何意義明確.

1 帶形狀調(diào)整參數(shù)的二次B樣條曲線的構(gòu)造

1.1 曲線構(gòu)造及性質(zhì)

利用二次B樣條基函數(shù),可以構(gòu)造二次B樣條函數(shù)

其中Ni,2(u)諸為二次B樣條基函數(shù),諸yi是預(yù)先給定的實數(shù),諸Pi是給定的R2或R3中的控制頂點.

稱曲線

為帶形狀調(diào)整參數(shù)的二次B樣條曲線,其中參數(shù)αi∈R(i=1,2,…,n)．

文[2]討論了帶參數(shù)的二次均勻B樣條曲線在曲線端點處如何依控制點參數(shù)改變曲線形狀的問題,本文是討論二次均勻B樣條曲線內(nèi)部形狀的改變問題.由于B樣條曲線特點是局部調(diào)整,因此,不失一般性,我們集中討論在曲線內(nèi)部涉及七個控制頂點情形之下的曲線形狀調(diào)整問題.

設(shè)Pi(i=0，1，2，…6)是給定的七個控制頂點

則得帶α1，α2參數(shù)的曲線

其中參數(shù)αi∈R(i=1,2)，

通過上述矩陣變換可知產(chǎn)生新控制點比原來控制點多增加一個,調(diào)整后曲線比原來曲線多增加一段,通過改變參數(shù)大小,調(diào)整后曲線只在[3,7]上發(fā)生改變.當(dāng)參數(shù)α1∈(0，1)時,點Q3在線段P2P3上,當(dāng)參數(shù)α1∈(1，+∞)時,點Q3在線段P2P3延長線上,當(dāng)參數(shù)α1∈(-∞，0)時,點Q3在線段P2P3反向延長線上.同理,點Q4在P3P4上也有這三種位置關(guān)系,因此,根據(jù)參數(shù)α1，α2的取值范圍,調(diào)整后控制點有九種類型,圖1-4為其中四種類型的例子,其中實線為原來的曲線,虛線為變形后的曲線,并有如下結(jié)論:

(1)當(dāng)參數(shù)α1固定在(0，1)內(nèi),隨著參數(shù)α2從0逐漸向1增大或(減小)時,曲線逐漸遠(yuǎn)離(靠近)線段P2P3,靠近(遠(yuǎn)離)點P4.

(2)當(dāng)參數(shù)α1固定在(0，1)內(nèi),參數(shù)α2在(-∞，0)變化時,曲線會增加拐點.

(3)當(dāng)參數(shù)α1固定在(1，+∞)，(-∞，0)變化時,參數(shù)α2在(-∞，0)，(1，+∞)變化時,新控制點Q3，Q4，Q5生成的控制折線近似于其相應(yīng)的曲線形狀.當(dāng)參數(shù)α1=1時,曲線經(jīng)過點P3,由于在該點處一階導(dǎo)數(shù)為零,故其為一尖點.

同樣α2固定,改變α1,討論方法與上述亦然.

此外,當(dāng)我們讓兩個參數(shù)同時增大同時減小或者一個增大一個減小時,可以更加靈活的實現(xiàn)曲線調(diào)整.

圖1α1∈(0，1)，α2∈(0，1)時的二次B樣條曲線圖2α1∈(0，1)，α2∈(-∞，0)時的二次B樣條曲線

圖3α1∈(1,+∞)，α2∈(-∞，0)時的二次B樣條曲線圖4α1∈(-∞,0)，α2∈(1,+∞)時的二次B樣條曲線

1.2 帶參數(shù)曲線的連續(xù)性

證明:

考慮C(α1，α2,u)任意兩段相鄰曲線段

其中i=2,3,…6．

故C(α1,α2,u)是C2連續(xù)的.

調(diào)整參數(shù)α1,α2,可使該曲線中G2連續(xù)及C2連續(xù).

證明:

當(dāng)α2=0時,有Q4=P3從而有

當(dāng)參數(shù)α1∈(0，1/2)時,

當(dāng)參數(shù)α1∈(-∞,0)或α1∈(1/2，+∞)時,

從而曲線中G2連續(xù).

2 曲線的升階

前面給出的曲線C(α1,α2,u)仍是二次B樣條曲線,注意到生成的新控制頂點比原來的控制頂點多一個,因此,還可以用這種新的控制點生成一條三次B樣條曲線

其中Ni,3(u)為三次均勻B樣條基函數(shù).

仍利用前面所取的參數(shù),生成的三次均勻B樣條曲線如圖5-8所示,就此可以看出它們與相對應(yīng)的二次均勻B樣條曲線的差別.其中實線為新生成的二次均勻B樣條曲線,虛線為新生成的三次均勻B樣條曲線.

針對于參數(shù)α1,α2而言,當(dāng)它們?nèi)≈迪嗤瑫r,新生成的二次B樣條曲線整體逼近控制多邊形的速度比新產(chǎn)生三次B樣條曲線要快,但新產(chǎn)生三次B樣條曲線光滑性比二次B樣條曲線要強(qiáng).

當(dāng)α1不變,α2變大或變小,曲線段會相應(yīng)靠近點P4或P3.同理,當(dāng)α2不變,α1變大或變小,曲線段會相應(yīng)靠近點P3或P2.

顯然,參數(shù)α1,α2所起的作用不同,可根據(jù)實際需要作整體或局部調(diào)控.

圖5α1∈(0，1)，α2∈(0，1)時的三次B樣條曲線圖6α1∈(0，1)，α2∈(-∞，0)時的三次B樣條曲線

圖7α1∈(-∞，0)，α2∈(1，+∞)時的三次B樣條曲線圖8α1∈(1，+∞)，α2∈(-∞，0)時的三次B樣條曲線

圖9 α1=1/2,α2=1/2時的B樣條插值曲線

注意到以上構(gòu)造的帶參數(shù)的B樣條曲線所采用的基函數(shù)次數(shù)是一樣的,同樣,我們既可以采用二次均勻B樣條基函數(shù)以及三次均勻B樣條基函數(shù)來同時構(gòu)造帶形狀調(diào)整參數(shù)曲線.不失一般性,我們?nèi)杂蒙鲜錾傻陌藗€控制頂點,為了將兩段不同次均勻B樣條曲線進(jìn)行拼接,我們在兩段曲線公共連接點Q3處需要采用B樣條曲線重節(jié)點的性質(zhì),從而使兩段曲線都插值于該點.下面我們主要給出帶調(diào)整參數(shù)曲線在公共連接點處構(gòu)造形式,并對該點處的連續(xù)性進(jìn)行討論.

其中N1，2(u)為二次均勻B樣條基函數(shù),N1，3(u)為三次均勻B樣條基函數(shù).

我們同樣可以給參數(shù)α1,α2取不同的值得到不同的調(diào)整曲線.圖9是當(dāng)α1=1/2，α2=1/2調(diào)整后的曲線.

證明:

經(jīng)計算得

C1(4)=Q3,C2(5)=Q3,

=3[(α1-1)P2+(1-α1-α2)P3+α2P4]

圖10-11分別為α1=1/5，α2=0，α1=3/5，α2=0時調(diào)整后所得到的曲線.

圖10α1=1/5,α2=0時的B樣條插值曲線圖11α1=3/5,α2=0時的B樣條插值曲線

3 結(jié)論

注意到以上討論都是針對涉及控制頂點P0，P1，P2，P3，P4，P5，P6情形的.如求曲線的形變時涉及更多的控制點,依照同樣的原理可以生成關(guān)于更多參數(shù)的B條曲線.而且隨著基函數(shù)類型變化增多,可以利用本文給出帶參數(shù)變換矩陣生成一組新控制點的方法,構(gòu)造相應(yīng)的帶參數(shù)的曲線,進(jìn)而完成曲線形狀調(diào)整任務(wù).

[1]Farin G.Curves and surfaces for computer aided geometric design[M].New York:Academic Press,1988.

[2]王晶昕, 閆惠薔. 帶形狀調(diào)整參數(shù)的二次B 樣條曲線(I)[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2011,32(4):5～7.

[3]王仁宏. 數(shù)值逼近[M].北京:高等教育出版社,1999.

[4]王晶昕,牛 鑫.橢圓曲線的帶調(diào)節(jié)參數(shù)的Bézier曲線逼近[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 32(1)：8～10.

[5]劉長明, 檀結(jié)慶. 二次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J]. 合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2004, 27(5): 459～463.

[6]廖麗君, 肖鳴宇. 二次均勻B樣條方法的擴(kuò)展與應(yīng)用[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報, 2005, 31(4):114～118.

[7]韓旭里, 劉圣軍. 三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2003,15(5):576～578.

[8]熊 建. 帶多形狀參數(shù)的樣條曲線曲面及其應(yīng)用研究[D]. 合肥工業(yè)大學(xué), 2008.

[9]謝 進(jìn), 洪素珍. 帶形狀參數(shù)的二次B樣條曲線[J]. 計算機(jī)輔助建筑, 2006,(2):15～20.

[10]左傳桂, 王國昭. 多形狀參數(shù)的四階均勻B樣條曲線設(shè)計[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版), 2001,30(2):252～256.

[11]王文濤, 汪國昭. 帶形狀參數(shù)的均勻B樣條[J]. 計算機(jī)輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2004,16(6):783～788.