孫偉志，許靜波

(1．東北師范大學(xué) 人文學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130117；2．吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 吉林 四平 136000)

0 引言

奇點(diǎn)理論在微分方程上的應(yīng)用始于20世紀(jì)80年代末期，在20世紀(jì)90年代得到了迅速發(fā)展，日本數(shù)學(xué)家S.Izumiya為其主要代表人物之一.1992年，S.Izumiya首次用奇點(diǎn)理論的方法研究一階偏微分方程的一般性質(zhì)；文獻(xiàn)[1,2]中討論了如何從奇點(diǎn)理論的角度定義方程的奇解；文獻(xiàn)[3]給出了哈密爾頓-雅可比方程幾何奇點(diǎn)的半局部分類.2003年，M.Takahashi對(duì)克萊羅型常微分方程的分歧進(jìn)行了分類[4]；2006年，他給出了一般克萊羅型完整系統(tǒng)分歧的分類[5]；2007年，在文獻(xiàn)[6]中，他研究了完全可積一階常微分方程的分歧分類.在文獻(xiàn)[7]中，我們討論了完全可積的二元一階偏微分方程的分歧分類.為了深入研究克萊羅型微分方程與完全可積一階偏微分方程的性質(zhì)，我們需要進(jìn)一步探討上述兩類方程幾何奇點(diǎn)的半局部分類問(wèn)題.然而方程幾何奇點(diǎn)的分類與其對(duì)應(yīng)的勒讓德開(kāi)折的分類一致，因此本文給出1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折與多重勒讓德開(kāi)折的定義并研究其性質(zhì)，本文的研究結(jié)果是對(duì)克萊羅型微分方程與完全可積一階偏微分方程幾何奇點(diǎn)進(jìn)行半局部分類的基礎(chǔ).

1 1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折

本部分我們介紹奇點(diǎn)理論意義下一階偏微分方程的幾何框架，并給出1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折的概念.

考慮隱n元一階偏微分方程，

F(x1…，xn,y,p1，…,pn)=0，

其中pi=dy/dxi(i=1，…，n)，F(xiàn)為以0為正則值的光滑函數(shù)，即F-1(0)為J1(n,)中的n+1維子流形.這里J1(n,)表示n元函數(shù)的1-jet叢，可將其看成2n+1維歐氏空間2n+1，具有坐標(biāo)系統(tǒng)

(x,y,p)=(x1,…，xn,y,p1,…，pn).

定義1設(shè)i:(L,u0)→J1(n,)為浸入芽，若dimL=n，且i*θ=0，則稱i為勒讓德浸入芽.稱π°i的像為i的波前集，記為W(i).

下面考慮1-jet叢J1(×n,)，通常稱之為開(kāi)折的1-jet叢.可將其看成2n+3維歐氏空間2n+3，坐標(biāo)系統(tǒng)為

(t,x,y,s,p)=(t,x1,…，xn,y,s,p1，…，pn)．

Π：J1(×n,)→(×n)×,(t,x,y,s,p)|→(t,x,y)

為自然投射.

定義2設(shè)R為n+1維光滑流形，μ:(R,u0)→(,t0)為淹沒(méi)芽，l ：(R，u0)→J1(n,)為光滑映射芽.若對(duì)任意t∈(,t0),lt=l |μ-1(t)，均為勒讓德浸入芽，則稱(μ,l )為勒讓德族.

設(shè)映射芽L：(R，u0)→J1(×n,)為

L(u)=(μ(u),x°l (u),y°l (u),h(u),p°l (u))，

易知其為勒讓德浸入芽.若1-形式θ與Θ固定，則L由勒讓德族(μ,l )唯一確定.

定義3稱L為與勒讓德族(μ,l )相伴的1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折.

現(xiàn)在我們介紹勒讓德開(kāi)折之間的等價(jià)關(guān)系.

定義4設(shè)L0：(R,u0)→J1(×n，)與L1：(R,u1)→J1(×n，)均為1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折.若存在切觸微分同胚芽

K：(J1(×n,)，z0)→(J1(×n，),z1)，

K(t,x,y,s,p)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),φ4(t,x,y,s,p),φ5(t,x,y,s,p))

與微分同胚芽Ψ：(R,u0)→(R,u1)，使K°L0=L1°Ψ，則稱L0與L1為P-勒讓德等價(jià)的.

定義5若存在微分同胚芽

Φ:(×(n×)，Π(z0))→(×(n×)，Π(z1))
Φ(t,x,y)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y)),

使Φ(W(L0))=W(L1)，則稱波前集W(L0)與W(L1)具有微分同胚的分歧.

注1：由定義不難看出，若L0與L1為P-勒讓德等價(jià)的，則二者的波前具有微分同胚的分歧；由Zakalyukin定理[8]，對(duì)一般的1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折，反之也成立.

2 生成族

受到Arnold-Zakalyukin理論[8，9]的啟發(fā)，我們可以定義1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折的生成族，并且證得兩個(gè)1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折為P-勒讓德等價(jià)的當(dāng)且僅當(dāng)它們的生成族為穩(wěn)定t-P-K-等價(jià)的.從而利用生成族在t-P-K-等價(jià)關(guān)系下的分類研究1-參數(shù)勒讓德開(kāi)折在P-勒讓德等價(jià)關(guān)系下的分類.

定義6設(shè)函數(shù)芽F：((×n)×k)→(,0)，

若d2F|為非奇異的，則稱F為廣義相位函數(shù)芽.

注2:(1)若F為廣義相位函數(shù)芽，則C(F)=d2F-1(0)為光滑的n+1維流形芽；(2)πF:(C(F),0)→(πF(t,x,q)=t)為淹沒(méi)芽.

ΦF:(C(F),0)→J1(×n,)為

其中

根據(jù)Arnold-Zakalyukin的理論[8-9]，可得下面的命題:

命題所有的勒讓德開(kāi)折均可用上面的方法構(gòu)造.

于是有如下定義:

定義7稱函數(shù)芽

F:(×(n×)×k,0)→(,0)，
F(t,x,y,q)=F(t,x,q)-y

為ΦF的生成族.

下面我們定義勒讓德開(kāi)折的生成族之間的等價(jià)關(guān)系.

Φ:(×(n×)×k,0)→(×(n×)×k,0)
Φ(t,x,y,q)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),φ4(t,x,y,q))

注3:穩(wěn)定的t-P-K-等價(jià)的概念與勒讓德浸入芽關(guān)于勒讓德等價(jià)的穩(wěn)定性的概念相同.

若

與勒讓德奇點(diǎn)理論的中的相關(guān)證明類似，我們有如下定理:

3 多重勒讓德開(kāi)折及其生成族

為了對(duì)完全可積偏微分方程的幾何解的圖的分歧進(jìn)行分類，我們需要借助多重勒讓德開(kāi)折的奇點(diǎn)分類，為此，本部分給出多重勒讓德開(kāi)折的概念，同時(shí)對(duì)其基本性質(zhì)進(jìn)行研究.

下面給出多重勒讓德開(kāi)折的概念，并建立多重勒讓德開(kāi)折之間的等價(jià)關(guān)系.

定義11設(shè)Li：(R，u0)→(J1(×n，),zi)(i=1，…，r)均為勒讓德開(kāi)折，z1,…，zr互不相同，Π(zi)=0，稱(L1，…，Lr)為多重勒讓德開(kāi)折.

Ki：(J1(×n,),zi)→J1(×n,),)(i=1,…，r),Ki(t,x,y,s,p)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),(t,x,y,s,p),(t,x,y,s,p))

Φ:(×(n×)，0)→(×(n×)，0)，
Φ(t,x,y)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y)),

下面仿照勒讓德開(kāi)折的生成族之間t-P-K-等價(jià)的概念給出多重勒讓德開(kāi)折的多重生成族之間的t-(P-K)(r)-等價(jià)的概念:

Φi：(×(n×)×k,0)→(×(n×)×k,0)(i=1，…，r)，
Φi(t,x,y,q)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),(t,x,y,q))

注5:穩(wěn)定的t-(P-K)(r)-等價(jià)的概念與勒讓德浸入芽關(guān)于勒讓德等價(jià)的穩(wěn)定性的概念相同.

多勒讓德開(kāi)折與其生成族的關(guān)系如下:

與P-K余維數(shù)的定義類似，我們也有(P-K)(r)余維數(shù)的定義:

dim

若

由文獻(xiàn)[10]中的通用性定理，可得下面的結(jié)果:

4 多重函數(shù)芽的K(r)-等價(jià)及余維估計(jì)

為了將多重勒讓德開(kāi)折的多重生成族進(jìn)行分類，本部分考慮多重函數(shù)芽的概念，并研究其在K(r)-等價(jià)關(guān)系下的余維估計(jì)定理.本部分的結(jié)果是對(duì)多重生成族進(jìn)行分類的基礎(chǔ).首先給出多重函數(shù)芽的概念:

定義17設(shè)fi：(k,0)→(,0)(i=1，…，r)均為光滑函數(shù)芽，稱f=(f1，…，fr)為多重函數(shù)芽.

下面定義多重函數(shù)芽之間的K(r)-等價(jià)關(guān)系:

定義18設(shè)f0=(f0,1，…，f0,r)與g0=(g0,1，…，g0,r)均為多重函數(shù)芽.若對(duì)任意i=1,…，r,f0,i與g0,i均K-等價(jià)，則稱多重函數(shù)芽f0與g0是K(r)-等價(jià)的.

其中

由定義我們易得(P-K)(r)-通用形變與K(r)-通用形變的關(guān)系如下:

定理5設(shè)f=(f1，…，fr)為多重函數(shù)芽,其中

fi:(n×)×k,0)→(，0)(i=1，…，r)

為光滑函數(shù)芽，f0=(f0,1，…，f0,r)=(f1|(0×0)×k，…，fr|(0×0)×k)，則

其中K-cod(f0,i)=dimEq/〈，…，，f0，i〉Eq.

證明:因?yàn)?/p>

K-cod(f0,i)=dimE(x,y,q)/〈，…，，fi〉E(x,y,q)+M(x,y)E(x,y,q).

所以

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