吳俊峰，呂小波，李 傳，李 波，鄭方焱

（1湖北行星傳動設(shè)備有限公司，湖北 黃岡438000；2武漢理工大學(xué)智能制造與控制研究所，湖北 武漢430063）

隨著計算機輔助軟件（CAD／CAE／CAM 等）、計算機數(shù)值計算（Maple等）、圖形學(xué)技術(shù)以及數(shù)控加工技術(shù)的發(fā)展，非圓齒輪的設(shè)計制造更容易實現(xiàn)。在實際設(shè)計中，非圓齒輪節(jié)曲線方程可以通過三種計算方法來確定，即：給定非圓齒輪傳動比函數(shù)和中心距；給定再現(xiàn)函數(shù)和中心距；給定主動齒輪的節(jié)曲線方程和中心距［1］。國內(nèi)許多學(xué)者對非圓齒輪的設(shè)計及建模做了研究，李福生［2］、黃忠超［3］、鄭方焱［4］等提出了設(shè)計非圓齒輪的基本方法；胡赤兵［5］等提出了Matlab與ProE相結(jié)合對橢圓齒輪進(jìn)行三維建模；高雪強［6］等通過Solidworks的二次開發(fā)結(jié)合VB編程研究了橢圓齒輪的實體建模方法；范素香［7］等利用Matlab和UG建立了偏心共軛非圓齒輪的三維實體模型。以上學(xué)者設(shè)計非圓齒輪的主要方法是利用節(jié)曲線進(jìn)行非圓齒輪的設(shè)計，一般用于橢圓齒輪或偏心齒輪的設(shè)計，對于一些有特殊運動要求的設(shè)計，則比較困難。

本文采用給定的傳動比函數(shù)和中心距的方法對非圓齒輪進(jìn)行設(shè)計，具有更好的通用性。同時，針對目前非圓齒輪的三維建模方法，采用Solidworks和Matlab相結(jié)合的方法，實現(xiàn)了一種非圓齒輪三維實體建模的方法，并利用Solidworks中的Comsom／motion插件對非圓齒輪進(jìn)行了運動仿真，驗證了非圓齒輪理論設(shè)計的正確性以及齒輪齒廓嚙合性能的優(yōu)劣。

1 非圓齒輪設(shè)計方法及計算公式

本文采用傳動比函數(shù)對非圓齒輪進(jìn)行設(shè)計，傳動比函數(shù)可由外加載荷和運動情況推導(dǎo)出來。其外嚙合時傳動比函數(shù)方程為

式中ω1，ω2分別為主動輪和從動輪的角速度。為了保證從動齒輪的節(jié)曲線是一條封閉的曲線，從動齒輪位置函數(shù)φ2（φ1）必須滿足φ2（2π）＝2π·n或φ（2π）＝，式中n為整數(shù)。從動齒輪位置函數(shù)

2計算方程為

節(jié)曲線在非圓齒輪傳動中相當(dāng)于平面齒輪傳動中的分度圓，在非圓齒輪的設(shè)計制造中可以用節(jié)曲線的純滾動表征非圓齒輪傳動。其主動齒輪的節(jié)曲線方程

從動齒輪的節(jié)曲線方程

式中a為兩齒輪的中心距。由于傳動比函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，因此節(jié)曲線函數(shù)同樣連續(xù)。可以通過平面曲線的曲率公式來驗證上述節(jié)曲線方程的凸凹性。其曲率公式方程式為

根據(jù)曲率公式判斷節(jié)曲線的凸凹性后，選擇不同的加工方式加工齒廓。如果判斷節(jié)曲線為外凸，可選用插齒或滾齒進(jìn)行加工；如果判斷節(jié)曲線為內(nèi)凹，則只能選用插齒加工。齒輪的中心距和齒數(shù)為已知參數(shù)，需要進(jìn)一步確定非圓齒輪的模數(shù)。模數(shù)可以通過節(jié)曲線的周長和齒數(shù)來確定，模數(shù)的計算方程式為

式中：L是節(jié)曲線的周長，且

根據(jù)計算出的非圓齒輪的模數(shù)，選用漸開線滾齒加工方式，再按照齒輪加工的原理，確定齒輪刀具與輪坯的運動關(guān)系，得到齒廓方程；進(jìn)而得到非圓齒輪傳動中的其他參數(shù)，如齒距、齒厚、齒頂、齒根。齒廓方程中的一段如下：

式中：

2 非圓齒輪的Maple程序編程及實現(xiàn)方法

在了解了非圓齒輪計算公式推導(dǎo)及各參數(shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行編程，分別對主、從動非圓齒輪的節(jié)曲線、齒頂圓曲線、齒根圓曲線以及齒廓方程進(jìn)行編程。非圓齒輪的編程流程圖見圖1。

通過Maple強大的數(shù)值處理能力，即可得到非圓齒輪齒廓數(shù)據(jù)。主動齒輪的設(shè)計基本要求是：傳動比函數(shù)i12（φ1）＝1.41＋sin（φ1），中心距50mm，齒輪齒數(shù)20。根據(jù)以上要求對非圓齒輪進(jìn)行Maple編程，其程序片段見圖2。

圖1 非圓齒輪的編程流程圖

圖2 Maple程序片段

通過軟件繪圖工具，得到了主動非圓齒輪和從動非圓齒輪的齒廓形狀（圖3，圖4）。

圖3 主動非圓齒輪齒廓

圖4 從動非圓齒輪齒廓

3 非圓齒輪三維實體建模

將Maple生成的坐標(biāo)點數(shù)據(jù)（＊.txt）格式，導(dǎo)入到Solidworks中，可以生成非圓齒輪相應(yīng)的曲線。在Solidworks的新建模型中，點擊菜單欄“插入”中的曲線命令，通過XYZ三個坐標(biāo)點生成樣條曲線。由于所得曲線不能直接進(jìn)行拉伸，需要在XY平面新建一個草圖，再通過“轉(zhuǎn)換實體引用”將曲線轉(zhuǎn)換為實體曲線。在草圖對實體線進(jìn)行修改，再進(jìn)行拉伸得到非圓齒輪三維實體模型（圖5、6）。

圖5 主動齒輪圖

圖6 從動齒輪

4 非圓齒輪運動仿真

利用Solidworks的Comsom／motion插件可以對非圓齒輪傳動機構(gòu)進(jìn)行運動仿真分析，通過輸出從動齒輪的運動性能曲線，如角速度、角加速度以及接觸力曲線等，進(jìn)而得到非圓齒輪對的速度時間響應(yīng)，并與理論值進(jìn)行比較，來判斷輪齒的嚙合性能的優(yōu)劣性以及設(shè)計理論的正確性。

在兩個齒輪進(jìn)行裝配之前，先編輯齒輪的材料屬性，根據(jù)工程機械實際加工齒輪所用的材料，再結(jié)合Solidworks自帶的材料庫中材料，選擇AISI 4130鋼，其泊松比為0.285，楊氏模量2.05×1011N／m2，密度為7 850kg／m3；其它的參數(shù)，如實體的質(zhì)量等可由軟件自動計算。在Solidworks中新建裝配圖，根據(jù)齒輪間的中心距將主動齒輪和從動齒輪進(jìn)行配合，同時新建兩個軸零件，分別與主、從動齒輪進(jìn)行配合（圖7）。

在裝配圖中新建一個運動算例，在新的運動算例中，確保在MotionManager工具欄中的算例類型為“Motion”分析。在Motion分析中，定義兩個軸的約束（將兩個軸設(shè)置為固定）；再添加碰撞類型，定義主動齒輪和從動齒輪之間接觸、主動齒輪與其配合的軸之間接觸以及從動齒輪與其配合的軸之間接觸，設(shè)置剛度為50 000N／mm，最大阻尼為500N·s／m，同時在運動算例屬性中允許接觸在小距離內(nèi)的相互滲透。

圖7 在solidworks中的裝配圖

添加一個旋轉(zhuǎn)馬達(dá)，馬達(dá)位置選擇在主動齒輪中心孔的表面，相對于與主動齒輪配合的軸移動；設(shè)置為120°／s（圖8），并設(shè)置運動仿真時間為8s，25幀／s。最后單擊計算運動算例，得到從動齒輪的角速度相應(yīng)曲線（圖9）。

圖8 主動齒輪的角速度曲線

圖9 從動齒輪的角速度曲線

從圖9可以看出角速度曲線與傳動比函數(shù)曲線形狀基本嚙合，圖中有部分情況出現(xiàn)失真，比如由于嚙合激勵的非線性造成的尖點，通過該曲線可以驗證設(shè)計理論的正確性。

5 總結(jié)

1）利用傳動比函數(shù)設(shè)計了非圓齒輪，所設(shè)計的非圓齒輪更加精密、穩(wěn)定。

2）結(jié)合Maple強大的曲線編程和數(shù)據(jù)處理能力，得到了非圓齒輪節(jié)曲線、齒廓曲線的坐標(biāo)點數(shù)據(jù)。

3）在Solidworks中建立了非圓齒輪的虛擬樣機，并通過Solidworks中Motion插件對非圓齒輪進(jìn)行了運動仿真，驗證了理論設(shè)計的正確性以及嚙合情況的優(yōu)劣。

［1］ 周 娜，何 麗，許紀(jì)倩.基于 MATLAB的非圓齒輪節(jié)曲線設(shè)計［J］.機電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2007，20（1）：7－8.

［2］ 李福生.非圓齒輪與特種齒輪傳動［M］.北京：機械工業(yè)出版社，1983：87－100.

［3］ 黃忠超，藍(lán)兆輝.節(jié)曲線封閉的非圓齒輪傳動比函數(shù)設(shè)計［J］.機械傳動，2011，35（11）：30－33.

［4］ 鄭方焱，陳定方，劉有源.一種非圓齒輪齒廓的通用算法［J］.機械傳動，2013，37（04）：64－66.

［5］ 胡赤兵，姚洪輝.基于MATLAB及Pro／E的參數(shù)化非圓齒輪設(shè)計［J］.機械傳動，2010，34（7）：33－35.

［6］ 高雪強，葛駿俠.SolidWorks中的非圓齒輪實體建模方法研究［J］.工程圖學(xué)學(xué)報，2009，（4）：189－192.

［7］ 范素香，齊新華，侯書林.基于Matlab及UG的偏心共軛非圓齒輪的設(shè)計［J］.機械傳動，2011，35（09）：70－72.