許麗麗，劉英乾，楊文彬，夏 天

（北京東方計量測試研究所，北京 100086）

1 引言

國內(nèi)導(dǎo)航領(lǐng)域廣泛使用 “精度”（精確度precision的簡稱）術(shù)語表征導(dǎo)航定位特性，但國際導(dǎo)航領(lǐng)域相關(guān)標準和技術(shù)文獻中均使用英文 “accuracy”（在相關(guān)國家標準中譯為 “準確度”）表達相應(yīng)特性；而在對 “accuracy”特性的描述中，導(dǎo)航業(yè)內(nèi)存在著概率包含區(qū)間、標準偏差（或其特定倍數(shù)）、均方根誤差等多種表示方式，且在這些表示方式的認識和使用上存在著一定的混亂。與此同時，在計量領(lǐng)域更多采用測量不確定度表達測量儀器的準確度特性，并以其對測量儀器進行合格評定或確定準確度等級。這些來自不同專業(yè)領(lǐng)域的關(guān)于準確度的不同表示方式，給從事導(dǎo)航設(shè)備檢測校準工作的技術(shù)人員帶來了相當?shù)睦Щ蟆?/p>

本文作為一次溝通不同專業(yè)領(lǐng)域技術(shù)術(shù)語的努力，意在對目前國內(nèi)導(dǎo)航領(lǐng)域常用的 “精度”一詞進行辨析，力圖使用規(guī)范的術(shù)語 “準確度”表達導(dǎo)航特性，并對 “準確度”的不同表示方式及其數(shù)據(jù)處理方法給予說明。

2 準確度相關(guān)術(shù)語

在幾個等同采用或參考采用國際相關(guān)標準的我國國家標準及 校準規(guī)范中，對 “準確度”及相關(guān)術(shù)語均給出了定義［1－3］，如表1所示。

由上述定義可以看出，在不同的國家標準和校準規(guī)范中，對準確度相關(guān)術(shù)語的定義并不完全一致。

在國家標準《GB／T 3358.2—2009統(tǒng)計學(xué)詞匯及符號 第2部分：應(yīng)用統(tǒng)計》（idt ISO 3534—2：2006）和《GB／T 6379.1—2004測量方法與結(jié)果的準確度（正確度與精密度）第1部分：總則與定義》（idt ISO 5725—1：1994）中，準確度、正確度和精密度仍然可以進行定量表達：

（1）用術(shù)語 “準確度”表示的測量結(jié)果，包含了系統(tǒng)誤差分量和隨機誤差分量；準確度是正確度和精密度的結(jié)合。

（2）術(shù)語 “正確度”表示測量的系統(tǒng)誤差，一般用偏倚（bias）——重復(fù)測量的誤差平均值來估計。

（3）術(shù)語 “精密度”表示測量的隨機誤差，其量值用測試結(jié)果的標準差來表示。

在測量實踐中，系統(tǒng)誤差可以修正，而隨機誤差則不能修正，隨機誤差的分布范圍影響著測量結(jié)果的可信度。

而在國家校準規(guī)范《JJF 1001—2011通用計量術(shù)語及定義》（依據(jù)ISO／IEC GUIDE 99：2007最新修訂）中：

（1）準確度、正確度不再作為定量概念。

（2）精密度則只用于定義測量重復(fù)性、期間測量精密度或測量復(fù)現(xiàn)性，并明確指出用精密度指代準確度是錯誤的。

表1 相關(guān)國家標準／校準規(guī)范中對準確度相關(guān)術(shù)語的定義

（3）不確定度用于表征被測量量值分散性，由若干不確定度分量組成，用標準偏差（或其特定倍數(shù)）表示。

事實上，在計量學(xué)術(shù)領(lǐng)域，更多采用測量不確定度（簡稱 “不確定度”）給出測量儀器的準確度特性或評定其準確度等級［4－5］，且已被儀器制造行業(yè)廣泛接受。

顯然，術(shù)語 “準確度”并不能用術(shù)語 “精（密）度”代替，而在報告測量結(jié)果的準確度時，依據(jù)GB／T 6379.1—2004，一般要同時報告正確度（或稱 “偏倚”，一般稱為 “偏差”）和精（密）度；或者依據(jù)《JJF 1059.1—2012測量不確定度評定與表示》，同時報告被測量的估計值及其測量不確定度以及有關(guān)信息。后一種報告方式既是目前計量領(lǐng)域的學(xué)術(shù)要求，也是國家法制化計量的要求。

3 準確度特性的表征

目前廣泛使用的導(dǎo)航準確度特性有三種表征方式：

1）以標準偏差σ表示的準確度指標［6］，如1σ、2σ；

2）以概率包含區(qū)間表示的準確度指標，如CEP、SEP、95%概率誤差（的包含區(qū)間）等；

3）以均方根誤差表示的準確度指標。

其中，前兩種指標給出的是對隨機誤差的度量；均方根（root mean square，RMS）誤差則包括了系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

在導(dǎo)航定位應(yīng)用中，不同廠商的導(dǎo)航定位產(chǎn)品可能會采用上述不同的表征方式給出產(chǎn)品的準確度特性，因此，需要在不同的表征方式間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，才能對產(chǎn)品的技術(shù)指標進行對比。在本文中，將以定位準確度指標為例，說明如何在不同的導(dǎo)航準確度表示方式間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，對于其他導(dǎo)航準確度特性如速度準確度，可以按照相同的方式處理。

考慮到導(dǎo)航準確度常用于表示導(dǎo)航定位接收設(shè)備的關(guān)鍵技術(shù)指標，其測量方法、測量結(jié)果的報告以及準確度等級評定應(yīng)遵循相關(guān)的國家校準規(guī)范，對如何計算定位結(jié)果及評定其不確定度亦將在下文予以討論。

3.1 以標準偏差表示的準確度

標準偏差（standard deviation）又稱標準差，是隨機變量分散程度的表征，對于隨機變量x，其標準差s的定義式為

對于較大樣本（n≥6 的測量值（隨機變量）x，其標準偏差s的估計值——實驗標準偏差σ一般用貝塞爾公式計算

標準偏差（或其特定倍數(shù)）用于表示導(dǎo)航定位準確度指標時，可以對定位誤差向量在直角坐標系下各方向的分量分別應(yīng)用式（2），得到標準偏差的各方向分量，再通過向量合成得到多維標準偏差［4］。

例如，在站心坐標系（NEU，北、東、天方向）下，計算n次（已選擇適宜的數(shù)據(jù)剔除準則對定位數(shù)據(jù)進行剔除后）定位測量數(shù)據(jù)的水平誤差（1σ）和高程誤差（1σ）的方法如下：

1）計算在站心坐標系下第i個實時定位數(shù)據(jù)（Ni，Ei，Ui）在各方向的定位誤差（ΔNi，ΔEi，ΔUi），其中（N0i，E0i，U0i）為第i個實時定位的標準點坐標

2）計算定位偏倚（bias，一般譯為 “偏差”，即系統(tǒng)誤差）的各方向分量為

3）計算標各方向誤差分量的標準偏差為

4）計算水平標準偏差σH、三維標準偏差σ3d

3.2 以概率包含區(qū)間表示的準確度

是基于落在一定的區(qū)間（一維）、面積（二維）、體積（三維）內(nèi)的隨機誤差均有特定的概率而定義的導(dǎo)航準確度指標，例如CEP（圓概率誤差）是指二維隨機誤差以50%的概率落在其內(nèi)部的誤差圓之半徑，R95則是95%概率誤差圓的半徑，而SEP（球概率誤差）則是三維隨機誤差以50%的概率落在其內(nèi)部的誤差球之半徑［7］。

在誤差數(shù)據(jù)的處理上，需要基于誤差的統(tǒng)計分布等假設(shè)，對該指標進行計算。

設(shè)在直角坐標系下測得一組定位數(shù)據(jù)（xi，yi，zi），其標準點坐標為（xo，y0，z0）。假設(shè)定位誤差各方向分量不相關(guān)且均服從正態(tài)分布，即：x～N（μx，σ2x）、y～N（μy，σ2y）、z～N（μz，σz2）。其中：μx、μy、μz分別為定位誤差各方向分量的數(shù)學(xué)期望（即平均值）；σx、σy、σz為定位誤差各方向分量的標準偏差。

因n個服從標準正態(tài)分布的獨立隨機變量的平方和服從自由度為n的χ2分布［9］，即有

由此可知，對于三維定位誤差，概率為p（基于χ2（3）分布可計算其對應(yīng)的k2值）的點分布在一個中心為（μx，μy，μz），三軸分別為σx、σy、σz的誤差橢球內(nèi)，該橢球的方程為式（7）。

同理，對于二維定位誤差，概率為p的點分布在一個誤差橢圓內(nèi)，橢圓方程為

表2給出了不同維度下典型概率p對應(yīng)的包含因子k，其中一維情況下，χ2分布退化為正態(tài)分布。

表2 概率與包含因子對照表

對于一維定位準確度指標，如高程的95%概率誤差包含區(qū)間，由表2有U95＝1.96σU，其中σU為高程誤差的標準偏差，由式（5）計算得到。

對于二維或三維定位準確度指標，表2給出了概率p對應(yīng)的誤差橢圓（球）各軸長度與定位誤差各方向分量標準偏差間的轉(zhuǎn)換因子k。不過，一般情況下更希望得到的是相同維度下不同準確度指標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，例如水平定位標準偏差σH與概率為p的水平定位誤差圓半徑Rp之間的關(guān)系。如此，為簡化計算，假設(shè)誤差橢圓（球）的軸比近似為1，即σx＝σy（＝σz），則誤差橢圓（球）退化為誤差圓（球）［9－10］。

例如，在站心坐標系（NEU坐標系）下對水平定位準確度指標應(yīng)用上述各關(guān)系式，有

故

對于水平方向，在隨機誤差接近正態(tài)分布，且誤差橢圓軸比約為1的假設(shè)下，可取放大系數(shù)2.448／≈1.74，或取其安全的近似值2（水平誤差落在半徑為2σH的圓內(nèi)的概率在95.4%～98.2%之間，具體值取決于誤差橢圓的軸比，2σH值通常作為水平誤差大小的95%界限［7］）

3.3 以均方根誤差表示的準確度

測量值x的均方根誤差定義［11］為

其中，為x的真值，注意其與標準偏差定義式（1）的區(qū)別，標準偏差給出的是測量值與其平均值之差的平方和的均值，而RMS給出的是測量值與真值之差的平方和的均值。

事實上，可以證明［10］

即測量值x的均方根的平方等于其偏倚Bias（x）與標準差s（常用其估計值σ表示）的平方和，其量值中同時包含有系統(tǒng)誤差和隨機誤差。

式（10）常用于間接測量時RMS指標的計算，舉例如下

圖1 間接測量示例

假設(shè)對于待測量L，只能通過測量L″和L′后求差得到，即有

分別對L″和L′進行多次測量，得到測量值L″i和L′ii＝12n由誤差傳播規(guī)律 有（假設(shè)L″與L′不相關(guān)）

其中，和分別為L″i和L′i的平均值，為L的理論真值，σL″和σL′分別為其標準偏差。

由式（10）有

需要指出的是，式（9）給出的均方根誤差由其定義而來，系由高斯提出，并被國內(nèi)導(dǎo)航、測繪領(lǐng)域采用。但在國外科技文獻中，類似國內(nèi)業(yè)界的RMS用法并不常見［5］，一般將RMS與標準偏差σ混用，例如在本文的三篇外文參考文獻 ［7，9－10］中，均給出類似于的表達，顯然，將DRMS等同為二維標準偏差。為便于討論，本文未采用上述國外文獻對RMS的使用方式，仍沿用了國內(nèi)學(xué)術(shù)慣例。

3.4 以不確定度表示的準確度

依據(jù)國家校準規(guī)范《JJF 1069—2007法定計量檢定機構(gòu)考核規(guī)范》的要求，法定計量機構(gòu)開展各種類型的檢定、校準和檢測業(yè)務(wù)，均應(yīng)按照JJF1059進行不確定度評定并予以報告，但目前在導(dǎo)航領(lǐng)域，不確定度并未得到廣泛應(yīng)用。

不確定度是測量結(jié)果分散性的表征，用標準偏差（或其倍數(shù)）表示，由未修正的系統(tǒng)誤差分量以及各種隨機誤差分量合成得到［5］。下面仍就3.1給出的示例，說明如何用GUM法對水平定位測試結(jié)果的不確定度進行評定。

計算方法見式（4）。

2）分析各坐標軸（N、E）方向定位誤差的標準不確定度

首先以N向為例進行計算。

N向定位誤差的標準不確定度主要由三個分量構(gòu)成：由重復(fù)性引入的不確定度分量uNA、由測量標準（標準點位）引入的不確定度分量uNB1、由被測導(dǎo)航接收設(shè)備的分辨力引入的不確定度分量uNB2，分別計算為

（1）對于由重復(fù)性引入的標準不確定度分量uNA，采用A類評定方法（統(tǒng)計方法）。對于n次重復(fù)測量得到的定位誤差結(jié)果（即誤差的算數(shù)平均值）的標準偏差，有

（2）對于由標準點位的坐標誤差（各方向均不超過a）引入的標準不確定度分量uNB1，采用B類評定方法，假設(shè)標準點位誤差為均勻分布，則

在一般的導(dǎo)航應(yīng)用中，導(dǎo)航接收設(shè)備的定位準確度一般在米級以上，而標準點位坐標的各方向的誤差a均可以在分米級以下，對于準確度為米級以上導(dǎo)航設(shè)備，該分量小于總標準差的的1／3，根據(jù)微小誤差的取舍準則［12］，該分量可以不予考慮。

（3）對于由被測導(dǎo)航接收設(shè)備的分辨力引入的標準不確定度分量uNB2，導(dǎo)航接收設(shè)備的位置分辨力一般在經(jīng)緯度方向上均優(yōu)于0.001′，經(jīng)計算可知，分辨力在N、E方向上均不超過2m，故

由上，可得到N方向定位誤差的標準不確定度uN

同理，可分析E方向定位誤差的標準不確定度uE。

由N、E方向的不確定度分量，得到水平定位誤差的標準不確定uH

3）計算定位誤差的擴展不確定度UH

一般情況下，取包含概率95%，基于3.2的分析，在服從二維正態(tài)分布的假設(shè)下，不確定度橢圓對應(yīng)的包含因子k＝2.45，在不確定度橢圓的軸比為近似為1時，包含概率95%的不確定度圓的半徑U95為

一般擴展系數(shù)取其安全的近似值2，即

4）定位誤差測量結(jié)果的報告

4 結(jié)束語

在衛(wèi)星定位導(dǎo)航領(lǐng)域，建議與國際學(xué)術(shù)慣例保持一致，使用 “準確度”而不是 “精度”表達導(dǎo)航特性。導(dǎo)航準確度特性是導(dǎo)航精（密）度和導(dǎo)航正確度的結(jié)合，一般而言，用準確度表示的測量結(jié)果由隨機誤差分量（由精密度表示）和系統(tǒng)誤差分量（由正確度表示）組成。系統(tǒng)誤差是可以修正的，而隨機誤差不可修正，其分散性影響測量結(jié)果的可信度。

在目前導(dǎo)航領(lǐng)域的實際應(yīng)用中，導(dǎo)航準確度有三種廣泛使用的表征方式：以標準偏差表示的準確度、以概率包含區(qū)間表示的準確度、以均方根誤差表示的準確度?；谔囟ǖ慕y(tǒng)計分布等假設(shè)，可以在不同的準確度表示方式間建立數(shù)學(xué)關(guān)系，以對不同方式給出的準確度特性進行比較。

基于計量領(lǐng)域的學(xué)術(shù)要求和國家計量技術(shù)法規(guī)的要求，衛(wèi)星導(dǎo)航業(yè)界未來也許會更多地采用測量不確定度表征導(dǎo)航定位設(shè)備的導(dǎo)航準確度指標，并以此進行合格評定或評定準確度等級。本文可以視為一次溝通不同專業(yè)領(lǐng)域技術(shù)術(shù)語和方法的嘗試，期待與業(yè)界同仁共同商榷，不當或謬誤之處敬請指正。

［1］ GB／T3358.2—2009，統(tǒng)計學(xué)詞匯及符號第2部分：應(yīng)用統(tǒng)計［S］.

［2］ GB／T6379.1—2004，測量方法與結(jié)果的準確度（正確度與精密度）第1部分：總則與定義［S］.

［3］ JJF1001—2011，通用計量術(shù)語及定義［S］.

［4］ JJF1094—2002，測量儀器特性評定［S］.

［5］ JJF1059.1—2012，測量不確定度評定與表示［S］.

［6］ 趙芹，楊俊志.測量準確度及相關(guān)術(shù)語辨析［J］.測繪科學(xué)，2011，36（1）：75－76，89.

［7］ NATO STANAG4278－1995，Method of Expressing Navigation Accuracies［S］.

［8］ 周江文.誤差理論［M］.北京：測繪出版社，1979：109－119.

［9］ VAN DIGGLEN F.GNSS Accuracy Lies，Damn Lies，and Statistics［J］.GPS World，2007（January）：26－32.

［10］ KAPLAN E D，HEGARTY J.Understanding GPS Principles and Applications［M］.2nd.Boston：Artech House，2006：328－332.

［11］ 武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.誤差理論與測量平差基礎(chǔ)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2003：20－21.

［12］ 費業(yè)泰.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.5版.北京：機械工業(yè)出版社，2004：63－67，73－74.