劉亞寧，李廣俠，常 江，田世偉，劉 冰

（1.解放軍理工大學(xué) 通信工程學(xué)院，南京 210007；2.中國科學(xué)院 光電研究院，北京 100094）

1 引言

目前，全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS）由于具有精度高、覆蓋范圍廣以及可全天候工作等優(yōu)勢，已成為應(yīng)用最為廣泛的導(dǎo)航定位技術(shù)。在開放環(huán)境中，基于GNSS的單點(diǎn)定位技術(shù)相對成熟，定位精度也在不斷提高。一般情況下，只要地面節(jié)點(diǎn)能夠收到4顆及4顆以上衛(wèi)星的信號(hào)，都能夠?qū)崿F(xiàn)單點(diǎn)定位［1－7］。但在一些惡劣環(huán)境下，如室內(nèi)、城市峽谷以及森林等一些被遮蔽的環(huán)境，由于缺少足夠多的可見衛(wèi)星，單點(diǎn)定位無法實(shí)現(xiàn)。

協(xié)同思想在人類社會(huì)中源遠(yuǎn)流長，協(xié)同學(xué)作為一個(gè)科學(xué)概念被正式提出是在20世紀(jì)70年代。在生物學(xué)領(lǐng)域，協(xié)同進(jìn)化能大大加快生物進(jìn)化的歷程；在計(jì)算領(lǐng)域，協(xié)同進(jìn)化算法為研究者開辟了廣闊的空間；在通信領(lǐng)域，協(xié)同不僅能提高單個(gè)設(shè)備的傳輸效果，而且能夠顯著提升無線系統(tǒng)的整體性能。鑒于協(xié)同思想在其他領(lǐng)域所取得的成果，定位導(dǎo)航領(lǐng)域也出現(xiàn)了協(xié)同定位的概念。

協(xié)同定位的概念最早由文獻(xiàn) ［8］在1996年提出，主要用于實(shí)時(shí)獲取移動(dòng)機(jī)器人的位置信息。其主要做法是，將機(jī)器人編為兩個(gè)組，一個(gè)組移動(dòng)的時(shí)候，另一組作為地標(biāo)保持靜止，輔助前一個(gè)組的移動(dòng)。在實(shí)驗(yàn)過程中，兩個(gè)組再不斷交換角色，直至到達(dá)目標(biāo)位置。如今，節(jié)點(diǎn)之間的協(xié)同定位概念已經(jīng)延伸到利用節(jié)點(diǎn)之間的通信及測量信息等輔助單個(gè)節(jié)點(diǎn)定位。相比增加 “偽衛(wèi)星”、錨節(jié)點(diǎn)的高代價(jià)，協(xié)同定位不僅開銷小，而且能縮短首次定位的時(shí)間，提高單點(diǎn)定位的精度，提高系統(tǒng)的魯棒性，改善整個(gè)系統(tǒng)的定位性能。協(xié)同技術(shù)在定位領(lǐng)域中的許多方向已經(jīng)取得了一定的成果，如無線傳感網(wǎng)（wireless sensor network，WSN）定位［9］、多機(jī)器人協(xié)同定位［10］等。在衛(wèi)星定位中，關(guān)于協(xié)同技術(shù)的研究尚不是很多，主要集中在協(xié)同定位的理論定位精度及一些協(xié)同定位算法，文獻(xiàn) ［11－12］做的研究工作具有代表性，此外，節(jié)點(diǎn)的可定位性也有了一定的研究［13］。

傳統(tǒng)的GNSS定位研究主要考慮的是單點(diǎn)定位問題。關(guān)于單點(diǎn)定位下的位置解算，文獻(xiàn) ［3］于1984年提出了一種解法?；贚orentz內(nèi)積公式，文獻(xiàn) ［3］提出了一種偽距方程組的矩陣解法。該解法計(jì)算效率高，并且不需要初始位置信息，定位方便、快捷。與此算法類似，本文提出了一種在兩點(diǎn)協(xié)同場景下的定位算法。

本文研究協(xié)同定位中的一個(gè)具體場景：兩點(diǎn)協(xié)同模型，以更好地對協(xié)同定位問題進(jìn)行理解。通過假設(shè)兩個(gè)未知節(jié)點(diǎn)之間可以相互通信及測量，能夠得到節(jié)點(diǎn)之間的高程差信息以及相對距離信息。同時(shí)利用用戶解算出的其與衛(wèi)星之間的偽距信息，本文提出了一種新的算法，能夠同時(shí)解算出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的實(shí)際位置以及它們與衛(wèi)星時(shí)鐘的鐘差。本文的主要貢獻(xiàn)是分析并證明了單個(gè)不能定位的用戶通過協(xié)同能夠?qū)崿F(xiàn)定位，同時(shí)，分析了協(xié)同定位的可定位性，為以后的多點(diǎn)協(xié)同定位以及整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同定位的研究提供了參考。

本文內(nèi)容安排如下。第二部分回顧了用戶單點(diǎn)定位的模型，并總結(jié)了目前存在的幾種解法，同時(shí)對各種解法之間的差異以及他們的優(yōu)勢進(jìn)行了比較?？紤]到一些惡劣環(huán)境中，可見衛(wèi)星少，單點(diǎn)定位可能無法實(shí)現(xiàn)。本文第三部分研究了協(xié)同定位中的一個(gè)具體場景：兩點(diǎn)協(xié)同定位。并建立了協(xié)同模型，設(shè)定了協(xié)同的形式及內(nèi)容。第四部分為理論證明工作，證明了兩個(gè)原本都不能實(shí)現(xiàn)定位的節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過協(xié)同，能夠?qū)崿F(xiàn)定位。用戶可定位性提高的仿真證明出現(xiàn)在第五部分。第六部分為本文總結(jié)及下一步的工作。

2 單點(diǎn)定位回顧

2.1 單點(diǎn)定位原理

GNSS單點(diǎn)定位利用地面單個(gè)用戶接收到的衛(wèi)星信號(hào)，通過對信號(hào)進(jìn)行處理和解算，得到衛(wèi)星的精確坐標(biāo)以及衛(wèi)星與用戶之間的偽距信息。根據(jù)接收到的一組偽距建立偽距方程組，并對方程組進(jìn)行求解得到用戶的3維坐標(biāo)以及鐘差。由于有4個(gè)未知數(shù)，必須要有4個(gè)或4個(gè)以上方程組，即單點(diǎn)能接收到4顆及以上衛(wèi)星的信號(hào)如圖1所示時(shí)，才有可能得到一組解。

圖1 用戶至少能接收到4顆衛(wèi)星的信號(hào)

2.2 單點(diǎn)定位的幾種解法

單點(diǎn)定位問題從20世紀(jì)80年代起，得到了很多學(xué)者的關(guān)注，經(jīng)過30多年的研究，出現(xiàn)了一大批研究成果［1－7］。下面將對這些方法進(jìn)行比較，給出它們的差異以及各自的優(yōu)勢。

文獻(xiàn) ［1－2］是一種全球定位系統(tǒng)（global positioning system，GPS）偽距方程的迭代解法。通過估計(jì)用戶的初始位置，運(yùn)用牛頓迭代法，經(jīng)過3到5次迭代，就能得到用戶的精確位置。這種方法易于理解，但計(jì)算量較大，第一次定位時(shí)初始位置不容易估計(jì)，同時(shí)，在深空等其它環(huán)境還可能收斂到一個(gè)錯(cuò)誤的解。

文獻(xiàn) ［3－7］提出了偽距方程的代數(shù)解。基于Lorentz內(nèi)積公式，文獻(xiàn) ［3］提出了一種GPS偽距方程的代數(shù)解，該解法思路清晰，計(jì)算簡單，不需要估計(jì)初始位置，但文獻(xiàn) ［6］已經(jīng)證明了，即使在衛(wèi)星星座條件非常好的情況下，運(yùn)用這種解法，也可能得到多個(gè)解?；诰€性差分方法，文獻(xiàn) ［4］利用測得的用戶與衛(wèi)星之間的距離差，經(jīng)過矩陣變換、求逆，能夠得到一組代數(shù)解。該解法計(jì)算過程較復(fù)雜，但由于矩陣求逆的最高階為二，相對于上一種方法，計(jì)算量較小。

文獻(xiàn) ［5］討論了GPS方程解的存在性和唯一性條件。通過該文獻(xiàn)知道，在接收到4顆衛(wèi)星的情況下，解的存在性和唯一性都不能保證。即使在有5顆衛(wèi)星的情況下，考慮到衛(wèi)星可能存在的共面情況，解的唯一性也不能保證。這為接收機(jī)的設(shè)計(jì)者提供了一個(gè)很好的提示，在一些特殊情況下，為了實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確定位，需要額外的偽距信息或者其它信息來輔助定位，這也為協(xié)同定位提供了一個(gè)很好的應(yīng)用場景。文獻(xiàn) ［6］對比了距離方程和偽距方程。考慮到偽距方程中用戶與衛(wèi)星之間的鐘差，不同的鐘差會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星－用戶之間的幾何學(xué)構(gòu)型的不同。該文獻(xiàn)闡述并證明了距離方程是歐式距離方程，而偽距方程是歐式距離差方程。求解距離方程用的是球面或者平面交點(diǎn)法，而偽距方程是旋轉(zhuǎn)雙曲面交點(diǎn)法。通過將方程解分為線性解和非線性解兩部分，本文獻(xiàn)還討論了方程組解的穩(wěn)定性。通過將雙曲面之間的交線問題轉(zhuǎn)化為雙曲面和平面之間的交線問題，文獻(xiàn) ［7］從三維角度提供了一種偽距方程的解法。該解法適用于衛(wèi)星星座退化等其他特殊場合，同時(shí)還能分析定位解存在性和唯一性條件。

2.3 從單點(diǎn)定位到多點(diǎn)協(xié)同定位

以上分析了單點(diǎn)定位的原理以及針對偽距定位方程的多種解法。但對于許多惡劣環(huán)境，由于缺少足夠多的可見衛(wèi)星，單點(diǎn)定位無法實(shí)現(xiàn)。在一些受到有意無意干擾的環(huán)境中，單點(diǎn)定位的可行性和準(zhǔn)確性也無法保證。同時(shí)，當(dāng)用戶處于深空中或者靠近衛(wèi)星時(shí)，單點(diǎn)定位也可能出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果［14］。

在這些需求的刺激下，多點(diǎn)協(xié)同定位應(yīng)運(yùn)而生。通過協(xié)同，可以得到幾個(gè)用戶之間的距離、時(shí)鐘差、信噪比以及多普勒頻移等信息［15］。在這些信息的輔助下，可以使原本不能定位的單個(gè)節(jié)點(diǎn)在經(jīng)過幾個(gè)點(diǎn)之間的協(xié)同之后，能夠?qū)崿F(xiàn)定位。

本文就協(xié)同定位中的一個(gè)具體場景，兩點(diǎn)協(xié)同的模型，進(jìn)行了分析和討論。本文假設(shè)兩個(gè)用戶之間能夠測得距離信息，同時(shí)還假設(shè)用戶之間時(shí)鐘差信息先驗(yàn)已知。通過建立協(xié)同模型，以及對模型的分析求解，可以得到兩點(diǎn)的協(xié)同解，以及解的存在和唯一性條件。

3 模型建立

從文獻(xiàn) ［5］可知，用戶收到5顆及以上衛(wèi)星信號(hào)，一般都能實(shí)現(xiàn)定位，收到4顆衛(wèi)星信號(hào)時(shí)，可能有多個(gè)定位解也可能無解，因此，必須對接收衛(wèi)星的星座結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，判定是否能夠?qū)崿F(xiàn)定位。若用戶收到少于4顆星，如3顆，單個(gè)用戶本身不能定位。本場景考慮兩個(gè)用戶各能收到3顆星，且這3顆星互不相同，通過兩點(diǎn)的測距和通信，判斷是否能夠?qū)崿F(xiàn)定位。

如圖2所示，A、B兩用戶均只能接收到3顆衛(wèi)星的信號(hào)。按照傳統(tǒng)的衛(wèi)星定位方法，由于缺少足夠的條件，兩個(gè)用戶均不能實(shí)現(xiàn)定位。協(xié)同定位的思想如圖3所示。在這種場景中，兩個(gè)用戶除了接收衛(wèi)星信號(hào)外，還能通過自身其他的硬件設(shè)備，實(shí)現(xiàn)測距和通信。通過兩者之間的信息交互，可以得到它們之間的距離以及時(shí)鐘差。在第四部分中，就將證明，通過用戶之間的協(xié)同，兩個(gè)原本都不能定位的用戶能夠?qū)崿F(xiàn)定位。同時(shí)，第四部分還分析了用戶不能定位的條件，對協(xié)同可定位性進(jìn)行了初步分析。

圖2 用戶A、B單獨(dú)工作時(shí)，均不能定位

圖3 通過協(xié)同，A、B兩用戶均能定位

在上面兩個(gè)圖中，①、②、③，④、⑤、⑥表示用戶能看到的兩組衛(wèi)星，A，B表示兩個(gè)用戶。設(shè)xi，yi，zi（i＝A，B，1…6）分別表示各點(diǎn)的坐標(biāo)，ti（i＝1…6）表示衛(wèi)星到用戶之間的偽距，用戶A與各衛(wèi)星之間的鐘差為b1，用戶B與各衛(wèi)星之間的鐘差為b2，通過協(xié)同，A與B之間的時(shí)鐘差已知，即b1＝b2＋c，c為常數(shù)，同時(shí)A與B之間的距離h也已知。

4 模型的求解

由衛(wèi)星偽距方程知道，對于用戶A有以下方程成立

同樣對于用戶B，有

另外，通過A、B之間的測距以及通信，可以得到另外兩組關(guān)系式

將方程（1）移項(xiàng)，展開得

令矩陣

則上式可以表示為

由上式可知，i＝1，2，3時(shí)有三個(gè)方程。

聯(lián)立以上三個(gè)方程式，得到一個(gè)用矩陣表示的方程

設(shè)BBT＝λ則

從（7）式可以得到

此處進(jìn)行協(xié)同定位可定位性的第一次判斷，若三維矩陣（A1A2A3）T可逆，則能夠?qū)崿F(xiàn)協(xié)同定位，若三維矩陣（A1A2A3）T不可逆，則說明這3顆衛(wèi)星的星座結(jié)構(gòu)不理想，不能實(shí)現(xiàn)協(xié)同定位。

將式（8）代入BBT＝λ，可以解出未知數(shù)λ，再將λ代到式（8），可以得到B，從而可以得到xA，yA，zA與b1之間的關(guān)系。同理，由式（2）可以得到xB，yB，zB與b2之間的關(guān)系。將xA，yA，zA與b1之間的關(guān)系，xB，yB，zB與b2之間的關(guān)系代回到

可以得到一個(gè)b1與b2之間關(guān)系式。

又因?yàn)閎1＝b2＋c，由以上兩個(gè)b1與b2之間關(guān)系式，通過解二元一次方程，可以解出b1與b2的值，再將它們代回到xA，yA，zA與b1之間的關(guān)系式以及xB，yB，zB與b2之間的關(guān)系式中，可以求得xA，yA，zA與xB，yB，zB的具體值，即能夠?qū)崿F(xiàn)對兩個(gè)用戶A與B的定位。

此處進(jìn)行協(xié)同定位的第二次判斷，若方程組有解，則表示能夠進(jìn)行協(xié)同定位，若方程組無解，則說明這6顆衛(wèi)星星座結(jié)構(gòu)不理想，不能進(jìn)行協(xié)同定位。

5 仿真驗(yàn)證

為了研究協(xié)同定位的可定位性性能，考慮兩個(gè)用戶協(xié)同定位的情況，本文將分別分析兩個(gè)用戶非協(xié)同定位以及協(xié)同定位的場景。在仿真中，假設(shè)A、B兩個(gè)用戶所處的經(jīng)緯度坐標(biāo)分別為（116.218，35.33），（116.318，35.43）。由 于 森林覆蓋或者高樓阻擋等原因，假設(shè)A、B各能接收到三顆衛(wèi)星的信號(hào)，分別為GPS＿BIIA－22、GPS＿BIIA－27、GPS＿BIIR－06以及 GPS＿BIIA－25、GPS＿BIIRM－5、GPS＿BIIRM－2，如圖4所示。仿真時(shí)間為 2013－07－02T09：20：00—11：00：00。在仿真中，每60s記錄一次衛(wèi)星的位置以及用戶與衛(wèi)星之間的距離信息。同時(shí)，如果仿真中測得的用戶位置與用戶的真實(shí)位置誤差小于10m時(shí)，認(rèn)為用戶是可以定位的。

圖4 用戶協(xié)同定位場景

圖5比較了協(xié)同定位和非協(xié)同定位情況下用戶的可定位性。在非協(xié)同定位場景中，由于每個(gè)用戶單獨(dú)定位且只能接到3顆衛(wèi)星的信號(hào)，而這里有4個(gè)待求解量（即用戶的三維坐標(biāo)x，y，z以及鐘差b），顯然，用戶不能被定位。在協(xié)同定位場景中，用戶不僅能接收到衛(wèi)星信號(hào)，用戶之間還能通過協(xié)同得到額外的定位信息觀測量，如用戶之間的時(shí)鐘差、用戶之間的距離等。仿真結(jié)果證明，協(xié)同定位可以很大程度提高用戶的可定位性。當(dāng)協(xié)同用戶組數(shù)增加到500時(shí)，用戶的可定位性可以提高到98%。

圖5 協(xié)同與非協(xié)同場景下用戶可定位性比較

6 總結(jié)及進(jìn)一步研究方向

本文回顧了單點(diǎn)定位的模型，總結(jié)了單點(diǎn)定位存在的幾種解法，并對他們進(jìn)行了對比，分析了各自的優(yōu)勢。就衛(wèi)星協(xié)同定位中的一個(gè)具體場景：兩個(gè)用戶的協(xié)同，建立了用戶之間通過測距和通信進(jìn)行協(xié)同的模型，分析了用戶的可定位性，給出了定位解。本文為多用戶協(xié)同定位中可定位性的分析提供了參考。

下一步會(huì)進(jìn)一步研究和探討兩點(diǎn)協(xié)同定位。在協(xié)同的內(nèi)容和方式上，會(huì)考慮更容易實(shí)現(xiàn)，更便于計(jì)算的方法，還要確保能夠達(dá)到更高的定位精度。同時(shí)，還會(huì)將兩點(diǎn)協(xié)同定位擴(kuò)展到多點(diǎn)協(xié)同定位，并最終將考慮整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同定位中可定位性的問題。

［1］ MAO Xu－chu，WADA M，HASHIMOTO H.Nonlinear Iterative Algorithm for GPS Positioning with Bias Model［C］／／Proceedings of the 7th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems.Washington，WA：IEEE，2004：684－689.

［2］ MARTIN E H.GPS User Equipment Error Models（User Equipment）［J］／／Navigation，1978，25（2）：201－210.

［3］ BANCROFT S，KING R D.An Algebraic Solution of the GPS Equations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1985，AES－21（1）：56－59.

［4］ KRAUSE L O.A Direct Solution to GPS－type Navigation Equations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1987，AES－23（2）：225－232.

［5］ ABEL J S，CHAFFEE J W.Existence and Uniqueness of GPS Solutions［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1991，27（6）：952－956.

［6］ CHAFFEE J，ABEL J.On the Exact Solutions of Pseudorange Equations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1994，30（4）：1021－1030.

［7］ LEVA J L.An Alternative Closed－form Solution to the GPS Pseudo－range Equations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1996，32（4）：1430－1439.

［8］ KURAZUME R，HIROSE S，NAGATA S，et al.Study on Cooperative Positioning System（Basic Principle and Measurement Experiment）［C］／／Proceedings of 1996IEEE International Conference on Robotics and Automation.Minneapolis，MN：IEEE，1996：1421－1426.

［9］ PATWARI N，ASH J N，KYPEROUNTAS S，et al.Locating the Nodes：Cooperative Localization in Wireless Sensor Networks［J］.Signal Processing Magazine，2005，22（4）：54－69.

［10］ MOURIKIS A I，ROUMELIOTIS S I.Performance Analysis of Multirobot Cooperative Localization［J］.IEEE Transactions on Robotics，2006，22（4）：666－681.

［11］ PENNA F，CACERES M A，WYMEERSCH H.Cramér－Rao Bound for Hybrid GNSS－terrestrial Positioning［J］.Communications Letters，2010，14（11）：1005－1007.

［12］ MENSING C，SAND S，DAMMANN A.GNSS Positioning in Critical Scenarios：Hybrid Data Fusion with Communications Signals［C］／／Proceedings of 2009IEEE International Conference on Communications Workshops（ICC Workshops 2009）.Dresden，Germany：IEEE，2009：1－6.

［13］ TIAN Shi－wei，DAI Wei－h(huán)eng，CHANG Jiang，et al.On the Agent Localizability of Hybrid GNSS－terrestrial Cooperative Positioning［C］／／第四屆中國衛(wèi)星導(dǎo)航學(xué)術(shù)年會(huì)論文集.武漢：Springer Berlin Heidelberg，2013：567－575.

［14］ QUEBE S，CAMPBELL J，DE VILBISS S，et al.Cooperative GPS Navigation［C］／／Proceedings of 2010IEEE／ION Position Location and Navigation Symposium（PLANS）.Indian Wells，CA：IEEE，2010：834－837.

［15］ GARELLO R，SAMSON J，SPIRITO M，et al.Peer－to－peer Cooperative Positioning［J］.Inside GNSS，2012（July／August）：56－65.