曹 瀟

（西北政法大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，西安710100）

在金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)研究中，同積過程｛yt｝的同積向量往往是未知的，需由觀察到的樣本估計(jì)得到。現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)同積向量的最小二乘估計(jì)、估計(jì)量的極限分布和對(duì)同積向量的假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行了研究［1－3］，但是沒有考慮矩陣∑21不為零時(shí)的情形，統(tǒng)計(jì)量T（＾γT－γ）的極限分布是非標(biāo)準(zhǔn)的。本文將研究同積向量的充分改進(jìn)的最小二乘估計(jì)方法，旨在克服這一困難。這一研究可以為實(shí)際的微觀金融資產(chǎn)波動(dòng)分析提供有力的工具。

1 同積向量的最小二乘估計(jì)

若n維隨機(jī)向量同積，并有同積向量a，那么a可由最小二乘法一致地估計(jì)得到。為說明最小二乘法的合理性，作以下考慮。a為yt的同積向量，因此zt＝a′yt為一單變量I（0）的過程。

但是，若a不是yt的同積向量，那么zt＝a′yt仍為I（1）變量，此時(shí)可得

式（1）中，T為樣本量，W（r）是標(biāo)準(zhǔn)維納過程，r∈ ［0，1］。令Λ＝Ψ（1）P，Ψ（L）為無窮階滯后多項(xiàng)式，Λ決定于Δyt的自相關(guān)系數(shù)矩陣。（1）式是一正定的二次型，從而有

因此，只要ｙｔ是同積的，并有同積向量ａ，以下最優(yōu)問題

的解a，即A的最小二乘估計(jì)，是同積向量的一致估計(jì)。

同積向量的最小估計(jì)通常在同積過程的三角表示形式中進(jìn)行。同積過程｛yt｝的三角表示形式為：

這里，y1t為單變量隨機(jī)變量，y2t為（n－1）維隨機(jī)向量。現(xiàn)有文獻(xiàn)給出了參數(shù)α和γ的最小二乘估計(jì)。

2 充分改進(jìn)的最小二乘估計(jì)

同積向量的充分改進(jìn)的最小二乘估計(jì)（fully modified OLS），簡(jiǎn)稱改進(jìn)的OLS。考慮同積系統(tǒng)的三角表示形式：

（u1t，u2t）′有表示形式＝ Ψ（L）ε，其中，Ψ（L）為無窮階滯后多項(xiàng)式，｛εt｝獨(dú)立同分布，E（εt）＝0，D（εt）＝E）＝ Ω＝PP′。令Λ ＝ Ψ（1）P，則有：

若∑21不為零，構(gòu)造將其從y1t中減去，可得修改后的同積系統(tǒng)為＝α＋＋，其中其中的矩陣L′對(duì)中的參數(shù)作估計(jì)，得最小二乘估計(jì)＾α＋T和＾γ＋T，

其中，W（r）為n維標(biāo)準(zhǔn)維納過程，參數(shù)δ＋的表示式：

方差矩陣∑可由下式

3 結(jié)論

綜上分析，構(gòu)造充分改進(jìn)的最小二乘估計(jì)＾α＋＋T和＾γ＋＋T需要采取以下步驟：先以y1t對(duì)常數(shù)和y2t作回歸，取得殘差＾u1t；然后用＾u1t和＾u2t構(gòu)造估計(jì)量＾Γv和；對(duì)y1t作調(diào)整＝計(jì)算＾δ＋；最后用對(duì)常數(shù)和y2t作回歸，并將 T＾δ＋從（∑y2t＾y＋1t）中減去。

值得注意的是，以上的分析并不依賴于u1t和u2t的具體的參數(shù)結(jié)構(gòu)，所以從這個(gè)意義上說，改進(jìn)的OLS方法是一種非參數(shù)的方法，有助于充分的最小二乘估計(jì)。

［1］ 王志強(qiáng).基于改進(jìn)最小二乘支持向量機(jī)的最優(yōu)解估計(jì)方法［J］.計(jì)算機(jī)與應(yīng)用，2013（11）：27－28.

［2］ 程延強(qiáng).廣義均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下雙類估計(jì)優(yōu)于最小二乘估計(jì)的充分條件［J］.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008（10）：21－23.

［3］ 楊旸.相依誤差下線性回歸模型最小二乘估計(jì)的相合性［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2014（4）：31－33.

［4］ 陳海清.廣義Pareto分布參數(shù)的最小二乘估計(jì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2013（4）：64－70.

［5］ 尹小紅.線性模型廣義最小二乘估計(jì)的中偏差、重對(duì)數(shù)律與相對(duì)效率［J］.湖南文理學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013（3）：27－28.