【摘 要】導數(shù)概念的產(chǎn)生有著直覺的起源，與曲線的切線和運動質(zhì)點的速度有密切的關(guān)系導數(shù)用于描述函數(shù)變化率，刻畫函數(shù)的因變量隨自變量變化的快慢程度。在數(shù)學教學中，將數(shù)學問題系列化，能夠有效地提高學生解決數(shù)學問題的能力。

【關(guān)鍵詞】導數(shù) 函數(shù) 不等式 中值定理

一、利用導數(shù)的定義證明不等式

定義1：設(shè)函數(shù)在點X0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，在點X0處給自變量以增量（點X0+仍在該領(lǐng)域內(nèi)），相應地，函數(shù)有增量

如果當時比值的極限

存在，則稱此極限值為函數(shù)在點處的導數(shù)，記作，，.并稱函數(shù)在點處可導.

二、利用中值定理證明不等式

定理1：（拉格朗日中值定理）若函數(shù)滿足條件：（1） 在閉區(qū)間上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間內(nèi)可導， 則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點， 使得.定理2：（柯西中值定理）設(shè)函數(shù)和滿足條件：（1）、在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）、在開區(qū)間可導，且，則至少存在一點，使.

三、積分第二中值定理

四、用泰勒公式（Taylor公式）證明不等式

定理5：（泰勒定理）若在包含的某個區(qū)間上具有階導數(shù)，則對于此區(qū)間內(nèi)任一點，在此區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得

通常 為拉格朗日余項。

從上面的討論中我們可以得知，導數(shù)在證明不等式中的重要性.導數(shù)在證明不等式中的應用在歷年研究生入學考試及各種《高等數(shù)學》競賽中經(jīng)常出現(xiàn)。

參考文獻：

[1]劉玉蓮. 數(shù)學分析講義（第四版）上冊[M]. 高等教育出版社.2004.6.

[2]曾捷，數(shù)學分析同步輔導及習題全解[M].中國礦業(yè)大學出版社，2006.122～159.

[3]裘單明等，研究生入學考試指導，數(shù)學分析[M]，濟南：山東科學技術(shù)出版社，1985.

[4]華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析[M]第三版，北京：高等教育出版社，2001.