楊 杰，張紹宗

（1.華南師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，廣州 510006；2.云南師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，昆明 650092）

1 VaR的估計(jì)方法

VaR的常見(jiàn)估計(jì)方法有歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法和參數(shù)法，實(shí)踐中采用較多的是參數(shù)法，其核心思想是設(shè)定金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的收益率服從特定的參數(shù)分布，再通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，進(jìn)而確定出收益率的具體分布。最后計(jì)算對(duì)應(yīng)置信水平的分位數(shù)，從解出相應(yīng)的VaR值。由于金融資產(chǎn)的收益序列常常具有尖峰厚尾的特征，因而采用參數(shù)法計(jì)算VaR時(shí)需要確定合適的概率分布來(lái)刻畫這種特征，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者正是沿著這一思路在估計(jì)金融資產(chǎn)的VaR值。如，Press S.在1987年提出用混合高斯分布來(lái)擬合道瓊斯指數(shù)的效果比正態(tài)分布的擬合效果要好；R.N.Mantegna和H.E.Stanley（1994,1995）首次提出截?cái)郘evy分布，并將其用于美國(guó)股票和債券市場(chǎng)收益率的尾部擬合，實(shí)證研究顯示截?cái)郘evy分布可以刻畫其厚尾特征；Peter Verhoeven等（2004）用非對(duì)稱t分布、非對(duì)稱一般誤差分布（GED）等六種分布形式代替正態(tài)分布，用于表述歐元對(duì)美元的匯率變動(dòng)分布，結(jié)果表明，在描述序列的偏度、峰度以及極大似然函數(shù)值方面，前者均優(yōu)于后者。國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究中，潘家柱等（2000）討論了廣義Pareto分布的性質(zhì)，并利用此模型對(duì)上證指數(shù)和深證指數(shù)的收益率進(jìn)行分析，給出了相應(yīng)的VaR估計(jì)值；張明恒、程乾生（2002）研究了金融資產(chǎn)收益的混合高斯分布模型，給出了混合高斯分布的Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)方法，分析了金融資產(chǎn)收益的非高斯性；盧方元（2004）對(duì)上證綜指和深證成指收益率分布狀況進(jìn)行實(shí)證分析，研究結(jié)果表明兩類股指收益率均可以用穩(wěn)定分布對(duì)其進(jìn)行描述。

2 兩類新型分位數(shù)概率模型

2.1 分位數(shù)的定義

對(duì)任意隨機(jī)變量 X，任給實(shí)數(shù)τ（0＜τ＜1），若滿足：P{X≤xτ}≥τ且 P{X≥xτ}≥1-τ，則稱數(shù)值 xτ為隨機(jī)變量X的τ分位數(shù)。這個(gè)定義在實(shí)際中由于其存在性和唯一性問(wèn)題使得理論研究中發(fā)生技術(shù)上的困難，為了回避這些技術(shù)困難，統(tǒng)計(jì)學(xué)家將隨機(jī)變量X的τ分位數(shù)定義為：

xτ=inf{x:F(x)≥τ}，τ∈(0，1)

其中，F(xiàn)(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。特別地，當(dāng)F(x)是嚴(yán)增函數(shù)時(shí)，上述兩種定義等價(jià)，且得到τ分位數(shù)唯一。

2.2 分位數(shù)函數(shù)

在傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)理論中，常常使用某種分布函數(shù)或概率密度來(lái)刻畫一個(gè)隨機(jī)變量的分布，其經(jīng)典的代表便是正態(tài)分布。分布函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)在于便于計(jì)算相應(yīng)隨機(jī)變量的數(shù)字特征，使得人們易于掌握該隨機(jī)變量的分布特征。但是，隨著人們對(duì)現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的不斷認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)采用分布函數(shù)來(lái)描述隨機(jī)變量的分布變得越來(lái)越復(fù)雜和困難，究其原因除了分布函數(shù)的表達(dá)式變得越來(lái)越復(fù)雜外，某些隨機(jī)變量的分布可能本身就不存在顯式分布函數(shù)，這就使得人們開(kāi)始從不同的途徑來(lái)探索隨機(jī)變量的分布。分位數(shù)函數(shù)的出現(xiàn)，就是這方面的一個(gè)有益探索。相比分布函數(shù)而言，一個(gè)隨機(jī)變量的分位數(shù)函數(shù)往往具有更多優(yōu)點(diǎn)。從廣義上而言，一個(gè)隨機(jī)變量的分位數(shù)函數(shù)與其分布函數(shù)呈反函數(shù)關(guān)系，兩者在一定條件下呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而分位數(shù)函數(shù)一般具有更為簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，且易于數(shù)值擬合，這使得分位數(shù)分布成為近年來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。

2.3 兩類新型分位數(shù)概率模型

下面的兩類概率分布族是由蔣文江教授和鄧世杰教授（2004）根據(jù)分位數(shù)的思想首先提出的，他們首先將其應(yīng)用在德國(guó)證券市場(chǎng)上用于刻畫股票收益率的分布并取得很好的效果。這里我們?nèi)匀谎赜盟麄兊谋硎痉绞絹?lái)表示兩類分位數(shù)概率分布族。其中，我們用QI(α，β，δ，μ)來(lái)表示第一類分位數(shù)概率分布族，其解析式可以表述為下式：

附注：模型（1）中所有的參數(shù)都具有直觀的解釋意義，其中μ是位置參數(shù)，δ是尺度參數(shù)，β參數(shù)的大小可以用來(lái)度量尾部的對(duì)稱性，當(dāng) β=1時(shí)意味著該分布是平衡的，當(dāng) β＜(＞)1時(shí)意味著分布的右尾（左尾）比左尾（右尾）厚；參數(shù)α可以刻畫分布的尾部厚度，較小的α值，意味著分布的尾部更厚。

第一類分位數(shù)概率分布族 QI(α，β，δ，μ)，具有顯式分布密度，其表達(dá)式如下

其中 x∈(-∞，μ)∪(μ，+∞)，因?yàn)榈谝活惙治粩?shù)概率分布族具有顯式分布密度表達(dá)式，所以我們可以直接采用極大似然估計(jì)的方法估計(jì)參數(shù)α，β，δ和μ。

第二類概率分布族用 QII(y;α-，α+，β-，β+，μ)來(lái)表示，主要用于擬合具有極端不平穩(wěn)尾部特征的數(shù)據(jù)分布，其分位數(shù)函數(shù)可以表示為：

其中，模型參數(shù) α-，α+，β-，β+∈R+，μ∈R ，并且我們主要關(guān)注的是參數(shù)α-≤1，α+≤1時(shí)的情形。與第一類分布相同，參數(shù)α-和α+也用來(lái)衡量分布左右尾部的厚度。

在上述分位數(shù)概率模型的基礎(chǔ)上，我們可以方便的計(jì)算出金融資產(chǎn)收益率的分位數(shù)和對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。設(shè)R(t)表示某項(xiàng)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在持有期T內(nèi)的收益率，VaRθ表示該資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在置信水平為1-θ（0＜θ＜1）下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，則

其中，q(y)為R(t)的樣本分位數(shù)函數(shù)。

3 模型的實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)的選取及其統(tǒng)計(jì)特征

本文選擇美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)（S&P500）、香港恒生指數(shù)（HSI）、上證綜合指數(shù)（SSEC）和深圳成份指數(shù)（SZSC）為樣本進(jìn)行研究。為保證研究時(shí)期的一致性，所有樣本采用2008年1月1日到2013年6月30日的大盤日收盤價(jià)格指數(shù)進(jìn)行分析，數(shù)據(jù)全部來(lái)自雅虎財(cái)經(jīng)網(wǎng)（www.yahoo.com）。下圖1給出四種股票指數(shù)在樣本期內(nèi)的走勢(shì)特征。

圖1 S&P500、HSI、SSEC、SZSC的走勢(shì)特征

日收益率采用連續(xù)對(duì)數(shù)收益，即 ri=lnPt-lnPt-1，其中Pt為每日收盤的指數(shù)價(jià)格。表1給出兩種大盤指數(shù)的對(duì)數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)特征。從表1我們可以看出：

除標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)外，其他三種指數(shù)的收益率均值均小于零；四種指數(shù)中，深證成分指數(shù)的波動(dòng)最大，標(biāo)準(zhǔn)差為0.0201，標(biāo)普500指數(shù)由于其市場(chǎng)成熟度較高，故波動(dòng)性最小，標(biāo)準(zhǔn)差為0.016；另外，四種指數(shù)的收益率的峰度都大于3，J-B統(tǒng)計(jì)量較大，說(shuō)明其收益率分布都具有尖峰厚尾和非正態(tài)性分布的特征。

表1 收益率統(tǒng)計(jì)特征

3.2 基于第一類分位數(shù)分布的VaR模型的構(gòu)建

3.2.1 第一類分位數(shù)概率模型的估計(jì)結(jié)果

利用Q-Q（Quantile--Quantile）估計(jì)方法，我們得到基于第一類分位數(shù)分布擬合四類股票指數(shù)收益率的參數(shù)估計(jì)結(jié)果（見(jiàn)表2）。通過(guò)Q-Q圖展示了S&P500、HSI、SSEC和SZSC收益率的理論分位數(shù)與實(shí)際分位數(shù)的擬合情況發(fā)現(xiàn)：從四個(gè)圖的擬合效果來(lái)看，除了樣本尾部數(shù)據(jù)的幾個(gè)異常點(diǎn)外，理論分位數(shù)和實(shí)際分位數(shù)基本在一條直線上，這說(shuō)明第一類分布的擬合效果較好。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，上證綜合指數(shù)和深圳成分指數(shù)的收益率擬合效果要優(yōu)于標(biāo)普500指數(shù)和恒生指數(shù)的收益率。這可能和國(guó)內(nèi)股市的漲停板制度有顯著關(guān)系，漲停板制度的實(shí)施有效地限制了股票市場(chǎng)的大幅波動(dòng)，從而使得大盤指數(shù)出現(xiàn)異常收益率的幾率大大降低。從表2的參數(shù)估計(jì)分析，我們發(fā)現(xiàn)四類指數(shù)的擬合估計(jì)β值都顯著大于1，這說(shuō)明四類股票指數(shù)分布的左尾都比右尾更厚，呈現(xiàn)出左右尾部不對(duì)稱的特點(diǎn)，這提示我們當(dāng)不利消息沖擊股市時(shí)，其損失將大于有利信息沖擊股市所帶來(lái)的收益。另外，四類股票指數(shù)分布的α都小于1，說(shuō)明其收益率分布的尾部厚度大于正態(tài)分布的尾部厚度。

3.2.2 基于第一類分位數(shù)分布的VaR模型

在實(shí)證研究中為了檢驗(yàn)第一類分位數(shù)VaR模型的準(zhǔn)確性，我們分別采用靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩種方式進(jìn)行VaR的建模估計(jì)。所謂靜態(tài)VaR模型就是將樣本期內(nèi)所有數(shù)據(jù)都用于第一類分位數(shù)模型的估計(jì)，進(jìn)而計(jì)算出所有樣本期的VaR風(fēng)險(xiǎn)值。另外一種情況，我們也考慮不同人可能選取不同的樣本長(zhǎng)度進(jìn)行VaR估計(jì)，這些不同樣本期間內(nèi)得到VaR值會(huì)不會(huì)有顯著的不同呢？它們之間是否會(huì)呈現(xiàn)某種特征呢？這促使我們考慮通過(guò)數(shù)據(jù)平移的方式來(lái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)VaR估計(jì)，其建模的規(guī)則是：將樣本的收益率數(shù)據(jù)分為建模樣本和檢驗(yàn)樣本兩個(gè)部分，采用樣本期內(nèi)的后500個(gè)數(shù)據(jù)用于模型檢驗(yàn)，前面的數(shù)據(jù)用于建模，并逐次向后平移數(shù)據(jù)形成動(dòng)態(tài)VaR序列。例如對(duì)于上證綜指的1374個(gè)樣本收益率中的前874個(gè)數(shù)據(jù)用于建模，后500個(gè)用于日VaR估計(jì)值的回顧測(cè)試，具體建模中采用數(shù)據(jù)的平移滾動(dòng)方式進(jìn)行估計(jì)，即用1～874個(gè)數(shù)據(jù)估計(jì)分位數(shù)模型并計(jì)算出第一個(gè)VaR值，再通過(guò)平移選取2～875個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算出第二個(gè)VaR值，…..，以此類推，我們可以得到一個(gè)VaR序列，其包含有500個(gè)VaR值，并用該VaR系列值與后500個(gè)日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，從而檢驗(yàn)動(dòng)態(tài)VaR模型估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的效果。

（1）靜態(tài)模型的估計(jì)結(jié)果。

表2中四類指數(shù)收益率的估計(jì)參數(shù)分別代入（1）式，并令置信度θ=0.01，我們得到置信水平為99%的VaR估計(jì)值，其結(jié)果如表3所示：

表3 四種股票指數(shù)的靜態(tài)VaR估計(jì)值

從上述結(jié)果可以看出，在整個(gè)樣本期內(nèi)，基于成熟市場(chǎng)的標(biāo)普500指數(shù)和恒生指數(shù)的VaR風(fēng)險(xiǎn)值要明顯小于國(guó)內(nèi)的上證指數(shù)和深證成指的VaR值。同樣置信水平下，深證成指的風(fēng)險(xiǎn)最大。

（2）動(dòng)態(tài)模型的估計(jì)結(jié)果

如上面所述，我們采用滾動(dòng)平移的方式，分別做出標(biāo)普 500指數(shù)（S&P500）恒生指數(shù)（HSI）、上證綜合指數(shù)（SSEC）、深證成分指數(shù)（SZSC）在置信水平99%下的VaR序列圖（圖略）。并在表4中給出三種股票指數(shù)收益率動(dòng)態(tài)VaR序列的相應(yīng)統(tǒng)計(jì)特征。

表4 四種指數(shù)收益率動(dòng)態(tài)VaR序列的統(tǒng)計(jì)特征

4 回顧測(cè)試

建立VaR模型估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)后，監(jiān)管部門和金融機(jī)構(gòu)必須進(jìn)行后驗(yàn)測(cè)試（Backtesting），也稱為回顧測(cè)試，即將VaR模型預(yù)測(cè)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)和實(shí)際交易結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以評(píng)價(jià)VaR的準(zhǔn)確性和模型的有效性。本文采用Christoffersen（2003）給出的VaR回顧測(cè)試方法，下面對(duì)其作簡(jiǎn)單介紹。

圖2 四種股票指數(shù)動(dòng)態(tài)VaR序列的回顧測(cè)試

從檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，S&P500和HSI各發(fā)生一次“VaR違背事件”，而SSEC和SZSC各發(fā)生兩次“VaR違背事件”，都小于損失超過(guò)VaR估計(jì)值的5次理論值。由此說(shuō)明，基于第一類分位數(shù)概率分布的動(dòng)態(tài)VaR能夠有效地度量四種證券指數(shù)的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。另外，出于穩(wěn)健性考慮，我們也采用Kuipec（2005）提出的LR統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)VaR預(yù)測(cè)違背比率π是否顯著不同于預(yù)設(shè)的顯著水平 p，即H0: π=p；H1: π≠p。在零假設(shè)下LR似然比統(tǒng)計(jì)量服從自由度為1的卡方分布，即

其中，T樣本測(cè)試期，n為樣本測(cè)試期內(nèi)“VaR違背事件”的發(fā)生次數(shù)，=n T為測(cè)試失敗率，p為顯著性水平。若零假設(shè)成立，在99%的置信水平下的分位數(shù)為6.635，若LR＞6.635，則拒絕原假設(shè)，對(duì)應(yīng)的VaR模型也被拒絕。表5顯示LR似然比檢驗(yàn)的結(jié)果。

表5 LR統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)結(jié)果

5 總結(jié)

本文在蔣文江教授和鄧世杰教授提出的一類新型分位數(shù)概率分布的基礎(chǔ)上，提出基于新型分位數(shù)分布的動(dòng)態(tài)VaR模型，其優(yōu)點(diǎn)在于其直接對(duì)條件分布的分位點(diǎn)進(jìn)行建模，而不依賴于特定的分布形式和分布參數(shù)，體現(xiàn)由數(shù)據(jù)選擇模型的思想，特別適合于厚尾分布數(shù)據(jù)的應(yīng)用。通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)，香港恒生指數(shù)、上證綜合指數(shù)和深證成分指數(shù)的實(shí)證檢驗(yàn)，回顧測(cè)試顯示，我們的分位數(shù)動(dòng)態(tài)VaR模型能較好地度量證券市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，其該模型在發(fā)達(dá)證券市場(chǎng)的表現(xiàn)優(yōu)于國(guó)內(nèi)證券市場(chǎng)的表現(xiàn)。

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[5]盧方元.中國(guó)股市收益率分布特征實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2004，（4）.