秦永

函數定義域在高中數學教學中看起來簡單，但在解題過程中如果對之有所忽視，往往會使解題思路走向歧途，有勞而無功。通過多年高中數學教學發(fā)現，利用定義域對函數的作用，加強對學生的思維品質進行相應的訓練和提高，對培養(yǎng)學生思維品質是很有好處的。

一、利用函數關系式與定義域，培養(yǎng)思維嚴密性

在數學教學中往往會出現求解函數的關系式，遇到這樣問題時如果忽視了所求函數關系式的定義域，將會使求解函數出現錯誤的結論。

例1：用長14.8m的鋼條來制作一個長方體容器的框架，若所制容器底面一邊長為x，且比另一底邊小0.5m，求容積V關于邊長x的函數關系式。

解：設容器高為h，則4（x+0.5+x+h）=14.8，所以h=3.2-2x

V=x（0.5+x）（3.2-2x）=-2x■+2.2x■+1.6x

本題解答到這里并沒有結束，從題目中我們不難發(fā)現函數關系式還缺少自變量x的取值范圍。此時如果引導學生注意解題思路的嚴密性，強調函數三要素，學生將會有所發(fā)現：

因為邊長x和x+0.5以及高h均大于0，所以由：

x>0x+0.5>03.2-2x>0得：0

學生思維一旦缺乏嚴密性，就很容易忽視函數自變量定義域，所以在用函數方法解決實際問題時，務必注意函數自變量的取值范圍對實際問題的影響，對學生加強必要引導和訓練。

二、利用函數最值與定義域，培養(yǎng)思維靈活性

數學函數求最值的問題充分體現函數定義域的重要性。如果忽視定義域，將會導致最值的錯誤。

例2：已知函數f（x）=■，x≥1

（1）當a=■時，求f（x）的最小值。

（2）若對任意x≥1，f（x）>0恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：此題第（1）問，學生會產生三種思路：①利用單調性的定義證明f（x）的單調性再求最值；②利用導數判斷函數的單調性再求最值；③利用均值不等式求最值。而前兩種方法都較為繁瑣，所以學生很容易偏向第三種解法。

錯解：（1）a=■時，f（x）=■=x+■+2≥2■+2=2+■，當且僅當x=■時，即x=±■時，f（x）■=2+■

剖析：盡管學生想到了均值不等式這樣簡潔的方法，但是忽視了均值不等式的應用條件和函數的定義域。因為±■ 1，+∞，所以“=”取不到，故此解法錯誤。

（2）在（1）的教訓下，學生在解答這一小題時開始注意到“x≥1”這個條件，于是作如下解答：

由f（x）>0恒成立且x≥1可得x■+2x+a>0恒成立，由二次函數的知識可知，只需要令△<0，即4-4a<0，所以a>1。

或者作如下解：

若x■+2x+a>0恒成立，則a>-x■-2x恒成立，則只需要令a大于-x■-2x的最大值即可。又-x■-2x=-（x+1）■-1≤-1，所以a>-1。

但是這兩個答案都是錯的，都是沒能把定義域考慮完全，盡管在開始的變形與轉化中已經注意到這個問題，但是隨著解題的深入，在思維定勢的影響下，定義域又忘了。

正解：思路一，∵x≥1，若f（x）=■>0恒成立，則只需要x■+2x+a>0恒成立，∵二次函數g（x）=x■+2x+a在[1，+∞）上遞增，若在x≥1時，g（x）恒大于0，則只需要g（1）>0。∴3+a>0，即a>-3。

思路二，由x■+2x+a>0恒成立可得a>-x■-2x恒成立，設g（x）=-x■-2x，其中，x≥1，則只需要a>g（x）■=g（1）=-3，所以a>-3。

由此我們可以發(fā)現，學生在解題過程中的思維嚴密性和靈活性不是短期內就能養(yǎng)成的，這時，教師應當提醒學生注意自變量的取值范圍，這樣就可以打破學生的思維定勢，提高其靈活性。

三、利用函數值域與定義域的關系，培養(yǎng)思維批判性

在數學函數中當定義域和對應法則確定下來，函數的值也將會隨之而確定。因此，我們在解答函數值域的問題時，要高度重視函數定義域的問題。

例3：已知函數f（x）=sinxcosx-sinx-cosx，求f（x）的值域。

錯解：設sinx+cosx=t，則sinxcosx=■，所以，f（x）=g（t）=■t■-t-■=（t-1）■-1≥-1，故f（x）的值域為[―1，+∞）。

剖析：換元后sinx+cosx=t=■sin（x+■）∴-■≤t≤■

∴g（t）■=g（-■）=■+■，g（t）■=g（1）=-1

∴f（x）的值域是[-1，■+■]。

自變量的取值范圍對函數值域非常重要，因此，教師要能夠嚴格要求學生對做完的習題進行檢驗，發(fā)現和修訂錯誤，從而培養(yǎng)學生良好的學習習慣，提高學生思維的批判性和嚴謹性。

四、利用函數單調性與定義域，培養(yǎng)思維深刻性

在解答函數習題時，千萬不能忽略函數的單調性，應強調在給定的定義域區(qū)間上函數自變量增加時，函數值隨之增減的情況，討論函數單調性在給定的定義域區(qū)間上的變化情況。

例4：指出函數f（x）=■的單調區(qū)間。

解：先求定義域：∵log■（x■―2x）≠0，∴x■―2x≠1

又∵x■―2x>0，所以函數定義域為：

（-∞，1-■）∪（1-■，0）∪（2，1+■）∪（1+■，+∞）

設u= x■-2x，則u在（-∞，1-■）和（1-■，0）上遞減，在（2，1+■）和（1+■，+∞）上遞增。根據復合函數單調性的判斷方法，可知f（x）的單調減區(qū)間是（-∞，1-■）和（1-■，0）；單調增區(qū)間是（2，1+■）和（1+■，+∞）。

如果學生對函數單調性的概念不清楚，理解不深刻，在習題訓練時，只會死套公式；由于思維缺乏深刻性，對于解題方法的實質以及所用到的知識點都不能夠深刻領會，在答題時，也一定不會考慮到函數在定義域內的單調性。所以，教學時，教師應重視學生的反思過程，反思解題過程和方法，反思解題所用到的知識點，以此達到檢查遺漏，補缺補差，避免再犯的目的。

綜上所述，函數定義域對求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等數學問題是非常重要，如果在教學中把與定義域有關的問題集中起來加強對學生進行強化訓練，可以培養(yǎng)學生良好的思維習慣、思維品質，同時還有利學生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

【責編 張景賢】