【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0163-02

恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。”數(shù)形結(jié)合貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展中，抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，找出解題之路。下面本人就高中一些常見題型來淺談數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用：

1.利用數(shù)形結(jié)合解決集合問題

對(duì)一些比較抽象的集合問題，在解題時(shí)若借助韋恩圖或用數(shù)軸、圖象等數(shù)形結(jié)合的思想方法，往往可以使問題直觀化、形象化，從而靈活、直觀、簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解。請(qǐng)先看看下面的例題：

例1 某校校運(yùn)會(huì)有跳繩18人，跳高17人，10人跳遠(yuǎn)，參加跳繩和跳高的有12人，跳繩和跳遠(yuǎn)的有6人，跳高和跳遠(yuǎn)的有5人，同時(shí)參加三個(gè)項(xiàng)目的有2人，請(qǐng)問參賽的共有多少人？

我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的韋恩圖來看看：

按照數(shù)字填表，圖像就可以很清晰地把答案告訴你。希望在完成這個(gè)題后大家能享受到數(shù)形結(jié)合帶來的一絲甜意。

2.函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合

函數(shù)，是貫穿整個(gè)高中的一個(gè)重要章節(jié)，而函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，在解題時(shí)經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化。如果在解決函數(shù)問題，尤其是較為繁瑣的（如分類討論、求參數(shù)的范圍等）問題時(shí)能充分發(fā)揮圖象的直觀作用，就事半功倍。

例2 設(shè)函數(shù) 若 f（x）=（■）1+x，x≤0x■，x>0， f（x0）>1，則x0的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞ ）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞）D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

利用函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的大概模型，請(qǐng)看下圖1，它是求函數(shù)的y值大于1所對(duì)應(yīng)的x值范圍，就是在直線上面的圖像就是所求的部分，那么只要圖像交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)x值求出，問題就迎刃而解。

圖1

3.利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)列問題

一般來說，數(shù)列是一個(gè)對(duì)數(shù)規(guī)律進(jìn)行研究的章節(jié)，然而我們也同樣可以給數(shù)列賦予幾何的意義，這樣在處理一些數(shù)據(jù)問題時(shí)是較為清晰的。一般數(shù)列可看成以n為自變量的函數(shù)，如等差數(shù)列可看成自然數(shù)n的“一次函數(shù)”函數(shù)都會(huì)有它對(duì)應(yīng)的圖像，從這個(gè)角度來看，我們無形中就給數(shù)列賦予了相應(yīng)的幾何意義。

例3 若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap=q，aq=p，求ap+q。（如圖2）

現(xiàn)在我們來給數(shù)列賦予圖像，題目已明確這是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列中，an關(guān)于n的圖象是一條直線上均勻排開的一群孤立的點(diǎn)，這個(gè)問題變成求解一次函數(shù)的坐標(biāo)問題了。

4.不等式與解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

高中里不等式的章節(jié)在解析幾何中，借助直線、圓及圓錐曲線在直角坐的特點(diǎn)，可從圖形上尋求解題思路，啟發(fā)思維，難題巧解。

例4 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式（x-2）2+y2=3，那么y∕x的最大值是（ ）。

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

圖3

等式（x-2）2+y2=3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r=■為半徑的圓（如圖5）。而■=■則表示圓上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）的連線的斜率。如此一來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動(dòng)點(diǎn)A在以（2，0）為圓心，以■為半徑的圓上移動(dòng)，求直線OA的斜率的最大值。答案即可“浮出水面”。

5.求極值問題中的數(shù)形結(jié)合

許多代數(shù)極值問題，存在著圖形背景，借助形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何直觀描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，啟發(fā)思維，難題巧解。

例5 直線y=a與函數(shù)f（x）=x3-3x的圖象有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍為（ ）。

A.（-2，1） B.（-1，2） C.（-2，2） D.[-2，2]

函數(shù)f（x）=x3-3x的導(dǎo)數(shù)為f '（x）=3x2-3。令f '（x）≥0，解得x≥1或x≤-1；令f '（x）≤0，解得-1≤x≤1；則函數(shù)f （x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增。在（-1，1）上單調(diào)遞減。由此畫出f （x）的草圖（圖4）。這樣我們又回到解決交點(diǎn)問題了。

6.數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

復(fù)數(shù)的幾何意義包括兩方面內(nèi)容：一是與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，二是與復(fù)平面上從原點(diǎn)出發(fā)的向量一一對(duì)應(yīng)，這使得復(fù)數(shù)可以從解析幾何的角度來審視，可借助數(shù)與形的互化來解題。

例8 已知z∈C，且|z|≤■，求|z+1|的取值范圍。

利用復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的圖形及其幾何意義解決此類問題。|z|≤■在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形為以原點(diǎn)為圓心，以■為半徑的圓周及圓內(nèi)部，|z+1|表示在復(fù)平面上z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離。由圖5，|z+1|最大值為|AC|=32，|z+1|最小值為|AB|=■。故|z+1|∈[■，■]。

結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：一、注意數(shù)與形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、熟知的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化前后的問題應(yīng)是等價(jià)的；二、注意利用“數(shù)”的精確性和“形”的全面性。上面的例子只是個(gè)例，學(xué)生要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，必須有雄厚的基礎(chǔ)知識(shí)和熟練的基本技巧。教師在平日的教學(xué)中，要緊緊抓住數(shù)形轉(zhuǎn)化的策略，溝通知識(shí)聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的思維能力。只有這樣，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的能力才會(huì)不斷深化提高。