【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）11-0161-02

每年的高考題都是命題人嘔心瀝血的精心之作，對(duì)來(lái)年的高考具有一定的指導(dǎo)與示范作用。對(duì)高考題的解題方法以及推廣出的一般結(jié)論的研究，可以讓學(xué)生了解考題的側(cè)重點(diǎn)以及命題思路，以便學(xué)生在來(lái)年的高考中取得更加優(yōu)異的成績(jī)。下面筆者結(jié)合剛剛結(jié)束的2013年江蘇高考19題進(jìn)行探究，望同行批評(píng)指正。

一、試題呈現(xiàn)：

設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和，記bn=■，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)。

（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk=n2Sk。

（2）若[bn]是等差數(shù)列，證明：c=0。

二、探究過(guò)程：

1.解法探究

本題主要考察等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)、求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考察分析轉(zhuǎn)化能力及推理論證能力。下面對(duì)其解法作簡(jiǎn)要探究：

（1）an=a+（n-1）d（d≠0），Sn=na+■d

c=0時(shí)， bn=■ ∴b1，b2，b4成等比，∴b1b4=b22

∴d=2a，∴Sn=n2a，Snk=n2k2a，n2Sk=n2k2a

∴Snk=n2Sk

（2）解法一（基本量法）

由已知bn=■=■

∵bn是等差數(shù)列

∴設(shè)bn=kn+b（k，b為常數(shù)）

∴有（2k-d）n3+（2b+d-2a）n2+2ckn+2bc=0對(duì)任意n∈N+恒成立

∴2k-d=02b+d-2a=02ck=02bc=0 ∵d≠0， ∴k≠0∴c=0 此時(shí) k=■b=■

命題得證。

評(píng)析：這種解法主要運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為一次函數(shù)的性質(zhì)，直接設(shè)一次通項(xiàng)公式，代入化簡(jiǎn)得到關(guān)于n的恒等式，再用待定系數(shù)法求解參數(shù)c，學(xué)生比較難想到。

解法二（特殊值法） 因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3成等差數(shù)列，從而2b2=b1+b3，代入bn=■=■，得2■=■+■，整理得■a+■d=（■+■）a+■d，所以■=■+■■=■，解得 c=0。

評(píng)析：這種解法學(xué)生較容易想到，運(yùn)用等差數(shù)列前三項(xiàng)b1，b2，b3等差中項(xiàng)的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到關(guān)于a，d的等式，求解參數(shù)c。

2.縱向探究

解決了一道高考題，我們就會(huì)思索：第（2）題的逆命題是否成立呢？

探究1：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和，記bn=■，n∈N*，c=0，{bn}是否為等差數(shù)列呢？

證：直接運(yùn)用等差數(shù)列的定義證明后項(xiàng)與前項(xiàng)的差為常數(shù)即可。

因?yàn)閎n=■=a+■d，

所以bn+1-bn=■d-■d=■。且■≠0為常數(shù)。命題得證。

此時(shí)我們驚奇地發(fā)現(xiàn)c=0是{bn}是等差數(shù)列的充要條件。

靜下心來(lái)想想，我們平時(shí)的練習(xí)中有類(lèi)似的題目嗎？

舊題回顧：an=4n-3，Sn是其前n項(xiàng)和，若{bn}是等差數(shù)列，且bn=■，求常數(shù)c。

此題bn=■中與原考題中的bn=■從形式上很相似，分式的分母是一次和二次的情形，c的值是否也與原題相同呢？

解：a1=1，Sn=n（2n-1）則bn=■成等差數(shù)列。

因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3成等差數(shù)列，從而2b2=b1+b3，

因?yàn)閎1=■，b2=■，b3=■，所以■=■+■，從而c=-■或0，經(jīng)檢驗(yàn)c=-■或0時(shí)，{bn}是等差數(shù)列。

變式：等差數(shù)列an=2n-1，是其前n項(xiàng)和，若{bn}是等差數(shù)列，且bn=■，則常數(shù)c為多少呢？

同上面解法，解得c=0， 經(jīng)檢驗(yàn)c=0時(shí)，{bn}是等差數(shù)列。

通過(guò)上述兩例我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)于兩個(gè)不同的等差數(shù)列{an}，滿(mǎn)足題意的c都有相同的解c=0。那么筆者猜想是否對(duì)所有的等差數(shù)列，即當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的首項(xiàng)a與公差d都在變動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足題意的c是否一定為0呢？我們作如下探究：

探究2：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和，bn=■，不論a與d取何值，則c=0是{bn}是等差數(shù)列的充要條件嗎？

證：充分性同探究1的證明，必要性證明：

因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3成等差數(shù)列，從而2b2=b1+b3，因?yàn)镾n=na+■d，所以bn=■。

進(jìn)而b1=■，b2=■，b3=■，代入2b2=b1+b3

得■=■+■整理得：■a+■d=（■+■）a+■d

所以■=■+■■=■，解得c=0。

至此，我們已經(jīng)得到當(dāng)bn與Sn的分式關(guān)系中分母為關(guān)于n的一次情形時(shí)，c=0是{bn}是等差數(shù)列的充要條件。

筆者繼續(xù)思索，試題背后是否隱藏著一般性的規(guī)律？它所體現(xiàn)的性質(zhì)或結(jié)論能否有特殊推廣到一般情形？

探究3：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和，bn=■，n∈N*，k∈N，不論a與d取何值，c=0是{bn}是等差數(shù)列的充要條件嗎？

證：k=1時(shí)已證。

易見(jiàn)，充分性同探究1的證明。

下證必要性：類(lèi)似原試題第（2）小題的證法，因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列，所以b1，b2，b3成等差數(shù)列，從而2b2=b1+b3，將bn=■代入上式，2■=■+■對(duì)任意的a∈R，d≠0恒成立，整理得

■a+■d=（■+■）a+■d，

所以■=■+■（*）■=■（**）， 將（**）代入（*），2■=■+■，

從而有（3k+1-1）c=0對(duì)任意的k∈M恒成立，所以c=0。

命題得證。

對(duì)于原試題的第（1）小問(wèn)，我們是否也能推廣到一般情形呢？

探究4：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d≠0），Sn是其前n項(xiàng)和，bn=■，若c=0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，Snk=n2Sk也成立嗎？

證：c=0時(shí)，bn=■，，證明同原試題的證法。

可見(jiàn)，高考題的結(jié)論只是一個(gè)特例，他只是將一次的情形推廣到了二次，我們已經(jīng)將二次推廣到一般情形了，這是一個(gè)多么完美的結(jié)論。

3.橫向探究

我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種相似的數(shù)列，相似的結(jié)構(gòu)，往往也有相似的性質(zhì)、相似的結(jié)論。所以我們?cè)谘芯康缺葦?shù)列時(shí)，常將其與等差數(shù)列進(jìn)行類(lèi)比研究，得到了很多相似的性質(zhì)，例如：等比中項(xiàng)，求和公式等等。類(lèi)比推理是一種非常好的研究方法。

如果考題中任意的數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那會(huì)有同樣的結(jié)論嗎？當(dāng)然，我們也要嘗試對(duì)數(shù)列bn與Sn關(guān)系進(jìn)行改變，這里就不一定是分式關(guān)系了。

首先，我們嘗試bn與Sn關(guān)系與原題相同，且分母是關(guān)于n的一次式，從特殊的情形開(kāi)始研究：

探究1：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列（q>0且q≠1），Sn是其前n項(xiàng)和，bn=■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數(shù)列的充要條件嗎？

證：因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以Sn=■。

當(dāng)c=0時(shí)，bn=■=■，則■=■·■，不是常數(shù)。

反之，若{bn}是等比數(shù)列，則b22=b1·b3，因?yàn)閎n=■，

代入上式得：■=■，

整理得：（c2+4c+3）（q2+2q+1）=（c2+4c+4）（q2+q+1），對(duì)任意的q≠1恒成立，顯然c無(wú)解。

從探究1發(fā)現(xiàn)c=0是{bn}是等比數(shù)列的既不充分也不必要條件。嘗試bn與Sn關(guān)系與原題相同，這是失敗的，不能得到我們想要的結(jié)論。

那么我們考慮換條件，我們知道等差數(shù)列中求和可以類(lèi)比等比數(shù)列中的求積，我們考慮引進(jìn)Tn=a1a2…an前n項(xiàng)積這個(gè)量。

探究2：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列（q>0且q≠1），Tn是其前n項(xiàng)積，bn=■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數(shù)列的充要條件嗎？

證：Tn=a1a2…an=a（aq）…（aqn-1）=anq■，當(dāng)c=0時(shí)，bn=■=■，■=aqn·■不是常數(shù)。反之，若{bn}是等比數(shù)列，則b22=b1·b3，證明可同探究1的證明。說(shuō)明c=0是{bn}是等比數(shù)列也是既不充分也不必要條件，這次嘗試也是失敗的。

再進(jìn)一步考慮，除了求和要改成求積外，等差數(shù)列中的乘除類(lèi)比就相當(dāng)于等比數(shù)列中的次冪運(yùn)算，基于這樣的類(lèi)比思路，我們考慮將分母變成開(kāi)方。

探究3：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列（q>0且q≠1），Tn是其前n項(xiàng)積，bn=■=（Tn）■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數(shù)列的充要條件嗎？

證：當(dāng)c=0時(shí)，Tn=anq■，bn=■=aq■，所以■=q■為常數(shù)，從而{bn}是等比數(shù)列。反之，若{bn}是等比數(shù)列，bn=■=（Tn）■，Tn=anq■，

從而bn=（anq■）■=a■q■，因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列，則b22=b1·b3，代入上式整理得a■q■=a■q■，對(duì)任意的a∈R，q≠1恒成立，所以■=■+■■=■，解得c=0。命題得證。

與等差數(shù)列相同，等比數(shù)列是否也能將特殊性的結(jié)論推廣到一般情況呢？

探究4：設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列（q≠1），Tn是其前n項(xiàng)積，bn=■=（Tn）■，不論a與q取何值，則c=0是{bn}是等比數(shù)列的充要條件嗎？

證：當(dāng)c=0時(shí)，bn=■，證明同探究3。

反之，若{bn}是等比數(shù)列，則b22=b1·b3，b22=（（T2）■）2=■q■，

b1·b3=（T1）■（T3）■=a■q■對(duì)任意的a∈R，q≠1恒成立，所以■=■+■■=■，同等差數(shù)列探究3的證明，解得c=0。

至此，筆者已經(jīng)將等差數(shù)列上的一般性結(jié)論運(yùn)用歸納推理推廣到了等比數(shù)列，得到更一般性的結(jié)論，在探索和證明過(guò)程中，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)證明的方法和內(nèi)容等差和等比數(shù)列有著驚人的相似性，這對(duì)于我們研究等差、等比數(shù)列，加深對(duì)其內(nèi)在聯(lián)系有著深刻的意義。